CCP PSI1 duree heures

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
CCP PSI1 2007 duree : 4 heures calculatrices autorisees Notations. On note : – N : l'ensemble des entiers naturels, – R : l'ensemble des nombres reels, – e : le nombre reel dont le logarithme neperien est egal 1. Pour x appartenant a R, on note |x| la valeur absolue de x. Pour tout entier naturel, on note n! la factorielle de n avec la convention 0!1 =. Si j et n sont deux entiers naturels fixes tels que 0 ≤ j ≤ n, on note : – [|j, n|] l'ensemble des naturels k verifiant j ≤ k ≤ n, – (n j ) le nombre de parties ayant j elements d'un ensemble de n elements. On rappelle que pour tout entier naturel j element de [|0, n|] on a : (n j ) = n!j!(n?j)! . Si f est une fonction k fois derivable sur un intervalle I (avec k ≥ 1) on note f ? (resp. f (k)) sa fonction derivee (resp. sa fonction derivee k-ieme). Si u est une application de N dans R, donc une suite reelle, on utilise la notation usuelle : u(n) = un pour tout n appartenant a N.

• ?n


• convergence de l'integrale impropre


• convergence de la serie ∑


• calculer ?4


• elements de sn


• classe c∞


• lien avec ?n


• rayon de convergence

Sujets

• Rayon de convergence

Informations

• Publié par: larec
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

CCP PSI1 2007 dure´e:4heures calculatricesautoris´ees Notations. On note : –N: l’ensemble des entiers naturels, –R,l’:lembseenrbmonsedslee´rse –ebmer´ree:elonogarithmldontleleneie´tse´nere´pl1ga. Pourxaprtpa`tanenaR, on note|x|la valeur absolue dex. Pour tout entier naturel, on noten! la factorielle denavec la convention 0!1 =. Sijetnsont deux entiers naturels fixes tels que 0≤j≤n, on note : – [|j, n|] l’ensemble des naturelskten´aifirvj≤k≤n,   n – lenombre de parties ayantjmbleded’unense´lmeneste´n.s´tneme´le j   n n ! On rappelle que pour tout entier naturelj´le[ntde´eme|0, n|] on a := . j j !(n−j)! 0(k) Sifest une fonctionkoifvari´esdnuruselblavretnileI(aveck≥1) on notef(resp.f) sa fonction d´eriv´ee(resp.safonctionde´rive´eki-e`me). Siuest une application deNdansR´eeritsunecuon,ditilesalleelo,unusuelle:notationu(n) =u n pour toutnt`anapaapenrtN. 1 Soitxeireetnxist’ileombreunnpparno,lseuqellenouneer´rembpfiee´iruqvi|p−x|<alorspest 2 l’entier le plus proche dex. Objectifs. L’objetduproble`meestd’unepartd’e´tablir,pourtoutentiernaturelnonnul,unlienentrel’entier −1 naturelβ n le plus proche dee n! et le nombreγ n enlt´fiexmedeungtssansdp’o´ie´rtqieuorpusemy −1 S n rteptrt,aretaud’’lreace´e´’didutδ n =e n!−β n . Dans la partieI´nteoieudβ n nuree´ucrrneecd,anslapartieracaleoneta`ecaˆrgesire´tcIIduteeion´ γ n noteate´itblliunavenecβ n . La partieIIInoitamitsectedcr´eonsaneese`auδ n ete´un`asiupeud P P |δ n | desdeuxs´eriesδ n et . n n≥0n≥1 1 Lessuitesαetβ. Ond´efinitlasuiteαparα 0 :ecnerruce´rdeontilarelaet=1 n+1 ∀n∈N, α n+1 = (n+ 1)α n + (−1) +∞ P n P n x x x On rappelle que pour toutxas,lri´eerlee´etque=etsocvnreegtn,ee; en particulier, n!n! n≥0 n=0 pourx=−1 +∞ n X (−1) −1 =e n! n=0 n+∞ P P k k (−1) (−1) Pourn∈N, on note :β n =n! etρ n = . k!k! k=0k=n+1 I.1. Etudede la suiteα. I.1.1Expliciterα k pourkdans [|0,4|]. I.1.2Montrer queα n est un entier naturel pour toutndeN. I.2. Etudede la suiteβ.

