Baccalauréat ES Nouvelle Calédonie novembre

Description

Niveau: Supérieur
[ Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie \ novembre 2004 EXERCICE 1 3 points x ?∞ ?2 1 ? +∞ f ?(x) ? ? 0 + variation +∞ +∞ +∞ de f ?∞ ?1 0 On a donné le tableau de variations d'une fonction f définie sur ]?∞ ; ?2[?]? 2 ; +∞[, où ? est le nombre réel strictement supérieur à 1 tel que f (?)= 0. On appelle C la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonor- mal ( O, ??ı , ??? ) . Dire pour chacune des cinq affirmations suivantes si elle est VRAIE ou si elle est FAUSSE ou si ON NE PEUT PAS CONCLURE. Aucune justification n'est demandée. Le barème est le suivant : – 0,5 point par réponse exacte ; – 0,25 point par réponse fausse ; – 0 point pour absence de réponse. Cet exercice sera noté entre 0 et 3 ; il n'y aura pas de note globale négative. 1. La droite d'équation y =?2 est asymptote à la courbe C . 2. L'équation f (x)= 1 admet exactement deux solutions. 3. f (x)6 0 pour tout x ? ]?5 ; ?2[. 4. Sachant que ? appartient à l'intervalle ]1 ; 2[, on a ∫2 ? f (x)dx < 0.

• section avec le plan d'équation z


• point par réponse fausse


• réels stric- tement positifs


• réel de l'intervalle


• repère ortho- gonal


• représentation graphique

Sujets

• Représentation graphique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2004
• Nombre de lectures: 28

Extrait

[Baccalauréat ES NouvelleCalédonie\ novembre 2004

E X E R C IC E 1

x−∞ ′ f(x) +∞ variation def

−

3 points

−2 1 α+∞ − 0+ +∞ +∞ 0 −∞ − 1

On a donné le tableau de variations d’une fonctionfdéfinie sur ]− ∞;−2[∪]−2 ;+∞[, oùαest le nombre réel strictement supérieur à 1 tel que f(α)=0. On appelleCla représentation graphique de la fonctionfdans un repère orthonor ³ ´ −→−→ mal O,ı,. Dire pour chacune des cinq affirmations suivantes si elle estVRAIE ou si elle est FAUSSE ou si ON NE PEUT PAS CONCLURE. Aucune justification n’est demandée. Le barème est le suivant : – 0,5point par réponse exacte ; – 0,25point par réponse fausse ; – 0point pour absence de réponse. Cet exercice sera noté entre 0 et 3 ; il n’y aura pas de note globale négative. 1.La droite d’équationy= −2 est asymptote à la courbeC. 2.L’équationf(x)=1 admet exactement deux solutions. 3.f(x) 6 0 pour toutx∈]−5 ;−2[. Z 2 4.Sachant queαappartient à l’intervalle ]1 ; 2[, on af(x) dx<0. α 5.Les primitives defsont croissantes sur l’intervalle [1 ;α]. ′ ′ 6.Si−2<x<1 etα<xalorsf(x)<f(x).

E X E R C IC E points2 4 Pour chacune des questions suivantes, indépendantes les unes des autres, il est pro posé quatre réponses dont une seule est exacte. Donnez la bonne réponse en justi fiant votre choix. µ ¶ 3 1.lim ln 2+ =L x→+∞ x A.L=0 B.L=C.ln 2L=ln 5D.L=0, 7. 2.La courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ par x 3e f(x)=x−2+admet pour asymptote en+∞la droite d’équation : x e−1 A.y=x+1 B.y=x−2 C.y=xD.y=3.

Baccalauréat ES NouvelleCalédonie

A. P. M. E. P.

Z 1 2x+1 3.I=e dx. 0 1 1 3 33 A.I=e−e B.I=e−1 C.I=0 D.I=2e−2e. 2 2 4.% des élèves de terminale sont des garçons. Les élèves de ceDans un lycée 45 lycée étudient l’anglais, l’allemand ou l’espagnol en première langue vivante. •70 %des élèves étudient l’anglais, •20 %des garçons étudient l’allemand, •des élèves qui étudient l’anglais sont des garçons,40 % •il y a autant de garçons que de filles qui étudient l’espagnol. À l’aide d’un tableau ou d’un arbre, répondre aux questions suivantes : a.Quel est le pourcentage des garçons qui étudient l’anglais ?

A. 42% B. 28% C. 18% D. 52% b.quentOn choisit au hasard la fiche d’un élève parmi ceux qui ne prati pas l’allemand. Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui étudie l’espagnol ? 2 48 5 A. B.C. D.. 7 43 55 16

E X E R C IC E points3 5 pour les candidats n’ayant pas suivi la spécialité 1 Soit l’équation (E) :=x−2 où l’inconnue est un réel de l’intervalle ]0 ;+∞[. x 1 1.Un élève a représenté sur sa calculatrice l’hyperbole d’équationy=et la x droite d’équationy=x−2.

