A PHYS II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 1999 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filières PC (Durée de l'épreuve : 4 heures) Sujet mis à disposition du concours ENTPE Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II -PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages. En fin d'énoncé, on rappelle les notations utilisées dans ce problème • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. • Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

• soufflé au fromage


• plaque


• plan π1


• plaque homo


• air


• masse d'eau minimale


• ak cos?

Sujets

• École polytechnique
• Plaque

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
• Nombre de lectures: 209
• Langue: Français

Extrait

A 99 PHYS. II
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 1999
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filières PC
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
Sujet mis à disposition du concours ENTPE
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II PC
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages.
En fin d’énoncé, on rappelle les notations utilisées dans ce problème
• Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené
à prendre.
• Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.
• Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
ˆ Notations : vecteur : V (gras) ; norme du vecteur V : V (italique) ; vecteur unitaire : v .
Cuisson d’un soufflé
Les trois parties de ce problème sont largement indépendantes entre elles.
On se propose d'étudier la diffusion de l’énergie thermique au sein d'une plaque homo
gène d’épaisseur d, placée dans un four aux parois métalliques maintenues à la température
T . La figure 1 précise la configuration et les notations. Les plans et sont de très gran e 1 2
des dimensions devant d. La température initiale de la plaque, notée T, est uniforme.i
Jusqu’à la question 7, les seuls transferts envisagés sont les transferts thermiques.
A la date t, un point de la plaque est à la température T. On appellera T la température1
de la plaque à la surface . En dépit des discontinuités du milieu (interfaces paroi plaque1
et plaque air), la température est supposée être une fonction deux fois dérivable de l’espace.
A) Équilibre de l'ensemble.
1 – Comment justifier le modèle où, en régime stationnaire, la température T dansp
la plaque et T dans l’air sont uniformes.a
2 – Donner le nom de la transformation décrivant l'évolution de l’ensemble {plaque
et air}.
qPqPP2 CUISSON D’UN SOUFFLE
3 – Expliquer pourquoi la pression de l’air dans le four ne peut pas être constante au
cours de l’évolution et en déduire les hypothèses de l’énoncé qui vous paraissent, en consé
quence, les plus suspectes.
4 – Quelles sont les relations entre températures T , T et T à l’équilibre ?e p a
Te
z
L
Air : V , , c , la a a a
(z = 0)1O
d Plaque : r, c, l, T(z, t)
2
Te
Fig. 1 : Plaque dans un four
Le matériau de la plaque a une masse volumique , une capacité thermique massique c et une
conductivité thermique ( > 0). Ces trois grandeurs sont constantes. L'air au dessus de la plaque
occupe le volume V constant ; sa masse volumique est , sa capacité thermique massique est c et saa a a
condique est . On considérera , c et comme constantes. Le plan est en contacta a a a 2
avec la paroi inférieure du four. Le plan est à la distance L de la paroi supérieure du four.1
Établissement de la température dans la plaque.
5 – Justifier d’après les hypothèses que = T T puisse ne dépendre que de z et de t.e
On supposera qu’il en est effectivement ainsi.
6 – Établir l’équation différentielle vérifiée par :
2
a = 0 .
t
Donner l'expression de a en fonction de , c et .
7 – On cherche une solution de cette équation de la forme = f(z).g(t). Établir les
équations différentielles vérifiées respectivement par f(z) et g(t). On introduira une cons
tante supplémentaire , homogène à l'inverse d'un temps.
2
8 – Déterminer le signe de de telle manière que limgt = 0. Posant =- k , don ()
t޴
ner l'expression de g(t). Pourquoi rejeter l’autre solution ?
9 – Déterminer l’expression de sous la forme : = A cos z + B sin z exp a ¢ t,()k k k

qui sera provisoirement acceptée. Donner l'expression de et celle de ’ en fonction de a et
k. Les constantes A et B seront déterminées par la suite. Déterminer l’expression des fluxk k
surfaciques de puissance J() à travers et J à travers ( et ’ ayant étéQ 1 1 Q 2 2

