Outils pour le calcul et le traçage de courbesCNDP –DIE Mars
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2 Outils pour le calcul et le traçage de courbesCNDP –DIE – Mars 1995 LES INSTRUMENTS ET LEURS POTENTIALITÉS Un jeu de construction de fonctions La fonctionnalité la plus élémentaire des logiciels de traçage de courbes est la représen- tation des courbes d'équation y = f(x). Tous le permettent, bien entendu, mais leurs caractéristiques propres les rendent plus ou moins faciles à mettre en œuvre. Il faut tout d'abord définir la fonction dont on veut la représentation graphique. On a pour cela besoin de matériaux de base (fonctions élémentaires) et des modes d'as- semblage. Tous les logiciels testés disposent des fonctions exponentielle et logarithme népérien, trigonométriques et leurs inverses, valeur absolue, partie entière. D'autres fonc- tions – signe, maximum et minimum – s'avèrent parfois très utiles ; elles ne se trou- vent pas dans tous les logiciels. L'entrée des formules devrait se faire sous leur forme habituelle ; néanmoins, on se contentera de la forme algébrique en ligne, utilisée sur les calculatrices. Attention toute- fois aux tolérances de notations (absence de parenthèses ou du signe de multiplication dans certains cas) qui ne sont pas toujours interprétées de la même manière. L'affichage sous la forme habituelle par le logiciel de la formule mathématique entrée est pratique pour contrôler ce qui a été entré. Les notations doivent être aussi proches que possible des notations usuelles et on doit pouvoir choisir les identificateurs utilisés (noms des fonctions, des variables, des para- mètres, etc.) ; cela est très utile quand on uti- lise le logiciel
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2 Outils pour le calcul et le traçage de courbesCNDP –DIE – Mars 1995 LES INSTRUMENTS ET LEURS POTENTIALITÉS Un jeu de construction de fonctions La fonctionnalité la plus élémentaire des logiciels de traçage de courbes est la représen- tation des courbes d'équation y = f(x). Tous le permettent, bien entendu, mais leurs caractéristiques propres les rendent plus ou moins faciles à mettre en œuvre. Il faut tout d'abord définir la fonction dont on veut la représentation graphique. On a pour cela besoin de matériaux de base (fonctions élémentaires) et des modes d'as- semblage. Tous les logiciels testés disposent des fonctions exponentielle et logarithme népérien, trigonométriques et leurs inverses, valeur absolue, partie entière. D'autres fonc- tions – signe, maximum et minimum – s'avèrent parfois très utiles ; elles ne se trou- vent pas dans tous les logiciels. L'entrée des formules devrait se faire sous leur forme habituelle ; néanmoins, on se contentera de la forme algébrique en ligne, utilisée sur les calculatrices. Attention toute- fois aux tolérances de notations (absence de parenthèses ou du signe de multiplication dans certains cas) qui ne sont pas toujours interprétées de la même manière. L'affichage sous la forme habituelle par le logiciel de la formule mathématique entrée est pratique pour contrôler ce qui a été entré. Les notations doivent être aussi proches que possible des notations usuelles et on doit pouvoir choisir les identificateurs utilisés (noms des fonctions, des variables, des para- mètres, etc.) ; cela est très utile quand on uti- lise le logiciel
- courbe
- famille de courbes
- solu- tions d'équations différentielles
- traçage de courbescndp
- logiciel
- définition des familles de courbes
- limitations techniques des logiciels de traçage
- représentation graphique
LES INSTRUMENTS ET LEURS POTENTIALIT…S HervÈ HAMON Que doit-on demander ‡ un logiciel de traÁage de courbes ?
Un bon logiciel de traÁage de courbes planes ne doit pas seulement Ítre capable de tracer correctement des courbes, tout en restant simple d'utilisation. Un bref tour d'horizon des logiciels disponibles sur le marchÈ et de quelques applications illustre les diffÈrentes fonctionnalitÈs qui permettent, au-del‡ des tracÈs, une exploration graphique de l'analyse.
