CCP PSI1 duree heures
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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
CCP PSI1 2007 duree : 4 heures calculatrices autorisees Notations. On note : – N : l'ensemble des entiers naturels, – R : l'ensemble des nombres reels, – e : le nombre reel dont le logarithme neperien est egal 1. Pour x appartenant a R, on note |x| la valeur absolue de x. Pour tout entier naturel, on note n! la factorielle de n avec la convention 0!1 =. Si j et n sont deux entiers naturels fixes tels que 0 ≤ j ≤ n, on note : – [|j, n|] l'ensemble des naturels k verifiant j ≤ k ≤ n, – (n j ) le nombre de parties ayant j elements d'un ensemble de n elements. On rappelle que pour tout entier naturel j element de [|0, n|] on a : (n j ) = n!j!(n?j)! . Si f est une fonction k fois derivable sur un intervalle I (avec k ≥ 1) on note f ? (resp. f (k)) sa fonction derivee (resp. sa fonction derivee k-ieme). Si u est une application de N dans R, donc une suite reelle, on utilise la notation usuelle : u(n) = un pour tout n appartenant a N.

  • ?n

  • convergence de l'integrale impropre

  • convergence de la serie ∑

  • calculer ?4

  • elements de sn

  • classe c∞

  • lien avec ?n

  • rayon de convergence


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CCP PSI1 2007 dure´e:4heures calculatricesautoris´ees Notations. On note : N: l’ensemble des entiers naturels, R,l:lembseenrbmonsedslee´rse ebmer´ree:elonogarithmldontleleneie´tse´nere´pl1ga. Pourxaprtpa`tanenaR, on note|x|la valeur absolue dex. Pour tout entier naturel, on noten! la factorielle denavec la convention 0!1 =. Sijetnsont deux entiers naturels fixes tels que 0jn, on note : – [|j, n|] l’ensemble des naturelskten´airvjkn,   n – lenombre de parties ayantjmblededunense´lmeneste´n.s´tneme´le j   n n! On rappelle que pour tout entier naturelj´le[ntde´eme|0, n|] on a := . j j!(nj)! 0(k) Sifest une fonctionkoifvari´esdnuruselblavretnileI(aveck1) on notef(resp.f) sa fonction d´eriv´ee(resp.safonctionde´rive´eki-e`me). Siuest une application deNdansR´eeritsunecuon,ditilesalleelo,unusuelle:notationu(n) =un pour toutnt`anapaapenrtN. 1 Soitxeireetnxistileombreunnpparno,lseuqellenouneer´rembpee´iruqvi|px|<alorspest 2 l’entier le plus proche dex. Objectifs. Lobjetduproble`meestdunepartde´tablir,pourtoutentiernaturelnonnul,unlienentrelentier 1 naturelβnle plus proche dee n! et le nombreγnenlt´exmedeungtssansdpo´ie´rtqieuorpusemy 1 Snrteptrt,aretaudlreace´e´didutδn=e n!βn. Dans la partieI´nteoieudβnnuree´ucrrneecd,anslapartieracaleoneta`ecaˆrgesire´tcIIduteeion´ γnnoteate´itblliunavenecβn. La partieIIInoitamitsectedcr´eonsaneese`auδnete´un`asiupeud P P |δn| desdeuxs´eriesδnet . n n0n1 1 Lessuitesαetβ. Ond´enitlasuiteαparα0:ecnerruce´rdeontilarelaet=1 n+1 nN, αn+1= (n+ 1)αn+ (1) +PnPn x xx On rappelle que pour toutxas,lri´eerlee´etque=etsocvnreegtn,ee; en particulier, n!n! n0n=0 pourx=1 +n X (1) 1 =e n! n=0 n+P P k k (1) (1) PournN, on note :βn=n! etρn= . k!k! k=0k=n+1 I.1. Etudede la suiteα. I.1.1Expliciterαkpourkdans [|0,4|]. I.1.2Montrer queαnest un entier naturel pour toutndeN. I.2. Etudede la suiteβ.
