Analyse Numérique Corrigé du TD6
26 pages

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Analyse Numérique Corrigé du TD6

-

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
26 pages
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 6 EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires 1.1 Matrices diagonales Soit D = (dii)i=1,...,n une matrice diagonale d'ordre n > 0. Donner une condition necessaire et suffisante pour que D soit inversible. On peut representer D sous forme du tableau suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? d11 . . . 0 dii 0 . . . dnn ? ? ? ? ? ? ? ? . Comme det D = n ∏ i=1 dii, on a D inversible ?? det D 6= 0?? dii 6= 0 , ? i = 1, ..., n . 1.2 Matrices triangulaires inferieures Soit L = (lij)i, j=1,...,n une matrice triangulaire inferieure d'ordre n > 0. a. Sous quelle condition necessaire et suffisante L est-elle inversible ? La matrice L peut se mettre sous la forme suivant : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? l11 l21 l22 ... . . . l1i lij lii 0 .

  • elimination de gauss

  • ?2 ?2

  • n?1 ∑

  • systeme triangulaire

  • l3 ?

  • u2 n?1 u2

  • ?? det


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 151

Exrait

Universit´edeNiecoShpaiA-tnpiloLiisncce3MeLh´attameeuqinnAs2ee´2009008/
EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires
1.1 Matrices diagonales SoitD= (dii)i=1nune matrice diagonale d’ordren >0. Donner une condition ne´cessaireetsusantepourqueDsoit inversible. Onpeutrepre´senterDsous forme du tableau suivant :
AnalyseNume´rique Corrige´duTD6
1
d11...0 dii0.. . dnn
n Commedet D=Ydii, on a i=1 Dinversible⇐⇒det D6= 0⇐⇒dii6= 0i= 1  n  1.2Matricestriangulairesinf´erieures SoitL= (lij)i j=1nmaneudorderuere´erieinfalrinaugteirrtcin >0. a.Sousquelleconditionn´ecessaireetsusanteLest-elle inversible ? La matriceLmettre sous la forme suivant :peut se ll1121l22. . .. l1ilijlii0. . . ln.1lnj  lnln1nn11lnndo`ulamatricetriangulaireinfe´rieureLtueprteˆiserep´earect´ac:ar
2
Quelestlecoˆutdecetalgorithmeentermesdop´erationse´le´mentaires(addi-tions, multiplications, divisions) ? Le calcul dey1demande 1 division (div) dans l’algorithme (1.2). Pouriadsnxe´{1  n}, le calcul deyipar l’algorithme (1.2) requiert 1 division (div), i1 additions (add) eti1 multiplications (mult). AutotallecoˆutCLde l’algorithme (1.2) est CL= 1 div +i=nX2(i1) add + (i1) mult + 1 divn n1n1 = 1 div +X1 div +Xkadd +Xkmult i=2k=1k=1 (n1)n = 2 add + (n21)nmult +ndivLenombredop´erationse´l´ementairesCLest de l’ordre den2,i.e.CL=O(n2).
Commelii6= 0i= 1  nulose´ral,st`eme(1tiondusyirt1.s)´ce b1 y1=l11 yi=li1ibiijX11=lijyji= 2  n (1.2)
b.Onsupposequelamatricetriangulaireinf´erieureLest inversible. Soitb un vecteur colonne ayantncomposantes. Donnerunalgorithmequipermetder´esoudrel´equationdinconnuey: L y=b (1.1)
lij= 0 sii < ji j= 1  n  n Puisquedet L=Ylii, on a i=1 Linversible⇐⇒det L6= 0⇐⇒lii6= 0i= 1  n 
Unsit´iverSeciNedenA-aihposLlipotiL3ceenic002/9ee´n8002qutiAnesthMama´e
  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents