CALCULS DES NOMBRES D'INTERSECTION DANS L'ESPACE DE MODULES DES COURBES STABLES

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Niveau: Supérieur, Master
CALCULS DES NOMBRES D'INTERSECTION DANS L'ESPACE DE MODULES DES COURBES STABLES JEREMY GUERE, SOUS LA DIRECTION DE ALESSANDRO CHIODO Memoire de Master 2 de Paris 6 0. Introduction Dans les annees 1970, la physique theorique prend un nouveau vi- sage. Dans sa tentative de grande unification, cette physique moderne, appelee theorie des cordes, a besoin de nouvelles dimensions d'espace- temps et de nouveaux degres de liberte internes pour resoudre les divergences liees a la theorie de la gravitation au niveau quantique. L'espace-temps est remplace par un espace a 10 dimensions, produit de l'espace-temps standard R4 dit de Minkowski et d'une variete de Calabi-Yau de dimension complexe 3. Les particules elementaires ne sont plus ponctuelles mais sont des objets de dimension 1 : des cordes. Ainsi, les trajectoires de ces particules sont des surfaces plongees dans l'espace-temps. De nombreuses interactions entre cette nouvelle phy- sique et les mathematiques ont vu le jour. La theorie de l'intersection en est un exemple important. Les integrales des classes ?i sur l'espace de modules de courbes 1, presentees dans ce texte, peuvent s'interpreter en physique comme des fonctions de correlation, c'est-a-dire des fonc- tions donnant la probabilite de passer d'un etat initial donne a un etat final donne. Les idees et intuitions de la theorie des cordes ont joue le role de fil conducteur dans ce domaine des mathematiques.

