Bornes pour l
41 pages
Français

Bornes pour l'estimation ponctuelle

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Bornes pour l'estimation ponctuelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Bornes statistiques Nancy-Université 1 / 41

  • m1 - bornes statistiques

  • borne de cramer-rao

  • comportement asymptotique des emv

  • voisinage de ?0

  • ?0 ?

  • bornes pour l'estimation ponctuelle

  • modèle avec µ?


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 38
Langue Français
T.(ISamy1MB-CE)Nssatroenueiqstti-UcyansNtisrevin
pour l’estimation
ponctuelle
14/1é
Nancy-Université
Bornes
Samy Tindel
Master 1 - Nancy
uqitaNse-ycnvinU1-)MrnBostesisat
Borne de Cramer-Rao
3
Comportement asymptotique
4
EMV
des
ersité2/41
Plan
Quantité d’information
1
2
Exhaustivité
CNIE.(yTamS
SamyTncNaesqutiisatstsenroB-1M)NCEI(.
4
Comportement asymptotique
des
EMV
2
Exhaustivité
3
Borne de Cramer-Rao
Plan
Quantité d’information
1
/314isétvire-ynU
/414isét
Eθ={xE;fθ(x)>0}
Généralisation:Tous nos résultats s’étendront facilement au cas de variables aléatoires discrètes (i.e. à valeurs dansN).
µθ(dx) =fθ(x)dx
Cadre de l’étude
On pose
Modèle continu: On considérera par la suite un modèle statistique avec
Nancquesivery-UnsenroB-1itsitatsyTamS)MCNIE.(
J(θ θ0) =Eθ0[θln(fθ(X))]Alors il existe un voisinage deθ0 sur lequelθ7→J(θ θ0)est décroissante.
Hypothèse supplémentaire: La fonctionθ7→Eθ0[ln(fθ(X))]est deux fois dérivable sous le signeE. On pose
Eθ0[ln(fθ(X))]<Eθ0[ln(fθ0(X))]pour toutθΘ{θ0}
Lemme SoitAXE(µθ)θΘ)un modèle avecµθ(dx) =fθ(x)dx . On suppose fθ>0pour toutθΘ. Soitθ0Θ. Alors:
Inégalité de la théorie de l’information
1/4é5itrsveni-UcyymaSqieuNsnassatittsM1-BorneT.(IECN)
SmaTy
Eθ0[ln(fθ(X))]<Eθ0[ln(fθ0(X))]
Démonstration
Inégalité de Jensen:par concavité stricte de ln, pourθ6=θ0, Eθ0"lnffθθ0((XX))!#<lnEθ0"ffθθ((XX))#!=0 0
On en déduit
vire-ynU/614iséttiisatstncNaesquM)NCEI(.senroB-1
aSym.TI(ornesstaECN)M1-BU-ycnaNseuqitsit
Démonstration (2)
On a trouvé: θ7→Eθ0[ln(fθ(X))]admet un minimum strict enθ0 Rappel:
1/4é7itrsveni
DoncJ(θ0 θ0)0. = De plus: θJ(θ θ0) =Eθ0hθ2θln(fθ(X))i=θJ(θ θ0)|θ=θ0=IX(θ0)
J(θ θ0) =Eθ0[θln(fθ(X))] =θEθ0[ln(fθ(X))]
IX(θ0)se nommequantité d’informationdeXpar rapport àθ0. On verra queIX(θ0)>0. ,Décroissance deJdans un voisinage deθ0.
On observe bien les phénomènes annoncés par la proposition.
evsrti8é4/1
Lois de Bernoulli:siE={01},Θ =]01[etµp=B(p)
Exemple
Eθ0[ln(fθ(X))] = (1θ0)ln(1θ) +θ0ln(θ) J(θ θ0) =θEθ0[ln(fθ(X))]θ0θθ) = θ(1
On a vufθ(x) =θx(1θ)1xet
I(CEym.TaSinU-ycnaNseuqitstitassneor-BM1N)
rsité9/41
Quantité d’information
Dénition SoitAXE(µθ)θΘ)un modèle avecµθ(dx) =fθ(x)dx . On pose IX(θ) =Eθh(θln(fθ(X)))2ilorsque cette quantité est bien définie.
Proposition Lorsque Eθest indépendant deθ, on a aussi IX(θ) =Eθhθ2θln(fθ(X))i=Var[θln(fθ(X))]
qieuNsnaycU-inevneor-BM1sttitassymaS)NCEI(.T
ness-Borstiqtatiym.TaS)N1MI(CE
(ii)Sur l’expressionVar[θln(fθ(X))]: On a vu queEθ[θln(fθ(X))] =0(à redémontrer) ,La variance est le premier moment intéressant deθln(fθ(X)).
(i)Sur l expressionEθ[θ2θln(fθ(X))]: IX(θ0)largeur du pic deEθ0[ln(fθ(X))]autour deθ0 ,Quantifie l’apport deXà l’estimation deθ0
Interprétations et remarques
(ii)Rôle de l’hypothèse surEθ: Afin de pouvoir dériver tranquillement sous le signe somme.
1éti14/0ni-UrsvesNuecyan
.(IECN)M1-BornesSmaTy4/11étisrevinU-yncNaesqutiisatst
IX(θ) =Eθh(θln(fθ(X)))2i=Var[θln(fθ(X))]
1
(i)Montrons directementEθ[θln(fθ(X))] =0: Eθ[θln(fθ(X))]=Eθ"fθθfθ((XX))#=ZRθfθ(x)dx =θZRfθ(x)dx=0
Donc
Démontsaritno