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I.2.1Expliciterβkpourkdans [|0,4|]. I.2.2Montrer queβnest un entier relatif pour toutndeN. I.2.3Expliciterβn+1(n+ 1)βnen fonction den, pour tout entierndeN. I.2.4Comparer les deux suitesαetβ. I.3. Etudedeρn. I.3.1edengiselresiecr´Pρnen fonction de l’entier natureln. 1 I.3.2Etablir, pour tout entier naturelne:vant,e´aglniseiuil´tn!|ρn| ≤ell-este´niL.ee´tilag n+1 stricte ? I.3.3reuicedeedD´ede`peuqpiuqce´rntiernatourtouterulen1,βnest l’entier naturel le 1 plus proche dee n!. I.4. Etuded’une fonction. 1 Onde´signeparffaltcnodnoin´eetiecldeseasC(au moins) sur l’intervalle ]1,ruelava`1s[ re´elles,ve´riantlesdeuxconditions:
0 fet(0) = 1x]1,1[,(1x)f(x)xf(x) = 0
I.4.1oitcnofalede´ticniutleencteisexreltsiuJnf. Expliciterf(x) pour toutxde ]1,1[. I.4.2Justifier l’affirmation : “fest de classeCsur ]1,1[”. I.4.3Expliciter (1x)f(x), puis exprimer pour tout entier natureln:
(n+1) (n) (1x)f(x)(n+ 1)f(x)
en fonction denet dex. (n) I.4.4tierutenurtolepoerlanuteuirdu´endEbalav,noitalerenn, entreβnetf(0).
2 Lasuiteγ. Danscettepartie,onde´signeparnun entier naturel. Pourn1, on note : Snl’ensemble des permutations de [|1, n|], γnder´le´nemeedstnombleSnsans point fixe (τpaaptrnena`taSnest sans point fixe si pour toutkde [|1, n|], on aτ(k)6=k). Pourn= 0 on adopte la convention :γ0= 1. II.1.Calculerγ1etγ2. II.2.e´le´seledstnemsserClaS3selon leur nombre de points fixes et calculerγ3. II.3.On suppose dans cette question quen= 4. II.3.1lenolestQuenest´lmede´bmerτ`antnatearppaS4?ayant deux points fixes II.3.2entlbrom´ed´eelemtnsuQseleτt`apaaptrnenaS4?ayant un point fixe II.3.3Calculerγ4. II.4. Relationentre lesγk. II.4.1Rappsanselerdeme´lstneerbme´dontinolestjucaiSn. II.4.2Si 0knnede´´lc,moibdetsenemSnont exactementk?points fixes n P n II.4.3Etablir pour tout entier naturelnla relation :γk=n!. k k=0 +P P γnn γnn II.5.ecnOre`disnori´easeleri`nteexet l’on poseg(x) =xoluqsrsaleri´eonecrgvee. n!n! n0n=0 II.5.1uelererqMontgrnenoevdncearoyeeri´eesttcedecere´pustseere`itngal`a1.ieurou´e x II.5.2Pour toutxde ]1,1[, on poseg(x) =e g(xpeopelevenntmetssuiJx.eeiltr´dude)cne s´erieentie`redelafonctionhsur ]1,evd´opelmepe.ntte[1lpxeticiecre II.5.3Expliciterg(x)pourtoutnombrel´eerxde ]1,elavaleriude´dnE[.1nderayourdu P γnn convergencedelase´riex. n! n0
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II.5.4Comparer les deux suitesβetγ. II.5.5La fonctiongn1?nieed´eelle-tse II.5.6La fonctiongnleelse-tinee´de1 ? II.5.7Calculerγ8.
1 3 Surδn=e n!βn. Pour tout entier natureln, on note : 1 δn=e n!βn. R 1 n x Jn=x edx. 0 n+1 vn= (1)Jn. P III.1.Las´erievn. n0 III.1.1Quelle est la limite deJnlorsquentend vers +? P III.1.2cndelesaocvnreegtablirlari´eeEvn. n0 III.2.Estimationinte´graledeδn. III.2.1morbuontleree´istJurtou,perxet pour tout entier naturelne:t´,e´lilag nZ k xn X x(xt) x t e= +e dt(1) k!n! 0 k=0 III.2.2ssrexpe)l(1dereednoiD´eduiδnen fonction devn. P III.3.Surlase´rieδn. n0 P Justierlaconvergencedelase´rieδn?; la convergence est-elle absolue n0 P |δn| III.4.Surlas´erie. n n1 P |δn| III.4.1ladeers´rgveceenlrenocaJitsu.ei n n1 R 1 x III.4.2On poseA=eln(1x)dx. 0 III.4.2.1colaeristJue´rglaiepmorrpenvergencedelintA. +P |δn| III.4.2.2alremmoseEximpr´tgelniarelenfoondenctiA. n n=1 +P P n n (1) (1) III.4.3negrevno´saledecusJacrletieire2et expliciter la somme2en n!(n+1)n!(n+1) n0n=0 +P |δn| fonction de. n n=0 +P p|δn|p1 III.4.4aritbmernuontireant´erilvonneicplEx− ≤. qn q600 n=0
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