Un jeu de construction de fonctions
La fonctionnalitÈ la plus ÈlÈmentaire des logiciels de traÁage de courbes est la reprÈsen-tation des courbes d'Èquationy = f(x). Tous le permettent, bien entendu, mais leurs caractÈristiques propres les rendent plus ou moins faciles ‡ mettre en Ïuvre.
Il faut tout d'abord dÈfinir la fonction dont on veut la reprÈsentation graphique. On a pour cela besoin de matÈriaux de base (fonctions ÈlÈmentaires) et des modes d'as-semblage. Tous les logiciels testÈs disposent des fonctions exponentielle et logarithme nÈpÈrien, trigonomÈtriques et leurs inverses, valeur absolue, partie entiËre. D'autres fonc-tions Ð signe, maximum et minimum Ð s'avËrent parfois trËs utiles ; elles ne se trou-vent pas dans tous les logiciels.
L'entrÈe des formules devrait se faire sous leur forme habituelle ; nÈanmoins, on se contentera de la forme algÈbrique en ligne, utilisÈe sur les calculatrices. Attention toute-fois aux tolÈrances de notations (absence de parenthËses ou du signe de multiplication dans certains cas) qui ne sont pas toujours interprÈtÈes de la mÍme maniËre. L'affichage sous la forme habituelle par le logiciel de la formule mathÈmatique entrÈe est pratique pour contrÙler ce qui a ÈtÈ entrÈ.
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Les notations doivent Ítre aussi proches que possible des notations usuelles et on doit pouvoir choisir les identificateurs utilisÈs (noms des fonctions, des variables, des para-mËtres, etc.) ; cela est trËs utile quand on uti-lise le logiciel pour la rÈsolution d'un problË-me. Il doit Ítre possible de travailler sur des fonctions dÈfinies par intervalles. Malheureusement, aucun logiciel ne traite rÈellement des intervalles, comme on le fait habituellement en mathÈmatiques, mais contraint l'utilisateur ‡ utiliser une fonction conditionnelle. Il s'agit d'une fonction SI dÈÞnie grosso modo de la maniËre suivante : SI (Condition, Expression1, Expression2) est Ègal ‡Expression1siConditionest vraie, ‡ Expression2sinon. Par exemple, on dÈÞnit ainsi les fonctions valeur absolueetsigne: |x| = SI(x< 0, Ðx, x) SIGNE (x) = SI(x< 0, Ð1, SI(x= 0, 0, 1)) L'expÈrience montre que les ÈlËves de lycÈe ont souvent des difficultÈs ‡ maÓtriser ce type de dÈclaration. Pouvoir dÈfinir ses propres fonctions (y compris de plusieurs variables), utiliser leurs dÈrivÈes et primitives, et crÈer desbriques plus grosses rÈutilisables, Èlargit les capacitÈs du logiciel et ouvre le champ des explora-
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tions. Mieux vaut un petit nombre de fonc-de tangentes : on lui affecte des valeurs dif-tions prÈprogrammÈes permettant d'en crÈerfÈrentes dans les deux familles. En revanche, de nouvelles, qu'un grand nombre ne le per-le paramËtreaest gÈnÈral et il a nÈcessaire-mettant pas.ment la mÍme valeur pour les droites d'Èquationsx = a, y = aet pour la famille des tangentes. ParamËtres DËs que l'on a besoin de tracer plusieurs types d'objets dÈpendant d'un paramËtre (ici Il paraÓt indispensable de pouvoir utiliser les deux droites et la famille de tangentes), et manipuler facilement des paramËtres, cette notion de paramËtre gÈnÈral est impor-d'abord en dÈÞnissant des fonctions dÈpen-tante, comme l'est le fait que la modiÞcation dant d'un ou plusieurs paramËtres, ensuite en de la valeur d'un tel paramËtre entraÓne ipso visualisant une famille de courbes. Dans facto la modification des graphiques en l'exemple ci-dessous (repris d'un problËme consÈquence. Cela n'est malheureusement de bac), on a tracÈ la famille des courbes pas pris en compte par la plupart des logiciels d'Èquationy = x(kÐ lnx), pourkvariant de testÈs. 