A MATH II PSI

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2009 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• filière tsi


• convention h?1


• inégalité de cauchy schwarz


• disposition des concours


• signature de la permutation ?


• développement en série entière


• entier naturel


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• Entier naturel

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

A 2009 MATH. II PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2009

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Aspects déterministes de l’étude des matrices aléatoires

Rappels

On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent de n !quand n tend vers l’infini √ n+1/2−n n!∼2e .π n On rappelle aussi que le déterminant d’une matrice M de coefficient( m i, j ; 1 6i, j6n ) peut s’exprimer comme X detM=ε(σ)m 1,σ(1) m 2,σ(2) . . . m n,σ(n) , σ∈S n où S n est l’ensemble des permutations de { 1 ,∙ ∙ ∙, n} et ε ( σ )est la signature de la permutationσ.

I

Polynômes d’Hermite

Pour tout entier naturelk,on définit la fonctionh k par

h k :R−→R k (−1) 2 2 x k −x x→−7eD(e), k 2 2 2 k −x−t où D ( e )désigne la dérivée k -ième de la fonction g ( t ) = e prise au point t = x . 2 2 0−x−x (Par conventionD(e) =e.)

1) Calculer h 0 et h 1 et établir pour tout entier n , pour tout réel x , l’identité suivante :

0 (x)−2xh 2h n+1n (x) +h n (x) = 0.

2) En déduire queh n est un polynôme de degrénet de coefficient dominant1.

On admet que pour tous les entiersmetn,  √ Z  −n +∞ 2 π n! 2 −x h m (x)h n (x)edx=  0 −∞

2

sim=n sim6=n.

(1)

(2)

On notera dorénavant

√ −n d n =π n! 2.

3) Montrer que pour tout réelx, l’identité suivante est satisfaite : n d 2 2 −(x−t)n−x e= 2e h n (x). n  dt t=0

4) Montrer que pour tout réelx, la fonctionf x de la variable réelletdéfinie par 2 −(x−t) f x (t) =e , admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence, +∞ k X 2 t k−x f x (t2) = h k (x)e . k! k=0

On considère la fonctionwdéfinie par w:R×R−→R 2 2xt−t (x, t)7−→e . Il est évident (et admis dans la suite) que w satisfait la propriété suivante : pour tout réelxet tout réelt, ∂w (x, t)−(2x−2t)w(x, t) = 0.(3) ∂t

5) Établir pour tout réel x et tout entier positif n, l’équation de récurrence suivante : 2h n+1 (x)−2xh n (x) +nh n−1 (x) = 0,(4) avec la conventionh −1 (x) = 0.

0 6) Montrer que pour tout entiern,l’identitéh=nh n−1 est satisfaite. n

On pose maintenant pour tout entierket pour tout réelx, 2 1 x − φ k (x) = √ e h k (x). 2 d k

3

Dans toute cette partie, m est un entier naturel fixé. Soient β et γ deux réels non nuls etrune fonction continue surR, on considère l’équation différentielle suivante :  002 ρ(x) +γ ρ(x) =r(x),pour tout réelx,   (S(r, β, γ)) ρ(0) =β,   0 ρ(0) = 0.

10) Montrer que l’équation différentielle (S(r, β, γ)) a une solution unique dont on donnera l’expression.

4

r n−1 X n φ n (x)φ n−1 (y)−φ n−1 (x)φ n (y) φ k (x)φ k (y) =∙ 2x−y k=0

II

(x−y)h k (x)h k (y)

8) Pour tout entierk,tout réelxet tout réely, exprimer

0 7) Calculerφ n (0)etφ(0)pour tout entiern. n

9) Établir, pour des réelsxetydistincts, les identités suivantes :

Les égalités (2) impliquent que Z Z +∞+∞ 2 φ m (x)dx= 1et queφ m (x)φ n (x)dx= 0,sim6=n. −∞ −∞

n−1 X 1 1 (x−y)h k (x)h k (y() = h n (x)h n−1 (y)−h n (y)h n−1 (x)), d k d n−1 k=0

Étude deφ 2m

(5)

uniquement en fonction deh k+1 (x), h k+1 (y),h k (x),h k (y),h k−1 (x)eth k−1 (y).

(6)

Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l’admet dorénavant) que pour toutm,φ 2m est solution de l’équation différentielle suivante :  002 ρ(x) + (4m+ 1)ρ(x) =x ρ(x),pour tout réelx,   (S) ρ(0) =φ 2m (0),   0 0 ρ(0) =φ(0). 2m

11) Montrer que pour tout réelx, √ Z x √ sin( 4m+ 1(x−y)) 2 φ 2m (x) =α 2m cos( 4m+ 1x) + √ y φ 2m (y)dy, 4m+ 1 0 avec pour tout entierm: q m (2m)! (−1) α 2m = 1 ∙ m 2m! π 4

12) Trouver un équivalent deα 2m quandmtend vers l’infini.

13) Montrer que pour tout réelx, l’inégalité suivante est vérifiée : √ 5 Z x 2 sin( 4m+ 1(x−y)) 1|x| 2 √ y φ 2m (y)dy6∙ √ √   4m4+ 1 m+ 1 5 0 On pourra utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations(5).