  • variete complexe compacte

  • integrales

  • methode recursive

  • theorie de gromov-witten

  • classes ?i

  • appelation invariant

  • invariants de gromov-witten de la variete et du miroir

  • courbes complexes

  • fibres en droites sur les surfaces de riemann satisfaisant


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CALCULS DES NOMBRES D’INTERSECTION DANS L’ESPACE DE MODULES DES COURBES STABLES ´ ´ ´ ´ JEREMY GUERE, SOUS LA DIRECTION DE ALESSANDRO CHIODO
Me´moiredeMaster2deParis6 0.Introduction Danslesanne´es1970,laphysiquethe´oriqueprendunnouveauvi-sage. Dans sa tentative de grande unification, cette physique moderne, appeleethe´oriedescordes,abesoindenouvellesdimensionsdespace-´ tempsetdenouveauxdegr´esdelibert´einternespourre´soudreles divergencesli´`alathe´oriedelagravitationauniveauquantique. ees Lespace-tempsestremplac´eparunespacea`10dimensions,produit de l’espace-temps standardR4koineMtddetkiws´iravenuede´teid Calabi-Yaudedimensioncomplexe3.Lesparticules´ele´mentairesne sont plus ponctuelles mais sont des objets de dimension 1 : descordes. Ainsi,lestrajectoiresdecesparticulessontdessurfacesplonge´esdans lespace-temps.Denombreusesinte´ractionsentrecettenouvellephy-siqueetlesmathe´matiquesontvulejour.Lath´eoriedelintersection enestunexempleimportant.Lesinte´gralesdesclassesψisur l’espace de modules de courbes1rpeˆetrstitnrepee,enuvcensxttee´tnadserp,ese´ enphysiquecommedesfonctionsdecorre´lation,cest-`a-diredesfonc-tionsdonnantlaprobabilit´edepasserdune´tatinitialdonn´e`aun´etat naldonne´. Lesid´eesetintuitionsdelath´eoriedescordesontjoue´lerˆolede lconducteurdanscedomainedesmath´ematiques.En1991,Edward Witten[11]aconjecture´uneformuledere´currencesurlesint´egrales des classesψi(voir section 1.en remarquant que la fonction de par-5) tition2qieunymanudeirev´eteetnjcotueca´reytediVeposarC.ortee´ d´emontre´elamˆemeann´eeparMaximKontsevich[8]. Date: 12 octobre 2011. 1.Ilsagitdecourbescomplexes,cest-`a-diredesurfacesdeRiemann.Sereporter a`lannexepourdespr´ecisionssurlesde´nitions. 2.Lafonctiondepartitionestunese´riequifaitintervenirtouteslesinte´grales des classesψisur tous les espaces de courbes. Il s’agit donc d’un point de vue global etge´n´eriquesurlesespacesdecourbesetnondesinte´resserauxparticularite´sde chaque espace. 1
´ ´ ´ ´ 2 JEREMY GUERE, SOUS LA DIRECTION DE ALESSANDRO CHIODO Auparavant, en 1969, Pierre Deligne et David Mumford [10] avait donne´unsensa`cesinte´gralesend´enissantcorrectementlespacede modulesdescourbesstablesetenyd´enissantlesclassescohomolo-giquesψietλkmeomecr´mili´entren.DavidMumfordvaiaetsniuetomtn toutes les classesλkuqsusedeovalpridect´egesin,sedarel`enaostr int´egralessurlesclassesψienuerirce´dedtL.ojbemoireesetdecem´ ´ethodedecalcl´ene´ralepourlesint´egralesfaisantintervenirles m u g classesψietλknoressuorusemnesreotennd,ndetu´elAa.ed´ecrire unprogrammeinformatiquepourcalculercesnombresre´cursivement. Nousenresteronsl`apourceme´moiremaistoutcecinestquelede´but d’une longue histoire. Elargissementetprojetdethe`se.L’espace de modules des courbes stables est un cas particulier de l’espace classifiant tous les morphismes allantdunesurfacedeRiemannquelconqueversunevarie´te´complexe compacteX´´usNoe.´enndoalXde Calabi-Yau. Ce prenons en gener quipre´ce`deestdonclecasparticulierpourlequelXest un point. Le caso`uXarpprodtnoe3tsneedimensiestddeirseatcleoh´ecirveta cordes.Surcenouvelespacedemodule,nouspouvonsencorede´nir des classesψimetypequepr´ec´eni´tgeareldsmueˆsedtemmed.tneseC inte´gralessontdesinvariantsge´ome´triquesdelavari´ete´X. Ils sont ap-pele´sinvariants de Gromov-WittenCe.deirorGetettoe´henmov-Witt faitlobjetderecherchestre`sactivesdepuisdeuxde´cennies.Entre autres,elleapermisdemettr´evidenceunenouvellestructurede e en produit sur l’anneau de cohomologie deXppa,ee´leproduit quantique etdontlade´nitionfaitappeldirectementauxinvariantsdeGromov-Witten deXelonmonnusousualit´ecdedene`mone´hpnus,urleil-aar.P