0,25 ‡ 2 par pas de 0,25 ; sur la mÍme Þgure, on a tracÈ les tangentes ‡ ces courbes auxCe qui a ÈtÈ dit pour les fonctions reste points d'abscissea, ainsi que les droitesvalable pour les courbes paramÈtrÈes. Dans d'Èquationsx = a, y = aety = xcertains logiciels, les courbes paramÈtrÈes, pour mettre en Èvidence le fait que toute ces tangentessont traitÈes dans un module sÈparÈ des sont convergentes au point d'ordonnÈeade reprÈsentationsgraphiques des fonctions. l'axe des ordonnÈes (a= 0,5 sur la Þgure 1 etCela n'est pas trËs commode et empÍche de atracer sur un mÍme dessin une courbe para-= 1,5 sur la Þgure 2). mÈtrÈe et la reprÈsentation graphique d'une Cet exemple illustre la distinction ‡ opÈ-fonction. rer entre les notions de paramËtres gÈnÈraux ou spÈciÞques. Le paramËtrekest spÈciÞque dans la dÈÞnition des familles de courbes et Quelques difficultÈs : discontinuitÈs, limites, oscillations rapprochÈes
Le principe de tracÈ est de calculer des points de la courbe et de relier entre eux les points consÈcutifs ; mais s'il y a une disconti-nuitÈ entre deux points consÈcutifs, ceux-ci ne doivent pas Ítre reliÈs. Nous dirons qu'un logiciel gËre les discontinuitÈs s'il respecte cette condition. Ainsi la figure 3 est une reprÈsentation graphique correcte de la fonc-tionpartie entiËre, alors que la Þgure 4 n'est pas acceptable.
Un autre problËme connu est celui du tracÈ au voisinage de certains points. Les limitations techniques des logiciels de traÁage apportent quelques difficultÈs. Ainsi, la
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LES INSTRUMENTS ET LEURS POTENTIALIT…S
repr sentationgraphique d'une fonction telle 0,2 quex Ð> xs'arrÍte, dans la plupart des cas, avant d'avoir atteint l'axe des abscisses.
Signalons enÞn le cas des fonctions ayant des oscillations trËs rapprochÈes. On a pris ici 9 la fonctionf : x Ð> cos(¹/x). Sur la Þgure 5 le graphique a ÈtÈ tracÈ normalement : les extrema au voisinage de 0 sont incorrects, car le logiciel ne peut les dÈtecter ; la figure 6, qui est correcte, a ÈtÈ obtenue en faisant tra-cer la famille de courbes reprÈsentantfsur les intervalles [1/(k+ 1) ; 1/k] pourkcompris entre 1 et 100 ; cela oblige en effet le traceur ‡ passer par les points correspondant aux extrema. Mais ce n'est Èvidemment possible ‡ rÈaliser que si le logiciel permet le tracÈ des familles de courbes .
Face ‡ certains affichages mathÈmatique-ment discutables, on argue souvent de contraintes technologiques (rÈsolution de l'Ècran). Remarquons que, mÍme avec un crayon, l'Èpaisseur du trait intervient. Quand cette Èpaisseur est supÈrieure ‡ la pÈriode (ou la pseudo-pÈriode), le seul tracÈ raisonnable semble Ítre le noircissement complet d'une zone. On se pose d'ailleurs rarement le pro-blËme de savoir ce que serait un bon dessin dans des cas un peu alambiquÈs.
Autres types d'objets
Sans dÈtailler, il peut s'avÈrer utile de pou-voir tracer des courbes dÈÞnies comme solu-tions d'Èquations diffÈrentielles, de mÍme que de disposer d'objets gÈomÈtriques, comme les droites et les segments.
Les reprÈsentations graphiques sont aussi trËs intÈressantes pour l'Ètude des suites, car leur visualisation permet parfois de mieux saisir leur comportement. Malheureusement tous les logiciels ne le permettent pas, ce qui
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est regrettable. Les autres ne peuvent d Þnir que des suites du typeun+ 1=f(un) et parfois un=f(n). La figure 7 est un exemple d'illustration graphique d'une propriÈtÈ d'une suite simple qui n'appartient pas aux types prÈcÈdents, pour lequel on a tracÈ deux courbes et une famille de segments reprÈsentant les premiers termes de la suite. Soit Snla somme des inverses desnpremiers entiers. On a donc S1= 1 et Sn+ 1= Sn+ 1/n. On sait que, pour toutn> 1, on a : ln(n+ 1) < Sn< ln(n) + 1.
