Analyse Numerique M Licence Semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Analyse Numerique – M 206 Licence Semestre 4 Resolution numerique d'une equation non lineaire 1. Demontrer que toute fonction continue f : [0, 1] ? [0, 1] a au moins un point fixe. 2. Soit la fonction f(x) = 2x + cos(x). Montrer que f admet au plus une racine dans RI . 3. On considere l'equation 0.345x ? cosx? 0.5 = 0. (a) Montrer qu'il existe une unique racine de l'equation dans l'intervalle [0, π]. (b) Determiner par la methode de la dichotomie un intervalle d'amplitude 10?2 qui contient cette racine. (c) Proposer une methode iterative pour le calcul de cette racine avec une precision de 10?6. 4. Soit f une fonction derivable sur un intervalle I telle que ?x ? I, 0 < M1 ≤ f ?(x) ≤ M2 . On suppose que f a un zero sur I. Montrer qu'il est unique. On se propose de calculer numeriquement le zero de f . Pour cela, on introduit la fonction g definie par g(x) = x? ?f(x), ou ? est un reel strictement positif. (a) Montrer que g a un seul point fixe dans I. (b) Montrer que l'on peut choisir ? tel que g soit fortement contractante sur I (on pourra utiliser le theoreme des accroissements finis).

• methode de picard


• convergence


• intervalle d'amplitude


• resultat de convergence locale


• x¯


• calcul numerique de x¯

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Extrait

AnalyseNum´erique–M206

LicenceSemestre4

R´esolutionnume´riqued’une´equationnonline´aire

1.D´emontrerquetoutefonctioncontinuef: [0,1]→[0,1] a au moins un point fixe.

2. Soit la fonctionf(x) = 2x+ cos(xque). Montrer f.admet au plus une racine dans IR

x 3.Onconside`rel’´equation0.345−cosx−0.5 = 0.

(a)Montrerqu’ilexisteuneuniqueracinedel’e´quationdansl’intervalle[0, π]. −2 (b)De´terminerparlam´ethodedeladichotomieunintervalled’amplitude10quicontient cette racine. −6 (c)Proposerunem´ethodeite´rativepourlecalculdecetteracineavecunepre´cisionde10.

4. Soitflealrvteunefiondonctavlbe´irnuniseruItelle que

′ ∀x∈I,0< M 1 ≤f(x)≤M 2 .

On suppose quefanu´zresoruIOn se propose de calculerqu’il est unique. . Montrer nume´riquementlez´erodef. Pour cela, on introduit la fonctiongaprde´nfiei

o`uαtcirnemee´rntsle.estuostpifit

g(x) =x−αf(x),

(a) Montrer quega un seul point fixe dansI. (b) Montrer que l’on peut choisirαtel quegsoit fortement contractante surI(on pourra utiliserlethe´ore`medesaccroissementsfinis). (c)Ende´duirequelasuitex n fiein´depar

x 0 dansnn´edoIetx n+1 =g(x n )∀n≥0

convergeversleze´rodef.

5. Soitfune fonction lipschitzienne de rapportκsur IR . On suppose que

(f(x)−f(y)).(x−y)≤0∀x, y∈IR

(a) On suppose quefa un point fixe ¯x. Montrer qu’il est unique. (b) Soitα >nconiOs.`0drelesaiuetx n d´efiniepar

x 0 e´nnsnaddoIetx n+1 =x n +α(f(x n )−x n )∀n≥0.

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