Calcul differentiel licence de mathematiques

Sylvie Benzoni

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Calcul differentiel (licence de mathematiques) Sylvie Benzoni 11 mai 2005

• ?hj?ej ≤


• espace de banach


• applications partielles


• ver- sions deguisees de rn


• application ?


• quelconque norme

Sujets

• Benzoni
• Espace de Banach

Informations

• Publié par: ondey
• Publié le: 01 mai 2005
• Nombre de lectures: 37
• Langue: Français

Extrait

Calcul

diff ´ erentiel

(licencedemath ´ ematiques)

Sylvie Benzoni

11

mai

2005

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Chapitre I

Diffe ´ rentielled’unefonction

1 Introduction On considere deuxR-espaces vectoriels norme´sEetF, que l’on supposecomplets: on dit aussi que ce sont des espaces deBanacharet ´ gnee ´ nelar.noOnk ∙ k E etk ∙ k F leurs normes respectives (et simplementk ∙ klorsqueE=F possible.) ¨e´tet qu’il n’y a pas d’ambigu Bien souvent, ces espaces seront en fait de dimension nie. Ce seront meˆme simplement des espacesR n , munis d’une quelconque normek ∙ k k pourk∈[1, . . .∞]niep,d ´ ear n kxk k =  |x j k <∞etkxk ∞ = sup|x j |, j X =1 | k  1/k si 1≤j≤n ou x 1 , . . . , x n d ´ esignentlesocpmsonaetdsex∈R n . Ils pourront e´ventuellement eˆtre des ver- sionsde´guis´eesdeR n , comme l’espace des matricesM p,q (R)aplignes etqcolonnes, que l’on peutmunirdediversesnormes.Parexemple,onpeutprendrelanormesubordonne ´ ea  lanorme k ∙ k k dansR q etR p , de´nie par

9M9 k = x∈R s q u ,x p 6= 0 k k xM xk k k k . Exercice.Exprimer cette norme al’aide des coefcients deMlorsquep=qetk= 1,2,∞. Onrappellequedetoutesfac¸ons,touteslesnormessont ´ equivalentesendimensionnie. On noteraL(E;F)l’espace des applications line´aires continues deEdansF, muni de la norme k`(x) F 9`9= sup kxk k . x∈E\{0} E C’est un espace de Banach (exercice). On suppose queUest un ouvert (non vide !) deE, et on considere une fonction f:U→F . De´nition I.1 On dit que la fonctionfest diffe´rentiable en un pointx∈Usi elle estcontinue au pointxet s’il existe`∈ L(E;F)tel que kf(x+h)−f(x)−`(h)k F = 0. (1.1) h l 6 → i = 0 m E khk E

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´ CHAPITRE I. DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION

Cetted ´ enitionest(volontairement)redondante:enfait,l’existenced’uneapplicationlin ´ eaire continue`telleo’uqtian1.1()impose  af continue en d’ eˆtre x. Car, en notant ε(h) =kf(x+h)−f(x)−`(h)k F /khk E sih6= 0 E etε(0) = 0, on a par l’in  e´galite´  triangulaire kf(x+h)−f(x)k F ≤ε(h)khk E +k`(h)k F , oule membre de droite tend vers 0lorsquehtend vers0 E .1)1  e(a ˆ rcaguit ´ endteinlacoet  a` en0 E . Inversement, si on supposefcontinue enxet s’il existe` line´aire telle qu’on ait (1.1), alorsparl’ine ´ galit ´ etriangulaire k`(h)k F ≤ε(h)khk E +kf(x+h)−f(x)k tend vers0lorsquehtend vers0 E ueeqllpeapnrto(E.ationneappliciu´tdeu’aloctnni line´aire e ´ quivauta  sacontinuit ´ een0.) Notation.Bien suˆr, l’application`ansldnitad´e1.´doiInddpupenentoix. On la notera de´sormais `= df x , de sorte que (1.1) se re´e´crit kf(x+h)−f(x)−df x (h)k F 0 = . h l 6 → i = 0 m E khk E L’applicationdf x est appele´e etnerlleiff ´ edidefau pointx. D ´ enitionI.2On dit que la fonctionfestdiff ´ erentiablesurUsi elle est diffe´rentiable en tout pointx∈U. Dans ce cas, on appelleleelentif ´ erdifdefla fonction df:U→ L(E;F). x7→df x Si de plusdfest continue, on dit quefest continuˆment diffe´rentiable ud,oacefn ´ ¸ouieqtneavel quefest declasseC 1 .

