Brevet de technicien supérieur

Description

Niveau: Supérieur, BTS, Bac+2
Brevet de technicien supérieur Sujet BTS Groupement C Métropole 2010 Corrigé Exercice 1 : 12 points Partie A : Résolution d'une équation différentielle 1. (a) l'équation caractéristique de l'équation différentielle 2y ??+ y ?? y = 0 est 2r 2+ r ?1= 0 ∆= b2?4ac = 12?4?2? (?1)= 9= 32 L'équation caractéristique admet 2 solutions réelles. x1 = ?b ? p ∆ 2a = ?1?3 2?2 = ?1 x2 = ?b + p ∆ 2a = ?1+3 2?2 = 1 2 La solution générale de l'équation différentielle 2y ??+ y ?? y = 0 est y(x)=?e?x +µe 1 2 x , (?,µ) ?R2 (b) On pose g (x)= ax +b donc g ?(x)= a et g ??(x)= 0 g est solution de l'équation différentielle (E) : 2y ??+ y ?? y =?x +2 si : 2g ??(x)+ g ?(x)? g (x) = ?x +2 2?0+a ? (ax +b) = ?x +2 ?ax +a ?b = ?x +2 On identifie les coefficients : { ?a = ?1 a ?b = 2 donc { a = 1 a ?2 = b donc { a = 1 b = ?1 Donc g (x)= x ?1 (c)

• solution réelle


• solution de l'équation


• loi normale


• solution de l'équation différentielle


• pièce dans la production


• e?x

Sujets

• Loi normale

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Extrait

Brevet de technicien supérieur

Exercice 1 :

Sujet BTS Groupement C Métropole 2010 Corrigé

Partie A : Résolution d’une équation différentielle ′′ ′2 1. (a)l’équation caractéristique de l’équation différentielle 2y+y−y=0 est 2r+r−1=0 2 22 Δ=b−4ac=1−4×2×(−1)=9=3 L’équation caractéristique admet 2 solutions réelles.

−b+Δ −b−Δx 2 = x 1 = 2a 2a −1+3 −1−3= = 2×2 2×2 1 = −1 = 2 1 x ′′ ′−x2 La solution générale de l’équation différentielle 2y+y−y=0 esty(x)=λe+µ e 2 , (λ,µ)∈R

′ ′′ (b) Onposeg(x)=a x+bdoncg(x)=aetg(x)=0 ′′ ′ gest solution de l’équation différentielle (E) : 2y+y−y= −x+2 si :

12 points

′′ ′ 2g(x)+g(x)−g(x)= −x+2 2×0+a−(a x+b)= −x+2 −ax+a−b=−x+2 ½ ½½ −a= −1a=1a=1 On identifie les coefficients :donc doncDoncg(x)=x−1 a−b=2a−2=b b=−1

1 − x x 2 (c) Lessolution de l’équation (E) sont les fonctionsfde la formef(x)=λe+µe+x−1, (λ,µ)∈R 2

0 0 2.f(0)=λe+µe−1 donc 0=λ+µ−1 doncλ+µ=1 1 11 x ′ −x 1 ′0 0′ f(x)= −λe+µ e 2 +1.f(0)= −λe+µe+1 orf(0)=0 donc−λ+µ= −1 2 22 ( ( ½ λ+µ=1λ+µ=1 µ=0 On obtient le système suivant : 1donc 3 d’ou −λ+µ= −1µ=0 (L 1 +L 2 ) λ=1 22 −x Doncf(x)=e+x−1

Partie B

−x −x −e+1≥0 f(x)=e+x−1 x +∞ −x 0 1≥e 1. (a) ′ −x ¡ ¢ −x ′ doncf(x)= −e+1 ln(1)≥lne f(x) 0 + 0≥ −x 0≤x  ) lim−x=−∞   x →+∞ −x t Donc lim−e=0 lim e=0 x→+∞ (b) donclimf(x)= +∞ t→−∞ x→+∞   limx+1= +∞ x→+∞

Groupement C

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(c)

x 0 +∞ ′ − f(x) 0 +∞ f(x) 0

✘ −x ✘ −x−x ✘ 2. (a)f(x)−(x+1)=e+x ✘ +1−( ✘ x+1)=e ord’après la question 1b, lim x→+∞ −e=0. Donc lim x→+∞ f(x)−(x+1)=0. La droite d’équationy=x+1 est asymptote à la courbe C au voisinage de+∞. −x (b) Pourtoutx≥0f(x)−(x+1)=e>0. Donc la courbe C est toujours située audessus de la droite D 3. voirannexe Z 2 £ ¤ −x 2 Z −x 2 e dx= −e 0 −x−2 4. 0 e dx=1−e . 0 −2 0 = −e+e −2 =1−e L’aire du domaine délimité par la courbe C la droite D et les droites d’équationx=0 etx=2 est Z Z 2 2 −x A =f(x)−(x−1) dxu.a=e dxu. a 0 0

2 or 1 u.a = 2×2 cmdonc

Groupement C

−22 2 A =4−4ecm≈3, 46cm

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Brevet de technicien supérieur Annexe

y 8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

Groupement C

1

2

3

4

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5

6

7

x 8

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Exercice 2 :

Partie A 1.

2.

8 points

µ ¶ 59, 5−60, 3X−60, 361, 1−60, 3 p(59, 5≤X≤61, 1)=p≤ ≤ 0, 40, 40, 4 µ ¶ X−60, 3 =p−2≤ ≤2 0, 4 µ ¶ X−60, 3 =2p≤2−1 0, 4 X−60, 3 =2×0, 9772−1=suit la loi normale0, 9544car la variable aléatoire N (0, 1) 0, 4

p(59, 5≤X≤61, 1)=0, 9544

p(59, 5≤X≤61, 1)=0, 99 µ ¶ 59, 5−60, 3X−60, 3 p≤ ≤61, 1−60, 3σ=0, 99 σ σ µ ¶ 0, 8X−60, 30, 8 p=≤ ≤0, 99 σ σ σ µ ¶ X−60, 30, 8 2×p ≤ −1=0, 99 σ σ µ ¶ X−60, 30, 80, 99+1 p≤ =0, 995 σ σ2

X−60, 30, 8 Comme la variable aléatoiresuit la loi normale N (0, 1)on en déduite que=donc2, 575 0, 4σ

0, 8 σ= ≈0, 31 2, 575

Partie B 1. Onchoisit une pièce dans la production, il y a 2 issues : •on appelle succès l’événement : « la pièce est non conforme »,p=0, 05 •on appelle échec l’événement : « la pièce est conforme »,p=0, 95 On répéte 80 fois l’expérience de manière indépendante. (on assimile le tirage à un tirage avec remise) Donc la variable aléatoireYcomptabilisant le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètren=80 etp=0, 05

3 3 7 2.p(Y=3)=C 8 0×0, 05×70, 95=0, 20p(Y=3)=0, 20

3. (a)le paramètreλde la loi de poisson estλ=n×p=80×0, 05λ=4

(b) SoitZla variable aléatoire suivant la loi de poisson de paramètreλ=4.

p(Z≤3)=p(Z=0)+p(Z=1)+p(Z=2)+p(Z=3)=0, 018+0, 073+0, 147+0, 195=0, 433p(Z≤3)=0, 43

Groupement C

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