BTS Conception de produits industriels Session

Description

Niveau: Supérieur, BTS, Bac+2
BTS Conception de produits industriels Session 2010 EXERCICE 1 10 points Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E ) : 2y ??+2y ?+ y = (5x2+22x+31)ex où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y ? la fonction dérivée de y et y ?? sa fonction dérivée seconde. 1° Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) : 2y ??+2y ?+ y = 0. 2° Montrer que la fonction g définie sur R par g (x)= (x2+2x+3)ex est une solution particulière de l'équation (E ). 3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E ). 4° Déterminer la solution particulière f de l'équation différentielle (E ) qui vérifie les conditions ini- tiales f (0)= 3 et f ?(0)= 5. B. Étude d'une fonction Soit f la fonction définie sur R par f (x)= (x2+2x+3)ex . On désigne parC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( O; ??ı , ??? ) .

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Sujets

• Brevet de technicien supérieur - Conception de produits industriels

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• Langue: Français

Extrait

BTS Conception de produits industriels Session 2010

EXERCICE 110 points Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

A. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle ¡ ¢ ′′ ′2x (E2) :y+2y+y=5x+22x+31 e ′ oùyest une fonction de la variable réellex, définie et deux fois dérivable surR,yla fonction dérivée de ′′ yetysa fonction dérivée seconde. ′′ ′ 1°Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E 0 2) :y+2y+y=0. ¡ ¢ 2x 2°Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x)=x+2x+3 eest une solution particulière de l’équation (E). 3°En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4°Déterminer la solution particulièrefde l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions ini ′ tialesf(0)=3 etf(0)=5. B. Étude d’une fonction ¡ ¢ 2x Soitfla fonction définie surRparf(x)=x+2x+3 e . ³ ´ −→−→ On désigne parCla courbe représentative de la fonctionfO;dans un repère orthonormalı,. 1°Démontrer que, pour toutxdeR, ¡ ¢ ′2x f(x)=x+4x+5 e . ′ 2°Étudier le signe def(x) lorsquexvarie dansR. 3° a)Déterminer limf(x). x→+∞ b)Déterminer limf(x). Que peuton en déduire pour la courbeC? x→−∞ 4°Établir le tableau de variation defsurR. 5° a)Démontrer que le développement limité à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonctionfest : 9 2 2 f(x)=3+5x+x+xε(x) avec limε(x)=0. x→0 2 b)En déduire une équation de la tangenteTà la courbeCau point d’abscisse 0. c)Étudier ia position relative deCetTau voisinage du point d’abscisse 0.

1

EXERCICE 23 points La courbeCcidessous est la représentation graphique dans un repère orthogonal de la fonctionfdé 1 ¡ ¢ x−x finie sur [−par1, 1]f(x)=e+e . 5 ✻ 1

1

C

0.5

0.5

0.5

✲ 1

On considère le solide de révolution engendré par la rotation de la courbeCautour de l’axe des abs cisses. On désigne parVle volume, en unités de volume, de ce solide. Z 1 £ ¤ 2 On admet queV=πf(x) dx. −1 Z 1 π ¡ ¢ 2x−2x 1°Vérifier que :V=2+e+e dx. −1 25 π ¡ ¢ 2−2 2°Démontrer que :V=4+e−e . 25 −2 3°Donner la valeur approchée arrondie à 10deV. Le solide obtenu cidessus est le modèle d’un élément de mobilier urbain.

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EXERCICE 3(7 points) ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO;ı,centimètres.où l’unité graphique est 4 On souhaite construire la courbe de BézierCdéfinie par les points de définition suivants donnés par µ ¶ 3 leurs coordonnées :A 0 (0 ; 0) ;A 1 (0 ; 2) ;A 2 .3 ; 4 On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de définitionA i (0 6 i 6 n) est l’ensemble des pointsM(t) tels que, pour toutt; 1]de l’intervalle [0:

n X −−−−→ −−→ i in−i t)=B i,n (t)O A i oùB i, =C OM( n (t) n t(1−t) . 0 1°Développer, réduire et ordonner les polynômesB i,2 (t) avec 0 6 i 6 2. ¡ ¢ 2°On notef(t),g(tcoordonnées du point) lesM(t) de la courbeC. Démontrer qu’un système d’équations paramétriques de la courbeCest : ( 2 x=f(t)=3t 13 où t1].appartient à l’intervalle [0 ; 2 y=g(t)=4t−t 4 3°Étudier les variations defetg1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.sur [0 ; 4°Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbeC: a)au pointA 0 , b)au pointA 2 , µ ¶ 8 c)au pointM. 13 5°La figure est à réaliser sur une feuille de papier millimétré. Construire les tangentes définies au4 et la courbeC. Que constateton ?

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