1Universite Pierre et Marie Curie Paris
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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
1Universite Pierre et Marie Curie, Paris 6 Master de Mathematiques M1 2010-2011 Modeles stochastiques et Applications a la finance Philippe Bougerol 30-03-2011

  • preuve de la proposition

  • cadre markovien

  • portefeuille de couverture

  • theorie du portefeuille de markowitz

  • controle aleatoire

  • modele stock-bond

  • livres specifiquement sur les aspects financiers

  • systeme dynamique

  • modeles stochastiques

  • arret optimal


Sujets

Informations

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Nombre de lectures 110
Langue Français

Exrait

1
Universite Pierre et Marie Curie, Paris 6
Master de Mathematiques M1 2010-2011
Modeles stochastiques
et Applications a la finance
Philippe Bougerol
30-03-20112Table des matieres
1 Introduction 7
1.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Un peu de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 En Francais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Deux gros livres speci quement sur les aspects nanciers. . . . 9
1.2.3 Deux livres en anglais, parmi d’autres . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Les articles de Wikipedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I Modeles a temps discret 11
2 Introduction a l’evaluation en nance, Vocabulaire et produits 13
2.1 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Les metiers de la nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 La valeur du temps: Taux d’inter^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Economiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Mathematiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Quelques taux utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Actifs nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Actifs de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Marche a terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Marches derives: Produits optionnels . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Utilite versus AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Le modele d’evaluation de base le plus simple . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.1 Interpretation probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.2 Univers risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 TABLE DES MATIERES
3 Rappels et complements d’analyse et de probabilite 23
3.1 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Mesurabilite et variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3 Independance et esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Projection dans un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Theoreme de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Un theoreme de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Calcul stochastique a temps discret 31
4.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 L’integrale stochastique discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Un theoreme de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Contr^ ole stochastique a horizon ni 39
5.1 Systemes dynamiques a temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Systeme dynamique contr^ ole deterministe . . . . . . . . . . . . 39
5.1.2 Systeme aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.3 Systeme dynamique contr^ ole aleatoire . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.4 Strategies markoviennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Premiers Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.1 Cas deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.2 Remarque fondamentale sur la complexite . . . . . . . . . . . . 47
5.3.3 Remplacement de machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Gestion de stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.5 Une solution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Arr^et optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.2 Enveloppe de Snell d’une suite adaptee . . . . . . . . . . . . . 51
5.4.3 Cadre markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.4 Approche du cas Markovien par l’enveloppe de Snell . . . . . . 53
5.4.5che du cas markovien par la programmation dynamique . 53
5.4.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Marches a temps discret, AOA, completude 59
6.1 Modele Stock-Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Portefeuille du marche (S;B) et auto nancement . . . . . . . . . . . . 60
6.2.1 Portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.2 Auto nancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.3 Changement de numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TABLE DES MATIERES 5
6.3 AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.1 Lemme sur la transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3.2 Preuve du theoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 Evaluation d’un actif replicable dans un marche viable . . . . . . . . . 66
6.5 Marche complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5.1 Complet => Unicite deP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.5.2 Unicite deP => Propriete de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 68
6.5.3 Propriete de Bernoulli => Representation previsible . . . . . . 68
6.5.4 Representation previsible => Complet . . . . . . . . . . . . . . 69
6.6 Modele binomial de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6.1 Le modele d’arbre recombinant de CRR . . . . . . . . . . . . . 70
6.6.2 La mesure martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6.3 Representation previsible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6.4 Prix d’options, Portefeuille de couverture . . . . . . . . . . . . 72
6.7 Appendice: Preuve de la proposition 6.5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Theorie du Portefeuille de Markowitz 77
7.1 La notion d’Utilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Theorie du portefeuille de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3.1 Cas sans taux xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3.2 Frontiere de Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.3 Approche par l’utilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3.4 Avec un actif sans risque, a taux xe . . . . . . . . . . . . . . . 83
8 Contr^ ole et ltrage lineaire optimal 87
8.1 Le cadre du contr^ ole lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Matrices symetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3 Programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.4 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4.1 Coe cients dependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4.2 Correction de trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.5 Le probl^eme du ltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.5.1 Gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.6 Le Filtre de Kalman Bucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.6.1 Le Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.6.2 Decomposition a l’aide de l’innovation . . . . . . . . . . . . . . 94
