Cohomologie de Chen Ruan des espaces projectifs poids

Fourier Mémoire

Description

Niveau: Supérieur, Master

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Institut Fourier Mémoire de Master 2 juin 2009 Cohomologie de CHEN-RUAN des espaces projectifs a poids. B. DUDIN Sous la direction de A. Chiodo et J. Bertin

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• définition du produit de la cohomologie de chen-ruan


• vistoli sur la théorie de gromov-witten des champs algébriques


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• Espace quotient

Informations

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• Publié le: 01 juin 2009
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Extrait

Institut Fourier
Mémoire de Master 2
juin 2009
Cohomologie de CHEN-RUAN des
espaces projectifs a` poids.
B. DUDIN
Sous la direction de
A. Chiodo et J. BertinTable des matières
1 Notion de champ quotient 6
1.1 Définition de la catégorie [V/Γ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Morphismes de CFG à valeurs dans [V/Γ] . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Propriétés locales d’un morphisme représentable de CFG . . . . . 10
1.4 Le champ [V/Γ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Sous-champs de [V/Γ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Groupes d’isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
w1.7 Le champP() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Cohomologie singulière de P(w) 16
2.1 Quelques éléments d’homologie singulière . . . . . . . . . . . . . 16
n2.2 P →P(w)→|P(w)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
∗2.3 Définition et quelques propriétés de H (P(w),Q) . . . . . . . . . 20
2.4 Classes deChern surP(www) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Cohomologie de Chen-Ruan de P(w) 25
∗3.1 Groupe de Cohomologie H (P(w)) . . . . . . . . . . . . . . . . 25CR
3.1.1 Champ d’inertie deP(w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
∗3.1.2 Définition de H (P(w)), premiers examples . . . . . . . 28CR
∗3.2 Structure multiplicative sur H (P(w) . . . . . . . . . . . . . . . 30CR
3.2.1 Définition d’un bi-secteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Fibré d’obstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3 Démonstration du Théorème 3.2.3, une esquisse . . . . . . 32
3.2.4 Définition du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Un peu de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Description combinatoire 38
4.1 Une piste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Calcul de l’âge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Le produit de deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3Introduction
∗n n+1 n+1L’espace projectifP de dimension n est le quotient de C :=C −
∗{0} par l’action deC donnée par,
∗∗ n+1∀λ∈C , ∀z∈ C , λ.z = (λz ,...,λz ).0 n
∗∗ n+1C’est une action libre : l’action d’un élémentλ deC sur un pointz∈ C
nest triviale si et seulement si λ est égal à 1. L’espace quotient P a donc une
structure de variété holomorphe. Dans ce mémoire nous nous interessons à une
classe plus large d’espaces; les espaces projetcifs à poids. Soitw = (w ,...,w )0 n∗∗ ∗ n+1un (n+1)-uplet à coefficients dans N . L’action de C sur C associée à
w est définie comme suit
∗∗ n+1 w w0 n∀λ∈C , ∀z∈ C , λ.z = (λ z ,...,λ z ).0 n
∗n+1L’espace projectif à poids |P(www)| est l’espace quotient de C par cette
naction.AladifférencedeP ,dèsquew = (1,...,1),lesstabilisateursdecertains∗n+1 ∗points de C par l’action de C sont des sous-groupes non-triviaux du
cercle unité. En général, cette action n’est pas libre. De plus, pour un poids
∗w w tel que pgcd() := pgcd(w ,...,w ) est différent de 1, l’action de C sur0 n∗n+1 ∗C n’est plus fidèle : il existe un sous-groupeC non trivial, noté H, qui
∗n+1agit trivialement sur C . Notre souhait est de garder trace de l’action
∗n+1triviale de H sur C . Dans ce cas, se limiter à étudier l’espace quotient
revient à négliger l’action de H. Un moyen de résoudre ce problème consiste
à munir |P(w)| d’une structure orbifolde. C’est-à-dire à regarder localement
n|P(w)| comme le quotient d’un ouvert deC par l’action d’un groupe fini. C’est
l’approche adoptée parW. Chen et Y. Ruan dans [CR04].
Danscemémoire,nousavonsadoptélepointdevuedelathéoriedeschamps.
Au quotient|P(www)| nous associons une catégorieP(www) où nous pouvons donner
sens aux notions de fonction, faisceau et action de groupe. Dans ce contexte, il∗n+1nous est possible de détecter l’action triviale de H sur un point z de C .
