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cours - matière potentielle : calcul differentiel

Equations differentielles - Cours no 3 Equations differentielles lineaires Soit K = R ou C, soit E un K-espace vectoriel de dimension d, soit I intervalle ouvert de R. On etudie les equations differentielles lineaires x˙(t) = A(t)x(t) + b(t), (1) ou A ? C(I;L(E)), b ? C(I;E). Par le Theoreme de Cauchy-Lipschitz (cas global Lipschitz), on sait que, pour tout t0 ? I, x0 ? E, il existe une unique solution x de (1) definie sur tout I satisfaisant la condition initiale x(t0) = x0. Remarque : on confondra souvent endomorphismes de E et matrices de Md(K). Exemples : Systeme { x˙(t) = tx(t) + y(t) + 1, y˙(t) = cos(t)x(t) + ety(t). Equation x(t) + q(t)x(t) = 0. 1 Resolvante, formule integrale 1.1 Equations homogenes On suppose d'abord que l'equation est homogene, i.e. b = 0. Theoreme 1 (Espace des solutions) L'ensemble V des solutions de l'equation x˙(t) = A(t)x(t) est un sous-espace vectoriel de dimension d de C1(I;E).

preuve de la proposition

theoreme de cauchy-lipschitz

degre de pk

exponentielle de matrice

formule de liouville

matrice scindee

equation

systeme fondamental de solutions

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´ Equationsdiﬀ´erentielles-Coursno3 ´ Equationsdiﬀe´rentiellesline´aires

Soit K = R ou C , soit E un K -espace vectoriel de dimension d , soit I intervalle ouvert de R .On´etudieles´equationsdiﬀe´rentielles line´aires ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + b ( t ) , (1) x o`u A ∈ C ( I ; L ( E )), b ∈ C ( I ; E ). ParleTh´eor`emedeCauchy-Lipschitz(cas global Lipschitz), on sait que, pour tout t 0 ∈ I , x 0 ∈ E , il existe une unique solution x de(1)d´eﬁniesurtout I satisfaisant la condition initiale x ( t 0 ) = x 0 . Remarque : on confondra souvent endomorphismes de E et matrices de M d ( K ). Exemples : Syste`me ˙ t ) = tx ( t ) + y ( t ) + 1 ,  y ˙ x (( t ) = cos( t ) x ( t ) + e t y ( t ) . ´ Equation ¨ x ( t ) + q ( t ) x ( t ) = 0 .

1R´lvante,formuleint´egrale eso ´ 1.1Equationshomoge`nes Onsupposed’abordquel’e´quationesthomog`ene, i.e. b = 0. Th´eor`eme1(Espacedessolutions) L’ensemble V dessolutionsdel’e´quation ˙ x ( t ) = A ( t ) x ( t ) est un sous-espace vectoriel de dimension d de C 1 ( I ; E ) . Pluspre´cise´ment:pour t 0 ∈ I , x 0 ∈ E , notons x ( t ; t 0 , x 0 ) la valeur au temps t ∈ I de la solution de ˙ x ( t ) = A ( t ) x ( t ) satisfaisant la condition initiale x ( t 0 ) = x 0 . Alors l’application x 0 7→ x ( ∙ ; t 0 , x 0 ) est un isomorphisme d’espace vectoriel entre E et V .

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