Un peu d'animation
Une courbe paramÈtrÈe pouvant Ítre inter-prÈtÈe comme la trajectoire d'un point, il est parfois intÈressant de ralentir la vitesse de tra-Áage, c'est-‡-dire avoir unevitesse rÈglable.
Lorsque une courbe est dÈfinie ‡ l'aide d'une construction gÈomÈtrique, il est Ègale-ment intÈressant de prÈsenter son tracÈ sous forme animÈe. Aucun des logiciels prÈsentÈs ici ne prÈvoit cette possibilitÈ. Voici par exemple quatre Ètapes du traÁage d'une hypocycloÔde :
Conjecturer ‡ l'aide de reprÈsentations graphiques
Voici maintenant un exemple de suite montrant l'intÈrÍt des reprÈsentations gra-phiques pour conjecturer. Soitfla fonction x Ð> kx(1 Ðx), o˘kest un rÈel compris entre 0 et 4 etula suite telle queun+ 1=f(un), avec u0compris entre 0 et 1. On cherche ‡ Ètudier le comportement de cette suite en fonction deu0etk. Pour visualiser les termes de la suite, on a utilisÈ la reprÈsentation classique : on trace la reprÈsentation graphique de la fonctionf, la droite d'Èquationy = x, et les segments [An,Bn] et [Bn,An + 1], o˘ Anest le point de coordonnÈes (un, f(un)) et Bnle point de coor-donnÈes (f(un),f(un)).
LES INSTRUMENTS ET LEURS POTENTIALIT…S
Le rÈsultat obtenu est reprÈsentÈ sur les Þgures 9 ‡ 14, qui montrent la grande variÈtÈ de comportements suivant les valeurs dek.
Il peut Ítre intÈressant, dans certains cas, d'ajouter des ÈlÈments sur la figure. Par exemple, sur la Þgure 13, on a tracÈ la reprÈ-sentation graphique def o f, pour mettre en Èvidence le fait que la suite a dans ce cas deux valeurs d'adhÈrence qui sont solutions de l'Èquationf o f(x) =x. On pourrait aussi ajouter la tangente ‡ la courbe au point d'in-tersection avec la droitey = xpour montrer le lien entre la valeur de la dÈrivÈe defen ce point et la convergence de la suite.
Pour mener ‡ bien cette exploration, le logiciel doit naturellement permettre de dÈÞ-nir les objets reprÈsentÈs, mais aussi de modi-Þer simplement les paramËtres (u0,k, nombre de termes reprÈsentÈs) et de visualiser rapide-ment le rÈsultat, de changer facilement le repËre (Èchelle et origine), et de faire un tracÈ d'une Þnesse suffisante pour bien visualiser le comportement de la suite.
FacilitÈ d'utilisation
Trois types d'utilisation sont envisa-geables : par le professeur pour produire des documents Ècrits (pour cela les graphiques doivent pouvoir Ítre rÈcupÈrÈs dans un trai-tement de texte), en classe avec un systËme de rÈtroprojection, par les ÈlËves en salle informatique (ou chez eux).
AÞn de se concentrer sur le contenu ma-thÈmatique et non sur les manipulations ‡ effectuer, il est souhaitable que la prise en main soit rapide et l'utilisation aussi naturelle que possible. De ce point de vue, les logiciels tournant sous Windows semblent prÈfÈrables ‡ ceux tournant sous DOS. Les donnÈes doi-vent pouvoir Ítre modiÞÈes facilement, sans avoir recours ‡ de fastidieuses manipulations de touches.
De plus, il doit Ítre possible de conÞgurer le logiciel de maniËre que les ÈlËves n'aient accËs qu'aux outils dont ils ont besoin et qu'ils ne soient pas distraits par des fonction-nalitÈs inutiles. On pourra ainsi commencer par Ètudier les reprÈsentations graphiques des fonctions en prenant un point M de coor-donnÈes (x, f(x)) et en faisant varierx. Pour
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