Calcul differentiel licence de mathematiques

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Calcul differentiel (licence de mathematiques) Sylvie Benzoni 11 mai 2005

?hj?ej ≤

espace de banach

applications partielles

ver- sions deguisees de rn

application ?

quelconque norme

Voir

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Benzoni Espace de Banach

Calcul

diff´erentiel

(licencedemath´ematiques)

Sylvie Benzoni

mai

2005

Chapitre I

Diffe´rentielled’unefonction

1 Introduction On considere deuxR-espaces vectoriels norme´sEetF, que l’on supposecomplets: on dit aussi que ce sont des espaces deBanacharet´gnee´nelar.noOnk ∙ kEetk ∙ kFleurs normes respectives (et simplementk ∙ klorsqueE=F possible.) ¨e´tet qu’il n’y a pas d’ambigu Bien souvent, ces espaces seront en fait de dimension nie. Ce seront meˆme simplement des espacesRn, munis d’une quelconque normek ∙ kkpourk∈[1, . . .∞]niep,d´ear n kxkk=|xjk <∞etkxk∞= sup|xj|, jX=1|k1/ksi1≤j≤n oux1, . . . , xnd´esignentlesocpmsonaetdsex∈Rn. Ils pourront e´ventuellement eˆtre des ver-sionsde´guis´eesdeRn, comme l’espace des matricesMp,q(R)aplignes etqcolonnes, que l’on peutmunirdediversesnormes.Parexemple,onpeutprendrelanormesubordonne´ealanorme k ∙ kkdansRqetRp, de´nie par

9M9k=x∈Rsqu,xp6= 0kkxMxkkkk. Exercice.Exprimer cette norme al’aide des coefcients deMlorsquep=qetk= 1,2,∞. Onrappellequedetoutesfac¸ons,touteslesnormessont´equivalentesendimensionnie. On noteraL(E;F)l’espace des applicationsline´aires continuesdeEdansF, muni de la norme k`(x)F 9`9= supkxkk. x∈E\{0}E C’est un espace de Banach (exercice). On suppose queUest un ouvert (non vide !) deE, et on considere une fonction f:U→F . De´nition I.1On dit que la fonctionfestdiffe´rentiableen un pointx∈Usi elle estcontinue au pointxet s’il existe`∈ L(E;F)tel que kf(x+h)−f(x)−`(h)kF= 0. (1.1)hl6→i=0mEkhkE

´ CHAPITRE I. DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION

Cetted´enitionest(volontairement)redondante:enfait,l’existenced’uneapplicationlin´eaire continue`telleo’uqtian1.1()imposeaf continue end’ eˆtrex. Car, en notant ε(h) =kf(x+h)−f(x)−`(h)kF/khkEsih6= 0Eetε(0) = 0, on a par l’in e´galite´ triangulaire kf(x+h)−f(x)kF≤ε(h)khkE+k`(h)kF, oule membre de droite tend vers0lorsquehtend vers0E.1)1e(aˆrcaguit´endteinlacoeta` en0E. Inversement, si on supposefcontinue enxet s’il existe`line´aire telle qu’on ait (1.1), alorsparl’ine´galit´etriangulaire k`(h)kF≤ε(h)khkE+kf(x+h)−f(x)k tend vers0lorsquehtend vers0Eueeqllpeapnrto(E.ationneappliciu´tdeu’aloctnniline´aire e´quivautasacontinuit´een0.) Notation.Bien suˆr, l’application`ansldnitad´e1.´doiInddpupenentoix. On la notera de´sormais`= dfx, de sorte que (1.1) se re´e´crit kf(x+h)−f(x)−dfx(h)kF0 = . hl6→i=0mEkhkE L’applicationdfxest appele´eetnerlleiff´edidefau pointx. D´enitionI.2On dit que la fonctionfestdiff´erentiablesurUsi elle est diffe´rentiable en tout pointx∈U. Dans ce cas, on appelleleelentif´erdifdefla fonction df:U→ L(E;F). x7→dfx Si de plusdfest continue, on dit quefestcontinuˆment diffe´rentiableud,oacefn´¸ouieqtneavel quefest declasseC1.

