A MATH II PC

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2009 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• autour du noyau de poisson


• mines de nancy


• concours d'admission


• disposition des concours


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• École nationale supérieure des mines de Nancy

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

A 2009MATH. IIPC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2009

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Autour du noyau de Poisson

Définitions et notations – OnnoteF;l’ensemble des nombres réels positifs non entiers – On note D l’ensemble des nombres complexes de module inférieur strictement à1 . – Si Z est un nombre complexe, on note Re ( Z )sa partie réelle et Im ( Z )sa partie imaginaire. – Dans tout le problème, on désigne par g la fonction réelle de variable réelle définie par : g: [0,1]−→R 1 u7−→∙ 1 +u I Questionpréliminaire 1) Soitxun réel. Montrer que l’intégrale : Z x−1−x 1 u+u I(x) =du 0 1 +u existe si et seulement six∈]0,1[.

L’objet du problème est de calculer la valeur de cette intégrale.

II Uneidentité intégrale Soit f une fonction à valeurs réelles, définie et développable en série entière sur[0 , 1[. On note(a n ) n∈N les coefficients de son développement.

2) Montrerque l’expression Z 1 x−1 v f(yv)dv 0 a un sens pour toutx >0et touty∈]0,1[.

2

Pourx >0, on pose  Z 1 x−1 v f(yv)dv   0 S[f](x, y) = f(0)   x

poury∈]0,1[,

poury= 0.

3) Montrerque pour toutx >0, la fonctiony7→S[f](x, y)est continue sur[0,1[.

4) Montrer que pour tout x∈F , la fonction y7→S [ f ]( x, y )est développable en série entière sur[0 , 1[ , et donner les coefficients de son développement en série entière.

˜ On considère la fonctionfdéfinie surDpar la relation : +∞ X ˜ n ∀z∈D:f(z) =a n z . n=0 Pour toutx∈Fet touty∈[0,1[,on considère l’expression : Z  1 π iπxt iπt ˜ J[f](x, y) =Ree f(−ye)dt . sin(πx) 0

5) Calculer,pour toutx∈Fet toutn∈N: n Z 1 (−1)π I n (x) =cos(π(n+x)t)dt. sin(πx) 0

6) Montrer que pour tout x∈F , la fonction y7→J [ f ]( x, y )est développable en série entière sur[0 , 1[ , et donner les coefficients de son développement en série entière. En déduire que S [ f ]( x, y ) = J [ f ]( x, y )pour tout x∈F et tout y∈ [0 , 1[ .

Pour toutx∈]0,1[et touty∈[0,1[,on pose : C[f](x, y) =S[f](x, y) +S[f](1−x, y).

3

7) Établirl’identité suivante pour toutx∈]0,1[et touty∈[0,1[: Z 1 π(1−y) cos(π(1−x)t) + cos(πxt) C[g](x, y) =dt. 2 sin(πx) 0 1−2ycos(πt) +y

III Noyaude Poisson Pour touty∈[0,1[et toutt∈[0,1],on définit lenoyau de PoissonPpar : 2 1−y P(t, y) =. 2 1−2ycos(πt) +y

8) Établirl’identité suivante pour touty∈[0,1[et toutt∈[0,1]: " # iπt 1 +ye P(t, y) =Re. iπt 1−ye

9) Montrer que pour t∈ [0 , 1]fixé, la fonction y7→P ( t, y )est développable en série entière sur[0 , 1[ , et calculer les coefficients de son développement en série entière.

10) Établirque pour touty∈[0,1[on a : Z 1 P(t, y)dt= 1. 0

Dans les questions 11) et 12) ci-dessous, on désigne par ϕ une fonction définie et continue sur[0,1],à valeurs réelles.

11) Montrerque pour toutα∈]0,1[, on a : Z 1 limP(t, y)ϕ(t)dt= 0 y→1 α et Z α P(t, y)ϕ(t)dt6sup|ϕ(t)|.   0 t∈[0,α]

4

12) Endéduire que l’on a : Z 1 limP(t, y)ϕ(t)dt=ϕ(0). y→1 0 On pourra commencer par traiter le cas oùϕ(0) = 0.

IV Applicationà un calcul d’intégrale Pour toutx∈]0,1[et touty∈[0,1[,on pose : Z 1 A(x, y) =P(t, y) cos(πxt)dt. 0

13) Pour tout x∈ ]0 , 1[et tout y∈ [0 , 1[ , exprimer C [ g ]( x, y )en fonction de A ( x, y ) et deA(1−x, y).

14) Pour x∈ ]0 , 1[fixé, déterminer la limite de C [ g ]( x, y )quand y tend vers1par valeurs inférieures.

15) Endéduire la valeur deI(x)pour toutx∈]0,1[.

Fin du problème

5