8.6.3 Calcul de la matrice de gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.6.4 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.6.5 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.7 Certainty Equivalence, Contr^ ole avec information imparfaite, Hors pro-
gramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 TABLE DES MATIERES
II Modeles a temps continu 101
9 Calcul stochastique a temps continu, par rapport au brownien 103
9.1 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.1 Famille gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.2 De nition du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.1.3 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.4 Martingales et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.2 Integrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.3 Processus arrete, martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.4 Formule d’Ito pour le Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.5 Generalisation unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.6 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.8 Propriete de Markov forte du Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.9 Theoreme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.9.1 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.10 Equations di erentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.11 Estimees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.12 Propriete de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.13 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10 Black et Scholes 125
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2.1 Le spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.3 Portefeuille auto nance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.4 AOA et l’univers risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.5 Marche complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.6 Formules de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.7 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.7.1 Volatilite implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.7.2 Gestion Delta neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.8 Generalisations du modele de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . 130
10.8.1 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11 Controle et gestion de portefeuille en temps continu 133
11.1 Le cadre du controle de di usions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.2 L’equation HJB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.3 Le modele de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Chapitre 1
Introduction
1.1. Plan
De nombreux phenomenes dependent en partie du hasard, il su t de penser a la
meteo de demain. On s’interesse dans ce cours a ceux qui varient au cours du temps.
Notons X l’etat de ce phenomene a l’instant t. Suivant que t prend des valeurst
+entieres dans N ou reellles dans R , on aura une modelisation a temps discret ou
continu et on dira que X est un processus a temps discret ou continu.t
Souvent on se place a l’instantt representant le present, et l’on cherche a travailler0
avec le processus X ;tt ; dans le futur, donc largement inconnu.t 0
Plusieurs questions sont interessantes. En theorie du controle, on peut agir sur
l’etat X a l’instant t et le transformer pour atteindre un but. Ce peut ^etre amenert
une fusee sur la lune, ou gagner de l’argent. En theorie du ltrage, on ne connait
pas bien l’etat lui m^eme et on cherche donc a l’approcher (quitte a utiliser cette
approximation ensuite pour faire du controle).
Le but de ce cours est d’introduire les methodes utilisees e ectivement pour traiter
ces probl^emes. Un des champs d’application est celui de la nance mathematique.
C’est aujourd’hui celui qui propose le plus de debouches. Nous l’etudierons en detail.
Dans une premiere partie, on se concentre sur le temps discret. C’est al que
les concepts sont les plus clairs et souvent directement applicables sur machines.
Ensuite, nous etudions le cas du temps continu. M^eme si mathematiquement il est
plus sophistique, il est en fait, dans de nombreux cas pratiques, beaucoup plus facile
et rapide a utiliser. Pour cette raison il est incontournable.
Le plan, un peu arbitraire, suivi est le suivant.
Premiere partie; Temps discret8 Introduction
1. On commence par introduire le vocabulaire de la nance et la problematique
de l’evaluation d’actifs derives. Ce sera souvent une source d’exemples.
2. Ensuite quelques rappels d’analyse et de probabilites. Puis le calcul stochastique
sur les martingales discretes.
3. On traite alors la theorie du cont^role a temps discret, la programmation dy-
namique et l’algorithme de Bellman, le probl^eme de l’arr^et optimal.
4. Les theoremes fondamentaux de l’evaluation d’actifs.
5. La gestion de portefeuille.
6. Controle^ et ltrage quadratique.
Deuxieme partie; Temps continu
1. Mouvement Brownien
2. Calcul stochatique d’Ito. Theoreme de Girsanov.
3. Formules de Black et Scholes.
4. Gestion de portefeuille a temps continu.
1.2. Un peu de bibliographie
1.2.1. En Francais
Michel Bena m , Nicole El Karoui. "Cha^ nes de Markov et simulations ; martin-
gales et strategies." Les Editions de l’Ecole polytechnique, Eyrolles
Francis Comets, Thierry Meyre: "Calcul Stochastique et Modeles de Di usion"
(2006), Collection MastereSMAI {DUNOD
R.A. Dana, M. Jeanblanc-Picque "Marches nanciers en temps continu: valorisa-
tion et equilibre". Economica (1998)
J.-F. Delmas and B. Jourdain. "Modeles aleatoires, volume 57 of Mathematiques
et Applications. Springer, Berlin, (2006). Applications aux sciences de l’ingenieur et
du vivant.
G. Demange, J.C. Rochet "Methodes mathematiques de la nance". Economica
(1997)
D. Lamberton, B. Lapeyre "Introduction au calcul stochastique applique a la
nance". Ellipses (1997)
Etienne Pardoux, "Processus de Markov et applications: Algorithmes, reseaux,
genome et nance", Dunod, 2007.1.2 Un peu de bibliographie 9
1.2.2. Deux gros livres speci quement sur les aspects nanciers.
Patrice Poncet et Roland Portait, Finance de marche de Patrice Poncet et Roland
Portait , Dalloz
John Hull, Options futures et autres actifs derives, 6 eme Edition, Pearson Edu-
cation.
1.2.3. Deux livres en anglais, parmi d’autres
Alison Etheridge, "A Course in Financial Calculus", Cambridge University Press
A. Shiryaev Essentials of stochastic nance: facts, models and theory. World Sci-
enti c (1998)
1.2.4. Les articles de Wikipedia
Qui sont souvent tres bien faits...