Equations differentielles Cours no Approximation numerique
12 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Equations differentielles Cours no Approximation numerique

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
12 pages
Français

Description


  • cours - matière potentielle : introduction


Equations differentielles - Cours no 6 Approximation numerique 1 Introduction De tres nombreux problemes scientifiques sont mis en equation a l'aide d'un systeme d'equations differentielles x˙(t) = f(t, x(t)) (voir par exemple le mouvement a deux corps dans le cours d'introduction). Au moment de l'application numerique, il est necessaire (connaissant une valeur initiale) de pouvoir calculer une ou plusieurs valeurs x(T1), x(T2)... L'objet de ce cours est l'etude des methodes qui permettent d'operer ce calcul (a la main ou plutot a l'aide d'un ordinateur de nos jours). L'exemple le plus elementaire est la methode d'Euler : soit f ? C1(R?Rd), globalement Lipschitz en sa deuxieme variable. Pour calculer la solution au temps T > 0 du Probleme de Cauchy { x˙(t) = f(t, x(t)), x(0) = x0, (1) on subdivise l'intervalle [0, T ] en 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T et, pour t voisin de tn, on utilise les approximations x˙(t) ' x(tn+1)? x(tn) tn+1 ? tn , f(t, x(t)) ' f(tn, x(tn)).

  • approximation numerique

  • proprietes geometriques de l'equation differentielle

  • solution du probleme de cauchy

  • methodes

  • stabilite

  • methode d'euler

  • proche en proche

  • probleme de l'elaboration de methode numerique


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 23
Langue Français

Exrait

´ Equationsdi´erentielles-Coursno6 Approximationnum´erique
1 Introduction Detre`snombreuxproble`messcientiquessontmisene´quationa`laidedunsyste`me d´equationsdie´rentielles x ˙ ( t ) = f ( t, x ( t ))(voirparexemplelemouvement`adeuxcorps danslecoursdintroduction).Aumomentdelapplicationnume´rique,ilestn´ecessaire (connaissant une valeur initiale) de pouvoir calculer une ou plusieurs valeurs x ( T 1 ), x ( T 2 )... Lobjetdececoursestle´tudedesm´ethodesquipermettentdop´erercecalcul(a`lamain ouplutˆota`laidedunordinateurdenosjours). Lexempleleplus´ele´mentaireestlame´thodedEuler:soit f C 1 ( R × R d ), globalement Lipschitzensadeuxie`mevariable.Pourcalculerlasolutionautemps T > 0duProble`me de Cauchy xx ˙(( t 0))== xf ( t, x ( t )) , (1) 0 , on subdivise l’intervalle [0 , T ] en 0 = t 0 < t 1 < ∙ ∙ ∙ < t N = T et, pour t voisin de t n , on utilise les approximations x ˙ ( t ) ' x ( tt nn ++11 ) tx n ( t n ) , f ( t, x ( t )) ' f ( t n , x ( t n )) . Enreportantdansle´quationdi´erentielle,onaboutita`lam´ethodedEuler: x n +1 = x n + h n f ( t n , x n ) , o`u x n = x ( t n ) , h n = t n +1 t n . ¸ 0 a` n =0,oncalculedeprocheenproche(re´cursivement) 1 , x 2 , En commencant avec x x etc.jusqu`a x N quiestsens´efournirunevaleurapproche´ede x ( T ). On verra que, lorsque h := sup 0 n N 1 h n 0, x N x ( T ). Cela montre l’existence d’une me´thodedapproximationnum´erique.Onvaaussir´epondreauxquestionssuivantes: existe-t-ildesm´ethodesarbitrairementpre´cise?Existe-t-ildesm´ethodesrespectantles proprie´te´sdel´equation(syme´trie,conservation...)? Le plan du cours est le suivant. Dans le chapitre 2, on continue l’exemple ci-dessus en de´crivantdautresm´ethodesdapproximationnum´erique.Danslechapitre3,onanalyse uneclassedesche´mas(sch´emasdits`aunpas).Danslechapitre4,on´etudiequelques me´thodessymplectiques.
1
  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents