EQUATIONS DE NAVIER STOKES SUR DES DOMAINES MINCES TRIDIMENSIONNELS ET ESPACES ANISOTROPES

Description

EQUATIONS DE NAVIER-STOKES SUR DES DOMAINES MINCES TRIDIMENSIONNELS ET ESPACES ANISOTROPES DRAGOS¸ IFTIMIE Introduction Les equations de Navier-Stokes sont les suivantes: (N-S) ? ? ? ∂tu+ u · ?u? ?∆u = ??P pour (t, x) ? R+ ? ?, div u(t, ·) = 0 pour (t, x) ? R+ ? ?, u|t=0 = u0 sur ?. Ici, u(t, ·) est un champ de vecteurs sur ?, u0 est la donnee initiale et P : R+??? R est la pression. Le domaine ? sera Rd ou bien R2?]0, 2pi?[, ou bien le tore avec une minceur ? dans la troisieme direction T? =]0, 2pi[?]0, 2pi[?]0, 2pi?[, ? > 0. Le terme de force est suppose nul seulement par souci de simplicite; les theoremes qu'on donne peuvent etre enonces avec un terme de force. L'etude mathematique rigoureuse des ces equations a ete commencee par Leray [8]. Malheureusement, le probleme de savoir si ces equations admettent des solutions globales pour toutes donnees initiales assez regulieres reste non-resolu, sauf pour la dimension 2 ou on sait qu'il existe une unique solution globale si la donnee initiale est de carre integrable.

• regularite de la donnee initiale


• donnees initiales


• meme probleme d'amelioration des inclusions de sobolev


• unique solution globale


• theorie des equations de navier- stokes


• troisieme variable

Informations

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• Langue: Français

Extrait

´ EQUATIONS DE NAVIER-STOKES SUR DES DOMAINES MINCES TRIDIMENSIONNELS ET ESPACES ANISOTROPES

DRAGOS¸ IFTIMIE

Introduction Le´equationsdeNavier-Stokessontlessuivantes: s  u − ν Δ (N-S)   ∂ t u + u ∙ r div u u ( | t t  = ∙ u ) 0 = = = 0 u − 0 p r s o P u u r r p Ω ( o t . u  r x ) ( t ∈ x R ) + ∈ × R + Ω  × Ω  Ici, u ( t ∙ ) est un champ de vecteurs sur Ω, u 0 estladonne´einitialeet P : R + × Ω → R est la  pression. Le domaine Ω sera R d ou bien R 2 × ]0  2 πε [, ou bien le tore avec une minceur ε dans latroisie`medirection T ε =]0  2 π [ × ]0  2 π [ × ]0  2 πε [, ε > 0.Letermedeforceestsuppose´ nulseulementparsoucidesimplicite´;lesthe´ore`mesqu’ondonnepeuventˆetre´enonc´esavec untermedeforceL’´etudemathe´matiquerigoureusedesces´equationsa´ete´commence´e . parLeray[8].Malheureusement,leproble`medesavoirsices´equationsadmettentdes solutionsglobalespourtoutesdonn´eesinitialesassezre´gulie`resrestenon-re´solu,saufpour ladimension2ou`onsaitqu’ilexisteuneuniquesolutionglobalesiladonn´eeinitialeest decarre´inte´grable.Pourlesdimensionssupe´rieuresoue´galesa`3,onconnaıˆtl’existence d’unesolutionglobalefaiblenon-uniquepourdesdonn´eesinitialesdecarre´sint´egrableset l’existenced’unesolutionlocaleforteuniquepourdesdonn´eesinitialesassezre´guli`eres.Si, enplusdelar´egularit´edeladonn´eeinitiale,onprendcommehypothe`selapetitessede celle-ci,alorslasolutionfortelocaleestenfaitglobaleetleprobl`emeestr´esolu.Dansce quisuit,onseproposed’am´eliorercetteconditiondepetitesseainsiquelare´gularite´dela donn´eeinitiale. Raugel,Sell[11],[12]onteul’ide´ed’utiliserlesbonnespropri´ete´sdusyst`eme2-dimensionnel pourtrouverdesbonnesproprie´te´spourlesyste`me3-dimensionnel.Evidemment,cecine suffitpaspourd´emontrerquelesyst`eme3-dimensionnelestbienpose´:ontrouveseule- mentquelesdonn´eesinitialespeuventˆetrechoisies”grandes”siontravaillesurundomaine ”mince”.Lesre´sultatsdeG.RaugeletR.Sellsontdifficil`´,doncondonneune es a enoncer appropl¸centsurundomainedutype ω × ]0  ε [  ω e´tantun ximation seuleument. Ils se a domainere´gulierde R 2 ,etilsconsid`erentplusieurstypesdeconditionsauxlimites;leurs meilleursresultatss’e´nonc¸entsurletoredeminceur ε T ε etilsd´emontrentqu’ilexisteune ´ unique solution globale si l‘on suppose que k M u 0 k H 1 ( T 2 ) ≤ Cε − 2 5 4 et k ( I − M ) u 0 k H 1 ( T ε ) ≤ Cε − 4 5 8 ou k M u 0 k H 1 ( T 2 ) ≤ Cε − 3 17 2   M u 3 0  L 2 ( T 2 ) ≤ Cε 1 2 1