14) Établir pour tout réelx >0, la limite suivante : √ x 1 m 4 lim (−1)φπ m 2m ( √ ) = cos(x). 2m m→+∞

III

Intégrales de déterminants

(N) 2 Pour tout entierN, on noteKla fonction deRdansRdonnée par N−1 X (N) K(x, y) =φ k (x)φ k (y), k=0

2 pour tout(x, y)∈R.

5

15) Montrer, pour toutxetydansR,les identités suivantes : Z +∞ (N) (N) (N) K(x, z)K(z, y)dz=K(x, y), −∞ Z +∞ (N) K(x, x)dx=N. −∞

Soit k un entier tel que k> 2, et σ une permutation de l’ensemble { 1 , . . . k} . Pour deux entiers i et j de { 1 , . . . k} , on note( i, j )la transposition qui échange i et j . On fait la convention :(i, j)est égale à l’identité deS k sii=j. On pose b σ= (k, σ(k))◦σ.

16) Montrer que b σ définit une permutation de { 1 , . . . , k} telle que b σ ( k ) = k . Calculer sa signature en fonction de celle de σ . (On distinguera le cas où σ ( k ) = k du cas oùσ(k)6=k.)

On note σ e la restriction de b σ à { 1 ,∙ ∙ ∙, k− 1 } . On considère l’application θ définie par : θ:S k −→S k−1 σ→−7σ e . Soitσ∈S k , on rappelle que   −1 θ{θ(σ)}={τ∈S k / θ(τ) =θ(σ)}.

17) Soitσ∈S k , établir les propriétés suivantes :     1 −1 cardinalθ({θ(σ)}) =  k−1

siσ(k) =k, sinon.

k 18) Montrer pour tout( x 1 ,∙ ∙ ∙, x k ) ∈R , pour tout entier N , les identités suivantes :  k−1 Y (N) N K(x i , x)siσ(k) =k, σ e (i)  Z k  i=1 +∞ Y (N) K(x i , x σ(i) )dx k = −∞ i=1 k−1 Y (N)   K(x i , x)sinon. e σ(i) i=1

6

2 Si L est une fonction de R à valeur dans R, on note pour tout( x 1 ,∙ ∙ ∙, x k )dans k R,   L(x 1 , x 1 )L(x 1 , x 2 ). . . L(x 1 , x k ) L(x 2 , x 1 )L(x 2 , x 2 ) DetL(x 1 ,∙ ∙ ∙, x k ) = det.  .  .  . . .  L(x k , x 1 ). . . . . . L(x k , x k ) 2k On notera que siLest continue surRalorsDetLest continue surR.

19) En utilisant l’expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entierk>1, Z +∞ (N) (N) DetK(x 1 ,∙ ∙ ∙, x k )dx k = (N−k+ 1) DetK(x 1 ,∙ ∙ ∙, x k−1 ), −∞ (N) avec par conventionDetK(x 1 ,∙ ∙ ∙, x k ) = 1sik= 0.

IV

Déterminants

et intégrales

(N)N Pour tout entierN>1,on noteΨla fonction deRdansRdéfinie par P N Y 2 (N)−x2 i=1 i Ψ (x 1 , . . . , x N ) =e(x i −x j ). 16i<j6N

(N) k Pour16k6N, on noteΨla fonction deRdansRdéfinie par récurrence par k (N) (N) Ψ = Ψ, N et pourk < N Z +∞ (N) 1 (N) Ψ (x 1 , . . . , x k Ψ () = x 1 , . . . , x k , y)dy. k k+1 N−k −∞

20) SoientNréels,x 1 ,∙ ∙ ∙, x N , montrer les deux égalités suivantes :    h 0 (x 1 )h 1 (x 1 )∙ ∙ ∙h N−1 (x 1 ) 1x 1 ∙ ∙ ∙   det = det  . . ..   . . . h 0 (x N )h 1 (x N )∙ ∙ ∙h N−1 (x N ) 1 x N ∙ ∙ ∙

7

Y = (x i −x j ). 16i<j6N

 N−1 x 1  .  N−1 x N

21) Soient N réels( x 1 ,∙ ∙ ∙, x N ), établir pour tout entier1 6k6N , l’identité suivante : 1 (N) (N) Ψ k (x 1 , . . . , x k ) = DetK(x 1 ,∙ ∙ ∙, x k ). d 0 ∙ ∙ ∙d N−1 On commencera par le cask=N.

Fin du problème

k On déduit de tout ce qui précède, que pour tout entier k > 0et tout( x 1 , . . . , x k ) ∈R , 1 (N) x 1 x k k − 2 lim (2N) Ψ ( √ , . . . , √ ) = detS(x 1 ,∙ ∙ ∙, x k ), k d 0 ∙ ∙ ∙d N−1 2N2N N→+∞

où

2 S:R−→R sin(x−y) (x, y)→−7six6=y π(x−y) 1 (x, x)7→−. π Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l’on choisit une matrice hermitienne de taille N ,« au hasard », la probabilité que k de ses valeurs propres soit dans un voisinage de( x 1 , . . . , x k )est proportionnelle à detS ( x 1 ,∙ ∙ ∙, x k )pour N grand. Ces considérations sont particulièrement d’actualité pour l’étude des systèmes radio à plusieurs antennes utilisés dans les « box ».

8