Equations aux derivees partielles

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profil-urra-2012

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Equations aux derivees partielles Par definition, une equation aux derivees partielles (EDP) a pour inconnue une fonction de plusieurs variables (alors qu'une equation differentielle ordinaire a pour inconnue une fonction d'une seule variable). L'analyse (mathematique et) numerique des EDP est un vaste domaine, que nous aborderons ici sous l'angle de trois equations type (lineaires) et de deux methodes numeriques de base : differences finies et elements finis. Le Laplacien On « rappelle » que, pour une fonction u : ?? Rn deux fois differentiable sur un ouvert ? de Rd, ∆u = d∑ j=1 ∂2u ∂x2j . L'operateur differentiel ∆ est appele Laplacien. Trois EDP-type Equation de Poisson Etant donnee une fonction f : ? ? Rn, on appelle equation de Poisson de terme source f : ?∆u = f . Cette equation est qualifiee d'elliptique (par analogie avec l'equation generale d'une el- lipse ?21/a 2 + ?22/b 2 = 1). Equation de la chaleur Etant donne un reel positif ?, on appelle equation de la chaleur, ou equation de diffusion pour le coefficient de diffusion ? : ∂tu = ?∆u . Cette equation est qualifiee de parabolique (par analogie avec l'equation generale d'une parabole y = ?2/a2). Equation des ondes Etant donne un reel positif c, on appelle equation des ondes pour la vitesse c : ∂2ttu ? c 2 ∆u = 0 .

loi de fick

chaleur

modeles de phenomenes diffusifs

morceau de corde

tension

equation des ondes de vitesse

equation de continuite

diffusion

source exterieure de chaleur par unite de volume

coefficient de proportionnalite ?

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´ Equationsauxd´erive´espartielles Pard´eﬁnition,une´equationauxd´eriv´eespartielles(EDP)apourinconnueunefonctionde plusieursvariables(alorsqu’une´equationdiff´erentielleordinaireapourinconnueunefonction d’uneseulevariable).L’analyse(mathe´matiqueet)num´eriquedesEDPestunvastedomaine, quenousaborderonsicisousl’angledetrois´equationstype(line´aires)etdedeuxm´ethodes num´eriquesdebase: diffe´rences ﬁnies et e´l´ementsﬁnis . Le Laplacien On « rappelle » que, pour une fonction u : Ω → R n deuxfoisdiff´erentiablesur d un ouvert Ω de R , Δ u d X ∂ 2 u. = j =1 ∂x j 2 L’op´erateurdiffe´rentiel Δ estappel´e Laplacien .

Trois EDP-type ´ ´ Equation de Poisson Etantdonn´eeunefonction f : Ω → R n ,onappelle´equationdePoisson de terme source f : − Δ u = f . Cette e´quation est qualiﬁe´e d’ elliptique (paranalogieavecl’´equationge´ne´raled’uneel-lipse ξ 12 /a 2 + ξ 22 /b 2 = 1 ). ´ ´ Equation de la chaleur Etantdonn´eunr´eelpositif κ ,onappelle´equationdelachaleur,ou ´equationdediffusionpourlecoefﬁcientdediffusion κ : ∂ t u = κ Δ u . Cette e´quation est qualiﬁe´e de parabolique (paranalogieavecl’e´quationge´n´eraled’une parabole y = ξ 2 /a 2 ). ´ ´ Equation des ondes Etantdonn´eunre´elpositif c ,onappelle´equationdesondespourlavitesse c : ∂ t 2 t u − c 2 Δ u = 0 . Cette e´quation est qualiﬁe´e d’ hyperbolique (paranalogieavecl’´equationg´ene´raled’une 2 . hyperbole ξ 12 /a 2 − ξ 22 /b = 1 ) Les e´quations des ondes et de la chaleur sont dites d’´evolution car elles mode´lisent en ge´ne´ralunphe´nom`eneinstationnaire,e´voluantavecletemps t .L’´equationdePoissonestquant `aelle stationnaire :ellemode´liseeng´ene´ralunph´enom`enea`l’e´quilibredansl’espace R d . Les trois e´quations sont lineaires ,c’est-a`-direqu’ellesd´ependentlin´eairementdel’inconnue ´ u .Nousn’e´tudieronspasicid’e´quationnon-lin´eaire.Les´equationsdePoissonetdelacha-leurmod´elisentdesphe´nom`enesde diffusion , comme celle de la chaleur (!), de la matie`re (par exempleunpolluantdansunerivi`ere,oudesbacte´riesdansunorgane,etc.),ouencored’une charge e´lectrique. L’ e´quation de Poisson pour f = 0 ,aussiappel´ee ´equationdeLaplace , peut eˆtrevuecommeuncasparticulierd”equationdelachaleurlorsquel’´equilibreestatteint,c’est-a`-dire lorsque l’inconnue u ne de´pend plus de t .L’e´quationdesondesmod´elisedesph´enomenes ` de propagation ,commecelleduson,delalumi`ere.

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