desyme´triemiroirapermisdede´crirecomple`tementceproduitquan-tique. Ceph´enome`neae´te´de´couvertparlesphysicienscommeunedualit´e entredeuxmode`lesdelathe´oriedescordes.Enmath´ematiques,il pre´voitpourXistelex-Yaulabie´´taviruencndeiremroiaCedX, avec laproprie´te´quelesd´eformationsdelastructurecomplexedelune sontencorrespondanceaveclesde´formationsdelastructuredeKalher ¨ de l’autre. Au niveau cohomologique, nous devons avoir les relations hp,q(X) =hnp,q(X), avecnla dimension complexe deX. C’est ce quiestappele´euysirme´mtercohiroiogiqomolece´R.nu,tnemmeluvno enonc´edesym´etriemiroir,diteglobaleidevceenmi´en´selrusa,´ate ´ quintique deCP4par Alessandro Chiodo et Yong-Bin Ruan [2]. Il s’agit dunevisiondensembledelasyme´triemiroirquirelielesinvariantsde Gromov-Wittendelavarie´t´eetdumiroir,ainsiquelathe´orieg´ene´rale desespacesdemodulesdesmorphismesa`uneautrethe´oriedespace demodules,introduitesouslenomdemod`eledeLandau-Ginzburg.
CALCULS DES NOMBRES D’INTERSECTION . . . 3 Pour le moment, le calcul des invariants de Gromov-Witten dans le casg´en´eralestlargementincomplet.Engenre0,ilexistedesr´esultats maisau-dela`dugenre52,ilnyaplusaucunepr´ediction.Unedesdi-culte´smajeuresre´sidedanslad´eterminationduneclassedhomologie delespacedemodulesdesmorphismes,appel´eelaclassevirtuelle.Elle poss`ededesproprie´te´ssimilaires`auneclassefondamentaleetellela remplacedanslescaso`ulespacedemodulesnestpasdedimension constante.Cetteclasseestn´ecessairedanslade´nitiondesinte´grales de Gromov-Witten et rend pour l’instant impossible leur calcul. Lid´eeae´te´sugg´er´eeparWittendesinte´ressera`unautreespacede modulequiclassiedesbre´sendroitessurlessurfacesdeRiemann satisfaisantcertainesrelationsalge´briques.Ceciadonn´enaissanceau mod`eledeLandau-Ginzburg.Partantdunpolynˆomequasi-homog`ene dansunespaceprojectif`apoids,nousnotonsXlepyhreuisnreec´adf parlelieudesz´erosetnousregardonslemod`eledeLandau-Ginzburg associe´a`cepolynˆome.Danscetteth´eorie,nouspouvonsencored´enir des classesψiravnisedtedstnaietecmmR.e´ne,tromoypeGttenv-Wi desconjecturessurunedualite´entrelesinvariantsdonn´esparlemod`ele deLandau-Ginzburg,appel´esinvariants de Fan-Jarvis-Ruan-Witten, etceuxdonne´sparlathe´oriedeGromov-Wittenonte´te´misesen ´evidencesurlexempledelaquintiqueparAlessandroChiodoetYong-Bin Ruan [2]. Danslemod`eledeLandau-Ginzburg,desclassesvirtuellesappa-raissentaussidanslexpressiondesint´egrales,maisnousesperonstout ´ demˆemequelescalculsquienre´sultentserontplussimplesa`r´ealiser. Moneesproeth`jetdsera tout d’abord de comprendre la classe vir-tuellepourunpolynˆomeparticulieretdefourniruneme´thodedecal-culpourlesinvariants,ensinspirantdecellequiestpr´esent´eedansce texte. LecalculdesinvariantsdeGromov-Wittenseferapeut-ˆetrea`travers celuidesinvariantsdedeFan-Jarvis-Ruan-Witten.Cependant,l´etude decettedualite´etsonimportanceauseindelasym´etriemiroirglobale enfontunsujetderecherchefondamentaledontlaport´eeirapeut-ˆetre au-dela`desmathe´matiques.
´ ´ ´ ´ 4 JEREMY GUERE, SOUS LA DIRECTION DE ALESSANDRO CHIODO ` Table des matieres 0. Introduction 1. Certains invariants de Gromov-Witten 1.1. Une approche recursive ´ 1.2.LesclassesdeChernenfonctiondescaract`eresdeChern 1.3.Lescaract`eresdeChernenfonctiondesclassespsi 1.4.Comportementdescaracte`resdeChernetdesclassespsi sous les morphismes d’oubli et de recollement 1.5.Re´currencessurlesinvariantsnayantquedesclassespsi 2. Un exemple de calcul 2.1.Pr´esentationdesm´ethodes 2.2. Calcul sur les classes psi 2.3.Me´thodesioux 2.4.M´ethoder´ecursive 3.D´etailduprogrammeinformatique 3.1.Calculenfonctiondescaract`eresdeChern 3.2. Programmes auxiliaires 3.3. Calcul en fonction des classes de Chern Annexe A. Guide de l’espace de modules des courbes stables A.1. Les courbes lisses : A.2. Les courbes nodales et les courbes stables : A.3. Le morphisme d’oubli : A.4. Les morphismes de recollement : A.5. Quelques mots sur l’anneau des classes tautologiques : A.6. Certaines classes tautologiques et leurs relations : R´ef´erences
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