Espaces Vectoriels et applications linéaires

Dgoy

Description

Espaces Vectoriels et applications linéaires Exercice 1 : 1°) Déterminer une base des droites vectorielles de 2R suivantes: 1D 0=+ yx ; 2D 032 =+ yx ; 3D xy 3= 2°) a) Déterminer une base des droites vectorielles de 3R suivantes : 1D ?? ? =?+ =+ 02 0 zyx yx ; 2D ?? ? =?+ =++ 02 02 zyx zyx ; 3D ?? ? =?+ =?+ 0 02 zyx zyx b) Déterminer une base des plans vectoriels de 3R suivants : 1P 02 =?+ zyx ; 2P 0=+ yx ; 3P 02 =++ zyx ; 4P 0=x c) Déterminer 21 PP ? , 31 PP ? et 41 PP ? . Exercice 2 : 1°) On pose kjiu ???? 34 ++= , kjv ??? += 2 et kjiw ???? ?+= 3 . Montrer que ( )wvu ??? ,, est une base de R3. 2°) kjiu ???? +?= , kjv ??? 2+?= et kjiw ???? 32 +?= a) La famille ( )wvu ??? ,, est-elle une base de R3 ? b) Soit F, le sous espace vectoriel engendré par ( )wvu ??? ,, .

• ?? ?


• zyx


• ?1 dans la base ?


• ?? ??


• base des droites vectorielles


• matrice dans la base canonique


• application linéaire de r2 dans r2

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Espaces Vectoriels et applications linéaires

Exercice 1 :

1°) Déterminer une base des droites vectorielles de

2

R

suivantes:

1

D

0

=

+

y

x

;

2

D

0

3

2

=

+

y

x

;

3

D

x

y

3

=

2°)

a) Déterminer une base des droites vectorielles de

3

R

suivantes :

1

D

=

-

+

=

+

0

2

0

z

y

x

y

x

;

2

D

=

-

+

=

+

+

0

2

0

2

z

y

x

z

y

x

;

3

D

=

-

+

=

-

+

0

0

2

z

y

x

z

y

x

b) Déterminer une base des plans vectoriels de

3

R

suivants :

1

P

0

2

=

-

+

z

y

x

;

2

P

0

=

+

y

x

;

3

P

0

2

=

+

+

z

y

x

;

4

P

0

=

x

c) Déterminer

2

1

P

P

∩

,

3

1

P

P

∩

et

4

1

P

P

∩

.

Exercice 2 :

1°) On pose

k

j

i

u









3

4

+

+

=

,

k

j

v







+

=

2

et

k

j

i

w









-

+

=

3

.

Montrer que

(

29

w

v

u







,

,

est une base de

R

3

.

2°)

k

j

i

u









+

-

=

,

k

j

v







2

+

-

=

et

k

j

i

w









3

2

+

-

=

a) La famille

(

29

w

v

u







,

,

est-elle une base de

R

3

?

b) Soit

F

, le sous espace vectoriel engendré par

(

29

w

v

u







,

,

. Donner une base de

F

.

c) Soit

(

29

{

}

0

2

,

,

,

3

=

+

+

∈

=

z

y

x

R

z

y

x

G

, montrer que

F

=

G

.

Exercice 3 :

Soient

(

29

4

3

2

1

,

,

,

u

u

u

u









quatre vecteurs de

R

3

. De coordonnées respectives :

-

=

1

2

1

1

X

,

-

=

1

0

1

2

X

,

-

=

1

4

1

3

X

et

-

-

=

3

4

3

4

X

.

dans la base canonique de

R

3

.

1°) La famille

(

29

3

2

1

,

,

u

u

u







est-elle une base de

R

3

et déterminer

(

29

3

2

1

,

,

u

u

u

Vect







?

2°) La famille

(

29

4

2

1

,

,

u

u

u







est-elle une base de

R

3

et déterminer

(

29

4

2

1

,

,

u

u

u

Vect







?

3°) En déduire que ces quatre vecteurs appartiennent à un même plan dont on donnera une base.

Exercice 4 :

Soit

2

2

:

R

R

p

→

l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est :

=

1

2

2

4

5

1

P

1°) Montrer que

p

est une projection.

2°) Déterminer le noyau et l’image de

p

. En déduire les éléments caractéristiques de

p

.

3°) Soit

-

=

1

2

2

1

Q

, calculer

1

-

Q

.

4°) Calculer

PQ

Q

1

-

Exercice 5 :

Soit

2

2

:

R

R

s

→

l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est :

-

=

1

2

4

1

3

1

S

1°) Montrer que

s

est une symétrie.

2°) Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants de

s

et

(

29

id

s

Ker

+

. En déduire les éléments

caractéristiques de

s

.

3°) Soit

-

=

1

1

1

2

Q

, calculer

1

-

Q

.