Equations differentielles Cours no Approximation numerique

Description

• cours - matière potentielle : introduction

Equations differentielles - Cours no 6 Approximation numerique 1 Introduction De tres nombreux problemes scientifiques sont mis en equation a l'aide d'un systeme d'equations differentielles x˙(t) = f(t, x(t)) (voir par exemple le mouvement a deux corps dans le cours d'introduction). Au moment de l'application numerique, il est necessaire (connaissant une valeur initiale) de pouvoir calculer une ou plusieurs valeurs x(T1), x(T2)... L'objet de ce cours est l'etude des methodes qui permettent d'operer ce calcul (a la main ou plutot a l'aide d'un ordinateur de nos jours). L'exemple le plus elementaire est la methode d'Euler : soit f ? C1(R?Rd), globalement Lipschitz en sa deuxieme variable. Pour calculer la solution au temps T > 0 du Probleme de Cauchy { x˙(t) = f(t, x(t)), x(0) = x0, (1) on subdivise l'intervalle [0, T ] en 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T et, pour t voisin de tn, on utilise les approximations x˙(t) ' x(tn+1)? x(tn) tn+1 ? tn , f(t, x(t)) ' f(tn, x(tn)).

• approximation numerique


• proprietes geometriques de l'equation differentielle


• solution du probleme de cauchy


• methodes


• stabilite


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• probleme de l'elaboration de methode numerique

Sujets

• Introduction
• Stabilité
• Méthode d'Euler

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

´ Equationsdiff´erentielles-Coursno6 Approximationnum´erique

1 Introduction Detre`snombreuxproble`messcientifiquessontmisene´quationa`l’aided’unsyste`me d’´equationsdiffe´rentielles x ˙ ( t ) = f ( t, x ( t ))(voirparexemplelemouvement`adeuxcorps danslecoursd’introduction).Aumomentdel’applicationnume´rique,ilestn´ecessaire (connaissant une valeur initiale) de pouvoir calculer une ou plusieurs valeurs x ( T 1 ), x ( T 2 )... L’objetdececoursestl’e´tudedesm´ethodesquipermettentd’op´erercecalcul(a`lamain ouplutˆota`l’aided’unordinateurdenosjours). L’exempleleplus´ele´mentaireestlame´thoded’Euler:soit f ∈ C 1 ( R × R d ), globalement Lipschitzensadeuxie`mevariable.Pourcalculerlasolutionautemps T > 0duProble`me de Cauchy  x x ˙ ( ( t 0 ) )= = x f ( t, x ( t )) , (1) 0 , on subdivise l’intervalle [0 , T ] en 0 = t 0 < t 1 < ∙ ∙ ∙ < t N = T et, pour t voisin de t n , on utilise les approximations x ˙ ( t ) ' x ( t t n n + + 1 1 ) − t x n ( t n ) , f ( t, x ( t )) ' f ( t n , x ( t n )) . − Enreportantdansl’e´quationdiff´erentielle,onaboutita`lam´ethoded’Euler: x n +1 = x n + h n f ( t n , x n ) , o`u x n = x ( t n ) , h n = t n +1 − t n . ¸ 0 a` n =0,oncalculedeprocheenproche(re´cursivement) 1 , x 2 , En commencant avec x x etc.jusqu’`a x N quiestsens´efournirunevaleurapproche´ede x ( T ). On verra que, lorsque h := sup 0 ≤ n ≤ N − 1 h n → 0, x N → x ( T ). Cela montre l’existence d’une me´thoded’approximationnum´erique.Onvaaussir´epondreauxquestionssuivantes: existe-t-ildesm´ethodesarbitrairementpre´cise?Existe-t-ildesm´ethodesrespectantles proprie´te´sdel’´equation(syme´trie,conservation...)? Le plan du cours est le suivant. Dans le chapitre 2, on continue l’exemple ci-dessus en de´crivantd’autresm´ethodesd’approximationnum´erique.Danslechapitre3,onanalyse uneclassedesche´mas(sch´emasdits`aunpas).Danslechapitre4,on´etudiequelques me´thodessymplectiques.

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