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A MATH I PC

5 pages
Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2009 MATH. I PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • phénomène de trou spectral

  • ?sn ?

  • mines de nancy

  • disposition des concours

  • supérieure de l'aéronautique et de l'espace

  • disque fermé de centre


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A 2009MATH. IPC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2009
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Étude spectrale d’un opérateur de transfert
SoitVunC-espace vectoriel etTun endomorphisme deV: on dira que le complexeλ est une valeur propre deTs’il existe un élémentfdeVnon nul tel queT f=λf. 0 SoitCl’espace des fonctions deRdansCqui sont continues et1périodiques. Cet espace est normé par kfk= sup{|f(x)|, xR}. On désigne pare0la fonction constante égale à1sur toutRet parDle sous-espace 0 vectoriel deCengendré pare0. 0 SifCon définit   1x x+ 1 T f(x) =f( )+f( ). 2 22 L’objet du problème est l’étude des propriétés spectrales de diverses restrictions de 0 Tà des sous-espaces invariants deC. On mettra notamment en évidence sur certains de ces espaces la propriété de « trou spectral » : il existe0< r <1tel que les valeurs propres autres que1sont de module inférieur ou égal àr.
I Préliminaires 0 1) Montrerque sifappartient àCalorsT faussi.
0 2)Montrer que pour tout élémentfdeCon a l’inégalitékT fk6kfkpuis que supkT fk= 1. kfk=1
0 0 On appelleHl’hyperplan deCdes fonctionsftelles que Z 1 f(t)dt= 0. 0
0 3) MontrerqueHest stable parT.
0 4) Expliciterla projectionPsurDparallèlement àH.
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II Fonctionstrigonométriques 2iπkx Pour tout entier relatifk, on noteek(x) =ede sorte queekest continue et 0 1-périodique, c’est-à-dire queekappartient àC. Pour tout entiern, on désigne parEn 0 le sous-espace deCengendré pare0, e1, e1,∙ ∙ ∙, en, en.
5)DéterminerT ek(respectivementP ek) pour tout entier relatifket en déduire que les espacesEnsontTstables (respectivementP-stables).
On noteTn(respectivementPn) l’endomorphisme deEninduit parT(respectivement parP).
6) Calculerles valeurs propres deT2. L’endomorphismeT2?est-il diagonalisable
k1k 7)SoitnNetkl’unique entier tel que26n <2.Montrer pour tout entier p>k,l’identité suivante : p T=Pn. n
8)Calculer les coefficients de Fourier deT fen fonction de ceux defpour tout 0 fC.
9)DéterminerlenoyaudeT.
III Fonctionshöldériennes On rappelle que pour tous les réelsxety, ix iy |ee|6|xy|. α0 Soitα]0,1[. On appelleCle sous-espace deCdes fonctionsftelles que ( ,) |f(x)f(y)| 2 (x, y)R, x6=ysoit majoré. α |xy|
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On notera alors ( ,) |f(x)f(y)| 2 mα(f() = supx, y)R, x6=y . α |xy| On admettra que kfkα=mα(f) +kfkα définit une norme surC.
α 10) MontrerqueCest stable parT.
α On noteTαl’endomorphisme deCinduit parT .
α 11) Montrerque pour toutfC,kTαfkα6kfkαpuis quesup kfkα=1kTαfkα= 1.
Soitλun nombre complexe de module strictement inférieur à1. On pose, pour tout réelx, n X k Sn(x) =λ e2(x). k k=0
P k 12)Montrer que la série de fonctionskλ e2converge normalement surRvers une k 0 fonctionfλC.
On admettra, que dans ce cas, la suite(Sn, n>0)converge dans l’espace vectoriel 0 (C ,k k)versfλ: limkSnfλk= 0. n+
13) Montrerqu’alorsT fλ=λfλ.Est-ce queλest une valeur propre deT?
α 14) Soitmaintenantλtel que|λ|62et deux réelsxetytels que n1n 2<|xy|62. En considérant séparément les sommes aveck6netk > ndans la série ayant α pour valeurfλ(x)fλ(y), montrer quefλC. 4
α0α 15) MontrerqueTαlaisse invariantH=HC .
0 16) SoitfCuqree,montr
n 21 X nnnn T f(x) = 2f(k2 +x2 ). k=0
α 17) Établir,pourfC, l’inégalité suivante : Z 1 nsup |Tαf(x)f(t)dt|62mα(f). 0 x[0,1]
α 18) Montrerque sifHalors pour tout entiern, l’inégalité suivante est vérifiée :
n1kT fkα62kfkα. α
19)En déduire que l’ensemble des valeurs propres deTαest la réunion du singleton{1} α et du disque fermé de centre0et de rayon2(phénomène de trou spectral).
Fin du problème
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