Baccalauréat S Antilles Guyane juin

Description

Niveau: Supérieur
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2007 \ EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Question de cours Prérequis : positivité et linéarité de l'intégrale. Soient a et b deux réels d'un intervalle I de R tels que a 6 b. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l'intervalle I , f (x) > g (x), alors ∫b a f (x)dx > ∫b a g (x)dx.[1ex] Partie A 1. Soit x un éel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l'intégrale ∫x 1 (2? t)dt . 2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l'intervalle [1 ; +∞[, on a : 2? t 6 1 t . 3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : ? 1 2 x2+2x? 3 2 6 lnx. Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x)=?1 2 x2+2x? 3 2 . Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un repère orthogonal ( O, ??ı , ??? ) dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l'intervalle [1 ; 4].

• repère orthonormal direct du plan complexe


• réponse exacte aux questions


• affixe za


• direct du plan complexe


• pièce p1


• plan d'équation


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2007\
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Questiondecours
Prérequis:positivité etlinéaritédel’intégrale.
Soient a etb deuxréelsd’unintervalle I deRtelsquea6b.Démontrerquesi f et g sont
deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I, f(x)> g(x),
Z Zb b
alors f(x)dx> g(x)dx.[1ex]
a a
PartieA
1. Soitx unéelsupérieurouégalà1.
Zx
Calculerenfonctiondex l’intégrale (2?t)dt.
1
1
2. Démontrerquepourtoutréelt appartenantàl’intervalle [1;?1[,ona:2?t6 .
t
3. Déduiredecequiprécèdequepourtoutréelx supérieurouégalà1,ona:
1 32? x ?2x? 6lnx.
2 2
PartieB
Soith lafonctiondéfiniesurRpar
1 32h(x)?? x ?2x? .
2 2
³ ´!? !?
Surlegraphiquejointenannexe,leplanestmunid’unrepèreorthogonal O, ı , | dans
lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur
l’intervalle [1; 4].Onaatracéégalementladroite(d)d’équation x?4.
Z4
1. a. Démontrerque h(x)dx?0.
1
b. Illustrersurlegraphiquelerésultatdelaquestionprécédente.
2. Onnote(D)ledomaineduplandélimitéparladroite(d)etlescourbesreprésenta-
tivesdesfonctionh etlogarithmenépériensurl’intervalle [1; 4].
Enutilisantunintégrationparparties,calculerl’airede(D)enunitésd’aire.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité.
³ ´!? !?
O, u , v estunrepèreorthonormaldirectduplancomplexe.
Soit A lepointd’affixe1?i.
0 0AupointM d’affixez,onassocielepoint M d’affixez telleque
¡ ¢10z ? z?iz .
2
0 0 0 0 01. Onpose z?x?iy etz ?x ?iy avec x, y,x et y réels.
1 10 0a. Démontrerleségalitéssuivantes:x ? (x?y)ety ? (x?y).Endéduireque
2 2
0lepointM appartientàladroite(OA).
0b. Déterminerl’ensemble despoints M duplantelsqueM?M .BaccalauréatS A.P.M.E.P.
????! ??!0c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs MM et OA sont or-
thogonaux.
?
2. Soitr larotationdecentreOetd’angle .M estlepointd’affixez imagedeM par1 1
2
r,M lepointd’affixez ?z,M lepointd’affixez telquelequadrilatèreOM M M2 2 3 3 1 3 2
soitunparallélogramme.
a. Danscettequestionuniquement M apouraffixe4?i,placerlespointsM,M ,1
M ,M .2 3
b. Exprimer z enfonctiondez,puis z enfonctiondez.1 3
c. OM M M est-ilunlosange?Justifier.1 3 2
10d. Vérifierquez ?z? iz .3
2
10EndéduirequeMM ? OM .3
2
3. Démontrer que les points M, M , M e tM appartiennent à un même cercle de1 2 3
10centreOsietseulement siMM ? OM.
2
à0Donneralorslamesureenradiansdel’anglegéométrique M OM.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
³ ´!? !?
O, u , v estunrepèreorthonormaldirectduplancomplexe(unitégraphique1cm).
Onconsidèrelepoint A d’affixez ?1?i.A ³ ´!?
OnnoteS lasymétrieorthogonaleparrapportàl’axe O; u ethl’homothétie decentre1
Oetderapport3.
Onposes?h?S .1
PartieA
1. Placerlepoint A etcompléterlafigureaufuretàmesure.