1

I.2.1Expliciterβ k pourkdans [|0,4|]. I.2.2Montrer queβ n est un entier relatif pour toutndeN. I.2.3Expliciterβ n+1 −(n+ 1)β n en fonction den, pour tout entierndeN. I.2.4Comparer les deux suitesαetβ. I.3. Etudedeρ n . I.3.1edengiselresiecr´Pρ n en fonction de l’entier natureln. 1 I.3.2Etablir, pour tout entier naturelne:vant,e´ag’lniseiuil´tn!|ρ n | ≤ell-este´ni’L.ee´tilag n+1 stricte ? I.3.3reuicedeedD´ede`peuqpiuqce´rntiernatourtouterulen≥1,β n est l’entier naturel le −1 plus proche dee n!. I.4. Etuded’une fonction. 1 Onde´signeparffaltcnodnoifin´eetiecldeseasC(au moins) sur l’intervalle ]−1,ruelava`1s[ re´elles,ve´rifiantlesdeuxconditions:

0 fet(0) = 1∀x∈]−1,1[,(1−x)f(x)−xf(x) = 0

I.4.1oitcnofalede´ticni’utleencteisexre’ltsfiiuJnf. Expliciterf(x) pour toutxde ]−1,1[. ∞ I.4.2Justifier l’affirmation : “fest de classeCsur ]−1,1[”. I.4.3Expliciter (1−x)f(x), puis exprimer pour tout entier natureln:

(n+1) (n) (1−x)f(x)−(n+ 1)f(x)

en fonction denet dex. (n) I.4.4tierutenurtolepoerlanuteuirdu´endEbalav,noitalerenn, entreβ n etf(0).

2 Lasuiteγ. Danscettepartie,onde´signeparnun entier naturel. Pourn≥1, on note : –S n l’ensemble des permutations de [|1, n|], –γ n ’der´le´nemeedstnombleS n sans point fixe (τpaaptrnena`taS n est sans point fixe si pour toutkde [|1, n|], on aτ(k)6=k). Pourn= 0 on adopte la convention :γ 0 = 1. II.1.Calculerγ 1 etγ 2 . II.2.e´le´seledstnemsserClaS 3 selon leur nombre de points fixes et calculerγ 3 . II.3.On suppose dans cette question quen= 4. II.3.1lenolestQuenest´lme’de´bmerτ`antnatearppaS 4 ?ayant deux points fixes II.3.2entlbrom’´ed´eelemtnsuQseleτt`apaaptrnenaS 4 ?ayant un point fixe II.3.3Calculerγ 4 . II.4. Relationentre lesγ k . II.4.1Rappsanselerdeme´lstneerbme´’dontinolestjucaifiS n . II.4.2Si 0≤k≤nne’de´´lc,moibdetsenemS n ont exactementk?points fixes n P  n II.4.3Etablir pour tout entier naturelnla relation :γ k =n!. k k=0 +∞ P P γ n n γ n n II.5.ecnOre`disnori´easeleri`nteexet l’on poseg(x) =xoluqsrsaleri´eonecrgvee. n!n! n≥0 n=0 II.5.1uelererqMontgrnenoevdncearoyeeri´eesttcedecere´pustseere`itngal`a1.ieurou´e x II.5.2Pour toutxde ]−1,1[, on poseg(x) =e g(xpeopelevenntmetssuiJx.eefi’iltr´dude)cne s´erieentie`redelafonctionhsur ]−1,evd´opelmepe.ntte[1lpxeticiecre II.5.3Expliciterg(x)pourtoutnombrel´eerxde ]−1,elavaleriude´dnE[.1nderayourdu P γ n n convergencedelase´riex. n! n≥0

2

II.5.4Comparer les deux suitesβetγ. II.5.5La fonctiongn1?nieed´efielle-tse II.5.6La fonctiongnleelse-tinee´dfie−1 ? II.5.7Calculerγ 8 .

−1 3 Surδ n =e n!−β n . Pour tout entier natureln, on note : −1 –δ n =e n!−β n . R 1 n x –J n =x edx. 0 n+1 –v n = (−1)J n . P III.1.Las´eriev n . n≥0 III.1.1Quelle est la limite deJ n lorsquentend vers +∞? P III.1.2cndelesaocvnreegtablirlari´eeEv n . n≥0 III.2.Estimationinte´graledeδ n . III.2.1morbuontleree´ifistJurtou,perxet pour tout entier naturelne:t´,e´’lilag n Z k x n X x(x−t) x t e= +e dt(1) k!n! 0 k=0 III.2.2ssrexp’e)l(1dereednoiD´eduiδ n en fonction dev n . P III.3.Surlase´rieδ n . n≥0 P Justifierlaconvergencedelase´rieδ n ?; la convergence est-elle absolue n≥0 P |δ n | III.4.Surlas´erie. n n≥1 P |δ n | III.4.1ladeers´rgveceenlrefinocaJitsu.ei n n≥1 R 1 x III.4.2On poseA=−eln(1−x)dx. 0 III.4.2.1colaerifistJue´rglaiepmorrpenvergencedel’intA. +∞ P |δ n | III.4.2.2alremmoseEximpr´tge’lniarelenfoondenctiA. n n=1 +∞ P P n n (−1) (−1) III.4.3negrevno´saledecusJacrlfietieire 2 et expliciter la somme 2 en n!(n+1)n!(n+1) n≥0 n=0 +∞ P |δ n | fonction de. n n=0 +∞ P p |δ n | p 1 III.4.4aritbmernuontirefiant´erilvonneicplEx− ≤. q  n q  600 n=0

3