Equations differentielles Cours no Resultats Generaux sur les equations differentielles

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Equations differentielles - Cours no 2 Resultats Generaux sur les equations differentielles 1 Probleme de Cauchy Cadre : I intervalle ouvert de R, ? ouvert connexe d'un espace de Banach E, f appli- cation I ? ?? E continue. Probleme de Cauchy : etant donnee t0 ? I, x0 ? ?, trouver J ? I intervalle contenant t0 et une application x : J ? ? derivable sur J , satisfaisant { x˙(t) = f(t, x(t)), t ? J, x(t0) = x0. Notation : On note (J, x) une solution telle que ci-dessus. Forme integrale du probleme de Cauchy: Un couple (J, x) est solution du Probleme de Cauchy si, et seulement si, l'equation integrale suivante est verifiee : ?t ? J, x(t) = x0 + ∫ t t0 f(s, x(s))ds. Terminologie : Le temps t0 est le temps initial, la valeur x0 est la donnee initiale du Probleme de Cauchy. Proposition 1 Regularite de la solution : x ? C1(J) et x ? Ck+1(J) si f de classe Ck. Definition 1 • Solution locale : (J, x) solution locale si (J, x) solution et J voisinage de t0 dans I ; • Prolongement de solution locale : si (J, x) et (J˜ , x˜) sont des solutions locales, on dit que (J˜ , x˜) prolonge