2. Quelleestlanaturedelatransformation s?Justifier.
3. Déterminerl’écriturecomplexedelatransformation s.
4. a. Déterminerl’affixez dupointB imagede Apar s.B
³ ´??! ??!
b. Montrerquez ??3iz .Déterminerunemesuredel’angle OA,OB .B A
5. Soient M le milieu de [AB] et P l’image de M par s. Montrer que la droite (OP) est
perpendiculaireàladroite(AB).
PartieB
1. OnposeC?s(B).MontrerqueP estlemilieude[BC].
2. a. Déterminerl’écriturecomplexedes?s etendéduiresanature.
b. Montrerquel’imagedeladroite(OP)pars estladroite(OM).
c. QuereprésentelepointM pourletriangleOBP ?Justifier.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
³ ´!?!? !?
L’espaceestrapportéaurepèreorthonormé O, ı , | , k .OnconsidèrelespointsA(3; 0; 6)
etI(0; 0; 6),etl’onappelle(D)ladroitepassantpar A etI.
Onappelle(P)lepland’équation2y?z?6?0et(Q)lepland’équation y?2z?12?0.
1. Démontrerque(P)et(Q)sontperpendiculaires.
Antilles-Guyane 2 juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Démontrerquel’intersection desplans(P)et(Q)estladroite(D).
³ ´!?
3. Démontrer que (P)et (Q)coupent l’axe O; | et déterminer les coordonnées des
³ ´!?
pointsB etC,intersections respectivesde(P)et(Q)avecl’axe O; | .
?!
4. Démontrerqu’uneéquationduplan(T)passantparB etdevecteurnormal AC est
x?4y?2z?12?0.
5. Donnerunereprésentationparamétriquedeladroite(OA).
Démontrer que la droite (OA) et le plan (T) sont sécants en un point H dont on
détermineralescoordonnées.
6. QuereprésentelepointH pourletriangle ABC ?Justifier.
z
I
A
(D)
y
!? !?
z j
!? B
iO
(P)
C
x
(Q)
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la
copie le numéro et la lettre de la question ainsi que la valeur correspondant à la réponse
choisie.Aucunejustificationn’estdemandée.
Une réponse exacte aux questions 1 et 2 rapporte 0,5 point et à la question 3 rapporte 1
point. Uneréponseinexacte enlève0,25 point; l’absencede réponseestcomptée0 point. Si
letotalestnégatif,lanoteestramenéeàzéro.
On s’intéresse à deux types depièces électroniques, P1et P2, qui entrent dans la fabrica-
tiond’uneboïtedevitessesautomatique.
UneseulepiècedetypeP1etuneseulepiècedetypeP2sontnécessairesparboîte.
L’usinesefournitauprèsdedeuxsous-traitantsetdeuxseulement S1etS2.
Lesous-traitantS1produit80%despiècesdetypeP1et40%depiècesdetypeP2.
Lesous-traitantS2produit20%despiècesdetypeP1et60%depiècesdetypeP2.
1. Unemployé del’usine réunittoutes lespièces P1etP2destinées àêtreincorporées
dansuncertainnombredeboîtesdevitesses.Ilyadoncautantdepiècesdechaque
type.
Iltireunepièceauhasard.
a. LaprobabilitéquecesoitunepièceP1est
0,8 0,5 0,2 0,4 0,6
Antilles-Guyane 3 juin2007
bbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
b. LaprobabilitéquecesoitunepièceP1etqu’elleviennedeS1est
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
c. Laprobabilitéqu’elleviennedeS1est
0,2 0,4 0,5 0,6 0,8
2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l’employé tire deux pièces simultanément. On
suppose touslestirageséquiprobables.
?4a. Une valeur approchée à 10 près dela probabilité que cesoit deux pièces P1
est:
0,1588 0,2487 0,1683 0,0095
?4b. Une valeur approchée à 10 près dela probabilité que cesoit deux pièces P1
etP2est:
0,5000 0,2513 0,5025
c. La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur
est:
357 103 158
995 199 995
3. La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle
dontleparamètre?estdonnédansletableausuivant:
? P1 P2
S1 0,2 0,25
S2 0,1 0,125
On rappelle que si X, durée de vie d’une pièce exprimée en années, suit une loi
Zt
??xexponentielle deparamètre?,alorsp(X6t)? ?e dx.
0
?4Unevaleurapprochéeà10 prèsdelaprobabilitéqu’unepièceP1fabriquéeparS1
duremoinsde5ansest:
0,3679 0,6321
Antilles-Guyane 4 juin2007BaccalauréatS A.P.M.E.P.
FIGURE 1–Annexe(àrendreaveclacopie)
y
1,5
1,0
!?
j
0,5
xO !? 1 2 3 4i
?0,5
?1,0
?1,5
Antilles-Guyane 5 juin2007