2 Premiers exemples •Toute applicationconstanteest continuˆment diffe´rentiable, def´erentidifeleelunll. •Toute application´einleunitnoceria`est continuˆment diffe´rentiable, et sadiffe´rentielle estconstanteela,ga´e`en tout point : d`x(h) =`(h)quels que soientxeth∈E . •´Pllera´eent,uoemtnlpcietpanatiomulinuecionn´tetaiir-elest continuˆment diffe´rentiable. us g Ce dernier point demande quelques explications. SiE1, . . . ,Ensont des espaces de Banach, le produit carte´sienE=E1× ∙ ∙ ∙ ×En, muni de k(x1, . . . , xn)kE=kx1kE1+∙ ∙ ∙+kxnkEn, est aussi un espace de Banach. On dit qu’une applicationφ:E→Festn-line´aire(et lorsqu’on ne veut pas pr e´cisernon dit´eai-linultimer) si pour toutj∈ {1, . . . , n}et pour tout

2. PREMIERS EXEMPLES

(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn)∈E1× ∙ ∙ ∙Ej−1×Ej+1∙ ∙ ∙ ×En(avec les conventions naturelles lorsquej= 1ouj=n), l’application partielle x∈Ej7→φ(x1, . . . , xj−1, x, xj+1, . . . , xn) estline´aire. Lorsqueφest de plus continue, toutes les applications partielles sont continues, et φnied´le:arepf´ertdifableentifi´fd,deitlerenesenoctˆnitnemu n (2.2)dφ(x1,...,xn)(h1, . . . , hn) =Xφ(x1, . . . , xj−1, hj, xj+1, . . . , xn). j=1 (Danscette´ecritureabusive,lepremiertermedelasommeeste´videmmentφ(h1, x2, . . . , xn)et le dernierφ(x1, . . . , xn−1, hn)esel´rseluatstiumonstrationutiliL).e´da.ntva Lemme I.1Siφest une applicationni,elnieueixtsin´e-lcontaireC∈R+∗tel que n (2.3)kφ(h1, . . . , hn)kF≤CYkhjkEj j=1 quels que soient les vecteurshj∈Ej. D´em.D’apr es la continuite´ deφen0E= (0E1, . . . ,0En), il existeη >0tel que si maxkkjkEj≤η, kφ(k1, . . . , kn)kF≤1. Soienth1∈E1 . . ,, .hn∈En. Si l’un de ces vecteurs est nul,φ(h1, . . . , hn) = 0F. Sinon, d’apr es la multiline´arite´ deφon a φ(h1, . . . , hn) =η1njYn=1khjkEjφkηh1kh1, . . . ,khηnkhn. Onende´duitl’in´egalite´(2.3)avecC= 1/ηndnu’leuqsesftisantrsloteaiivialemealit´etri(´nge vecteurshjest nul).✷ Remarque.noitenemunt,ppeacali´Roruqcepin-line´aireφsatisfaisant (2.3) est continue sur E=E1× ∙ ∙ ∙ ×En. De plus, l’ensemble des applicationsnai´escretionesnunil-e´n,to L(E1, . . . , En;F)(attention ane pas le confondre avec l’ensembleL(E1× ∙ × ∙ ∙En;F)des applications line´aires surE), muni de kφkL(E1,...,En;F)= max{ kφ(h1, . . . , hn)kF;khjkEj≤1} est un espace de Banach. De´monstration de(2.2).(Le casn= 1lpcitaoisnil´naeirescontinues!)Pruoecestidluapes comprendre ce qui se passe avecn≥2peut commencer par traiter le cas, on n= 2. Pour une applicationφ´nilriaee:ib φ(x1+h1, x2+h2)−φ(x1, x2)−φ(h1, x2)−φ(x1, h2) =φ(h1, h2). Or d’apr es le lemme I.1, il existeC >0tel que kφ(h1, h2)k ≤Ckh1kE1kh2kE2≤C2k(h1, h2)k2E.

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