2 Premiers exemples •Toute applicationconstanteest continuˆment diffe´rentiable, def ´ erentidifeleelunll. •Toute application ´ einleunitnoceria` est continuˆment diffe´rentiable, et sa diffe´rentielle estconstanteela,ga´e`en tout point : d` x (h) =`(h)quels que soientxeth∈E . • ´ Pllera ´ eent,uoemtnlpcietpanatiomulinuecionn ´ tetaiir-el est continuˆment diffe´rentiable. us g Ce dernier point demande quelques explications. SiE 1 , . . . ,E n sont des espaces de Banach, le produit carte´sien E=E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n , muni de k(x 1 , . . . , x n )k E =kx 1 k E 1 +∙ ∙ ∙+kx n k E n , est aussi un espace de Banach. On dit qu’une applicationφ:E→Festn- line´aire (et lorsqu’on ne veut pas pr e´cisernon dit ´ eai-linultimer) si pour toutj∈ {1, . . . , n}et pour tout

2. PREMIERS EXEMPLES

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(x 1 , . . . , x j−1 , x j+1 , . . . , x n )∈E 1 × ∙ ∙ ∙E j−1 ×E j+1 ∙ ∙ ∙ ×E n (avec les conventions naturelles lorsquej= 1ouj=n), l’application partielle x∈E j 7→φ(x 1 , . . . , x j−1 , x, x j+1 , . . . , x n ) est line´aire . Lorsqueφest de plus continue, toutes les applications partielles sont continues, et φnied´le:arepf´ertdifableentifi´fd,deitlerenesenoctˆnitnemu n (2.2)dφ (x 1 ,...,x n ) (h 1 , . . . , h n ) = X φ(x 1 , . . . , x j−1 , h j , x j+1 , . . . , x n ). j=1 (Danscette´ecritureabusive,lepremiertermedelasommeeste´videmmentφ(h 1 , x 2 , . . . , x n )et le dernierφ(x 1 , . . . , x n−1 , h n )esel ´ rseluatstiumonstrationutiliL).e ´ da.ntva Lemme I.1Siφest une applicationni,elnieueixtsin ´ e-lcontaireC∈R +∗ tel que n (2.3)kφ(h 1 , . . . , h n )k F ≤C Y kh j k E j j=1 quels que soient les vecteursh j ∈E j . D ´ em. D’apr es la continuite´ de φen0 E = (0 E 1 , . . . ,0 E n ), il existeη >0tel que si maxkk j k E j ≤η, kφ(k 1 , . . . , k n )k F ≤1. Soienth 1 ∈E 1  . . ,, .h n ∈E n . Si l’un de ces vecteurs est nul,φ(h 1 , . . . , h n ) = 0 F . Sinon, d’apr es la multiline´arite´ deφon a φ(h 1 , . . . , h n ) = η 1 n  j Y n =1 kh j k E j  φ  k η h 1 k h 1 , . . . , kh η n k h n  . Onende ´ duitl’in ´ egalite ´ (2.3)avecC= 1/η n dnu’leuqsesftisantrsloteaiivialemealit ´ etri( ´ nge vecteursh j est nul).✷ Remarque.noitenemunt,ppeacali´Roruqcepin-line´aireφsatisfaisant (2.3) est continue sur E=E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n . De plus, l’ensemble des applicationsnai ´ escretionesnunil-e ´ n,to L(E 1 , . . . , E n ;F)(attention ane pas le confondre avec l’ensembleL(E 1 × ∙ × ∙ ∙E n ;F)des applications line´aires sur E), muni de kφk L(E 1 ,...,E n ;F) = max{ kφ(h 1 , . . . , h n )k F ;kh j k E j ≤1} est un espace de Banach. De´monstration de (2.2).(Le casn= 1lpcitaoisnil´naeirescontinues!)Pruoecestidluapes comprendre ce qui se passe avecn≥2peut commencer par traiter le cas, on n= 2. Pour une applicationφ ´ nilriaee:ib φ(x 1 +h 1 , x 2 +h 2 )−φ(x 1 , x 2 )−φ(h 1 , x 2 )−φ(x 1 , h 2 ) =φ(h 1 , h 2 ). Or d’apr es le lemme I.1, il existeC >0tel que kφ(h 1 , h 2 )k ≤Ckh 1 k E 1 kh 2 k E 2 ≤ C 2 k(h 1 , h 2 )k 2 E .