exprimés en fonction de a et k).
2/6
qqnqnlPrrqqDr-Pal¶lqq¶qqPaPPrqlqaqaalrqPnqPPaPhysique II 1999 ; filière PC
B) Étude des conditions aux limites imposées aux niveaux de et .1 2
On s’intéresse d'abord au plan .1
10 – Première situation : on néglige tout mouvement de l’air au dessus de la plaque.
Écrire l’équation différentielle vérifiée par la température T (z, t) ; déterminer T (z, t) ena a
supposant que l’évolution de la température de la plaque au niveau du plan est suffisam-1
ment lente pour que l’on puisse envisager de négliger le terme dépendant du temps dans
l’équation locale pour T . En déduire le flux de puissance J à travers en fonctiona () 1Q 11
de , L, T et T .a e 1
11 – Seconde situation : l'air est
T brassé (brassage forcé) au dessus de la pla a
que. La distribution de la température T esta
alors modélisée comme indiqué à la fig. 2 ;
Te est de l'ordre de quelques dixièmes de
millimètre. On considère que le transfert
thermique est uniquement conductif au voisi
T1 nage de (ce qui revient à considérer que la1
vitesse de l'air est très faible sur l'épaisseur
z
). Déterminer T (z, t) en fonction de T , T eta e 1
, puis le flux de puissance J à travers0 ()Q 12
Fig. 2 : profil de température de l’air en fonction de , , T et T .1 a e 1
dans le cas de brassage forcé ; le plan P cor 1
respond à z = 0.
12 – Comparer J () à J () .Q 1 Q 11 2
• Quel est l’intérêt d'un four disposant d'un ventilateur pour brasser l'air ?
• Pour refroidir un biberon, a t on intérêt à le plonger dans l’eau froide ou à le mettre
dans un courant d’eau froide ?
• Pourquoi est il thermodynamiquement convenable de souffler sur sa cuillère de
soupe trop chaude pour la refroidir (remarquer que cette situation fait intervenir un
changement d’état) ?
Le flux de puissance à travers la partie supérieure de la plaque (plan ), comme on l'a1
montré dans les deux situations envisagées aux questions 10, 11 et 12, sera écrit sous la
ˆforme générale J =- hT T z avec h > 0 (l’indice « a » se rapporte à l’air).()Qa e 1

13 – Quel est le sens physique de l’égalité entre J et J ? en déduire la rela ()Q 1 Qa
tion entre A et B et donner l'expression de en fonction de A seul (et bien sûr de a, k etk k k k
).
14 – Déduire de la condition imposée à T au niveau du plan la relation entre k, d,2
a, et h.
3/6
hPPqqlPlPhPPPPPqh-hPlPPqqhPlPq4 CUISSON D’UN SOUFFLE
15 – Montrer graphiquement que cette relation, vue comme une équation pour k,
admet une infinité de solutions. À chaque valeur k de k, on associe la solution (expriméei i
en fonction de k et de A valeur de A pour k ). On admettra que la solution générale s’écriti i, i
()z,t = ()z,t .? i
i =1
Applications numériques
3 1 1
d = 5,0 cm = 200 kg.m c = 240 J.kg .K
1 1 1
T = 180 °C T = 20 °C = 1,00.10 W.m .K .e i
NB 2 1
On envisagera deux cas : air non brassé, h = 5,00 W.m .K .
B 2 1
air avec brassage forcé, h = 300 W.m .K .
Les questions 17 à 24 seront traitées dans les deux cas.
16 – Calculer a.
17 – Estimer rapidement les deux premières valeurs non nulles de k ; les valeurs
exactes sont :
1 1 1 1
NB NB NB NB2 2 2 2k = 0,0685 s , k = 0,149 s , k = 0,0899 s et k = 0,1805 s1 2 1 1
2
exp k t()1NB, B
18 – Déterminer les dates t à partir desquelles, respectivement, r =1 2
exp k t2
devient supérieur à 10. On considérera que pour t > t , seul le terme en k est à considérer.1 1
2
19 – Déterminer la date t à partir de laquelle le termeexp k t est inférieur à 0,1.2