Ceci est dû au fait qu’un «point» de P(w) peut avoir un groupe d’automor-
phismes non trivial.
wLa cohomologiedeChen-Ruan surP() est une théorie cohomologiquequi
tient compte de la structure champêtre de P(w). C’est un invariant du champ
P(www). L’idée d’un anneau de cohomologie champêtre apparaît dans les travaux
deL. Dixon,J. Harvey,C. VafaetE. Witten(cf.[DHVW85])enphysique
théorique. Elle a été formalisée par la suite dans les travaux de W. Chen et
4
6Y. Ruan (cf. [CR04]). Au-delà de l’intérêt en physique théorique, la cohomol-
gie de Chen-Ruan trouve des applications à différents secteurs des mathéma-
tiques. Citons, par exemple, les travaux de D. Abrahmovich, T. Graber et
A. Vistoli sur la théorie de Gromov-Witten des champs algébriques (cf.
[AGV08]).
Aprèsavoirdéveloppélanotiondechampquotientaupremierchapitre,nous
consacronslechapitre2àlamiseenplacedesobjetsnécessairesàladéfinitionde
la cohomologiedeChen-Ruan. La définition de celle-ci est donnée au troisième
chapitre.
Un point important, abordé au chapitre 3, est la définition du produit de la
cohomologie de Chen-Ruan. Ceci est une question extrêmement délicate (cf.
[ALR07]). NousdétaillonsunereprésentationcombinatoiredûeàS. Boissière,
E. Mann et F. Perroni qui décrit explicitement la structure multiplicative
wsur la cohomolgiedeChen-Ruan deP(). Nous fournissonsplusieurs exemples
wdans le cas où P() est de type Gorenstein. Ces derniers permettent une
compréhension rapide et directe du modèle combinatoire.
5Chapitre 1
Notion de champ quotient
L’étude du quotient d’une variété lisse V par l’action d’un groupe lisse Γ
ne peut se résumer à l’étude de l’espace analytique V/Γ. Etant donné un sous-
groupe Ω⊳ Γ qui agit trivialement sur V, les espaces V/Γ et V/(Γ/Ω) sont
égaux; nous n’avons aucun moyen de détecter l’action de Ω sur V. L’approche
la plus intuitive, afin de résoudre ce problème, consiste à munir l’espace V/Γ
d’une information supplémentaire. Un recouvrement de V/Γ par des ouverts
nobtenus comme quotient d’ouverts de C par l’action d’un groupe fini. C’est
l’approche adoptée par W. Chen et Y. Ruan dans [CR04]. Nous adoptons
dans ce mémoire le point de vue plus algébrique de la théorie des champs. Nous
nouslimiteronscependantaucasparticulierduchampquotientassociéàl’action
d’un groupe Γ sur une variété lisse V. Le stabilisateur d’un point x ∈ V sous
l’action de Γ sera toujours supposé de cardinal fini.
1.1 Définition de la catégorie [V/Γ]
Notation.Nous désignons parV la catégorie des espaces analytiques.
Définition 1.1.1 (Catégorie au-dessus de V).Une catégorie X au-dessus de V
est une catégorie munie d’un foncteur p :X→V.X
Un objetX (resp. un morphismeφ) deX tel quep (X)=A (resp.p (φ) =X X
f) est dit au-dessus de A (resp. au-dessus de f). Nous désignons par X(A)
la catégorie dont les objets sont des objets de X au-dessus de A et dont les
morphismes s’envoient sur l’identité par p .X
Définition1.1.2(Catégoriefibréeengroupoïdes(enabrégéCFG).[Vis89,7.1]).
Une catégorieX au-dessus deV est dite fibrée en groupoïdes si,
i. Pour tout morphisme f: A → B dans V et tout objet Y ∈ X tel que
p (Y) = B, il exite un objet X et un morphisme φ: X → Y tels queX
p (X)=A etp (φ) =f.X X
6φ
X Y
B,A
f
ii. Pour tout diagramme
ψ
X X .3 1
φ
ϕ
X2
f◦g
A A3 1
g f
A2
où p (X ) = A , p (φ) =f et p (ψ) =f◦g. Il existe une unique appli-X i i X X
cationϕ: X →X tel que ψ =φ◦ϕ et p (ϕ) =g.3 2 X
Remarque 1.1.3.La condition ii. implique l’unicité de Y. De plus, par unicité
deϕ,lemorphismeϕestunisomorphismesietseulementsip (ϕ) enestun.EnX
particulier,pourtoutobjetA∈V toutmorphismedeX(A)estunisomorphisme,
X(A) est un groupoïde.
UneCFG est unecatégorieau-dessusdeV danslaquellenouspouvons«tirer
∗enarrière»lesobjets.Aveclesnotationsdela définiton, nousdésignonsparf Y
un élément de la classe d’isomorphie de X.
Définition 1.1.4.Un morphisme de CFG au-dessus de V est un foncteur qui
commute avec la projection surV.
La catégorie [V/Γ] est définie comme suit :
• Un objet de [V/Γ] est un Γ-torseur (Γ-fibré)π: E→S (oùS est un objet
deV) muni d’une application analytique Γ-équivariantef: E→V. Nous
désignons indifféremment cet objet par (π: E →S,f: E →V) ou par le
diagramme
f
E V
π
S
′ ′• Un morphisme Ψ entre deux objets (π: E →S,f: E →V) et (π : E →
′ ′ ′S ,f : E →V) est un couple d’applications analytiques Ψ = (ψ,ψ ) telV
que les conditions suivantes sont satisfaites :
′• f =f ◦ψ,
7• le diagramme
ψ
′E E
′π π
′S S
ψV
est cartésien.
Le fait que [V/Γ] soit une catégorie est une conséquence de l’existence et de
l’unicité de Γ-fibrés tiré