Au vu du graphique cidessus obtenu à l’écran de sa calculatrice, combien l’équation (E) sembletelle admettre de solutions sur ]0 ;+∞[ ? 2.Un second élève considère la fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ par

novembre 2004

1 g(x)=x−2−. x

2

0

Baccalauréat ES NouvelleCalédonie

A. P. M. E. P.

a.Déterminer les limites degaux bornes de l’ensemble de définition. ′ ′ b.On notegla fonction dérivée deg. Calculerg(x). Montrer quegest strictement croissante sur ]0 ;+∞[. c.En déduire le nombre de solutions de l’équation (E) et en donner, à l’aide −2 de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10.

3.Je peux résoudre l’équation (E) algUn troisième élève dit : «ébriquement ». Justifier, en résolvant l’équation (E), que ce troisième élève a raison.

E X E R C IC E 3 5points Pour les candidats ayant suivi la spécialité Pour modéliser la production d’une entreprise les économistes utilisent des fonc α β tions qui suivent le modèle dit de CobbDouglas :z=yA x(A,α,βréels stric tement positifs), oùzdésigne une quantité obtenue à partir de deux quantités va riablesxety. Partie A On considère les fonctionsfethdéfinies pourx∈[0 ; 10] ety∈[0 ; 10] respective ment par 1 1 1 2 f(x;y)=x yeth(x;y)=x y. 3 2 4 1.Vérifier quefethsont deux fonctions de CobbDouglas en donnant pour chacune d’elles les valeursA,α,β. 2.Les représentations graphiques defethfigurent parmi les trois représenta tions graphiques cidessous. Associer à chaque fonction sa représentation graphique. Les choix seront jus tifiés.

x

200

z

0 0 10 y 10 0 représentation 1

novembre 2004

3

x

250

z

0 10 y 10 0 représentation 2

Baccalauréat ES NouvelleCalédonie

6, 81

z

0 0 10 x y 10 0 représentation 3

A. P. M. E. P.

Partie B La fabrication d’un produit dépend des duréees de fonctionnement de deux ma ′ ′ chines M et M . Les durées de fonctionnement des machines M et Mexprimées en centaines d’heures sont respectivement égales àxety. La quantité produite, expri mée en tonnes, estz=h(x,y), oùhest la fonction définie à lapartie A. 1.Dans cette question la quantité produite est fixéeà 25 tonnes. Quelle est, parmi les trois représentations graphiques suivantes, celle de la 1 2 section du plan d’équationz=25 avec la surface d’équationz=x y? 4

8

6

4

2

y

8

6

4

2

y

0 0 O x O x 0 2 4 6 80 2 4 6 8 y

novembre 2004

8

6

4

2

0 O x 0 2 4 6 8

4

Baccalauréat ES NouvelleCalédonie

A. P. M. E. P.

2.Les horaires de travail font que la somme des durées de fonctionnement des ′ deux machines M et Mest de huit centaines d’heures. 1 2 3 a.Montrer quez=2x−x. 4 1 2 3 b.Soit la fonctiongdéfinie parg(x)=2x−xpourx∈[0 ; 8]. 4 Étudier les variations deget en déduire les durées de fonctionnementx etyqui assurent une production maximum.

E X E R C IC E points4 8 Soit la fonctiongdéfinie surRpar x g(x)=xe−1. 1. a.On admet que la limite degen−∞est−1. Le tableau cidessous est le ta bleau de variations deg. Justifier toutes les affirmations qui sont notées dans ce tableau : x−∞ − 1 +∞ ′ g(x) − 0+

g(x)

−1

1 − −1 e

+∞

b.On admet que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionα. En dé duire le signe deg(x) suivant les valeurs dex. 2.On notefla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :

x f(x)=e−lnx.

a.Étudier la limite defen 0. g(x) ′ ′ b.Vérifier que, pourx>0,f(x)=, oùfest la fonction dérivée def. x c.Dresser le tableau de variations def, en admettant que la limite defen +∞est+∞.

3.SoitCla courbe représentative defdans le plan muni d’un repère ortho gonal. Prendre 4 cm pour unité sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées. TracerC6 comme valeur approchée de, en prenant 0,α. 4.On noteDl’ensemble des pointsM(x;y) du plan muni du repère cidessus 1 tels que : 6 x 6 1 et 0 6 y 6 f(x). 2 a.Hachurer l’ensembleD. b.Vérifier que la fonctionUdéfinie sur ]0 ;+∞[ parU(x)=xlnx−xest une primitive de la fonction logarithme népérien. c.En déduire une primitive defsur ]0 ;+∞[. d.Calculer l’aire deDen unités d’aire. Puis en donner une valeur appro 2−2 chée en cmà 10près.

novembre 2004

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