Concours Centrale Supélec

Concours Centrale Supélec

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Concours Centrale - Supélec 2008 Épreuve :MATHÉMATIQUES II FilièrePC I.A.1) Determiner une matrice A de M2(C) telle que pour tout entier positif n, on ait : Xn+1 = AXn. I.A.2) Montrer que ? est valeur propre de A si et seulement si : ?2 + a1 ?+ a0 = 0. I.A.3) On suppose que A admet deux valeurs propres distinctes ?1 et ?2 et on note D = [ ?1 0 0 ?2 ] . a) Determiner les matrices Q inversibles deM2(C) telles que AQ = QD. b) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q?1, des complexes ?1, ?2 et de l'entier n. I.A.4) On suppose maintenant que A admet une seule valeur propre ? et on note T = [ ? 1 0 ? ] . a) Exprimer a1 et a0 en fonction de ?. b) Montrer que la matrice A est semblable a la matrice T et determiner les matrices Q inversibles deM2(C) telles que : Q?1AQ = T. c) Exprimer An pour tout entier naturel n, en fonction des matrices Q, Q?1, du complexe ? et de l'entier n.

  • vecteur yn dans la base

  • base de l'espace des solutions du systeme

  • espace vectoriel des matrices carrees

  • yn


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Langue Français
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MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2002
1/6
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-
phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel
Dans tout le problème,
• les espaces vectoriels
et
sont munis de leur produit scalaire
canonique et orientés par leur base canonique,
• on désigne par
ou
le produit scalaire de deux vecteurs
d’un espace vectoriel euclidien, par
la norme associée,
• on désigne par
le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel
euclidien orienté de dimension 3.
Les vecteurs dans les espaces vectoriels
sont notés en colonnes, mais on leur
préférera la notation
, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande
taille.
Partie I - Étude dans
euclidien orienté de dimension 3
On considère dans cette partie
espace vectoriel euclidien orienté de
dimension 3 et la base canonique
orthonormale directe. Si
est dans
on définit
, endomorphisme de
, par sa restriction à
:
I.A -
Dans cette question on considère les endomorphismes
, de
matrices respectives
et
dans la base
:
Déterminer
et
, matrices respectives dans la base
de
et
.
IR
3
IR
4
,
IR
6
x
y
,
x
y
x
y
,
.
IR
n
(
)
t
E
E
IR
3
=
B
e
1
e
2
,
e
3
(
,
)
=
u
L
E
(
)
u
~
E
B
u
~
e
1
(
)
u
e
2
(
)
u
e
3
(
)
=
u
e
2
(
)
~
u
e
3
(
)
u
e
1
(
)
=
u
~
e
3
(
)
u
e
1
(
)
u
e
2
(
)
=
u
1
u
2
,
L
E
(
)
U
1
U
2
B
U
1
0
0
1
1
0
3
0
1
3
=
U
2
0
1
1
0
1
1
0
1
1
=
U
~
1
U
~
2
B
u
~
1
u
~
2
Concours Centrale-Supélec 2002
2/6
Filière PC
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
I.B -
Soit
. Montrer que
,
. Montrer
que si
dans
vérifie
,
, alors
I.C -
Déterminer
.
Si
et
sont dans
, montrer que
Si
est inversible, en conclure que
est inversible et en exprimer l’inverse.
I.D -
Si
appartient à
et a comme matrice
dans la base
, expri-
mer la matrice
de
dans la base
en fonction de
, comatrice de
la matrice
.
Montrer que
désigne l’adjoint de .
Montrer que
et
commutent.
Montrer que
I.E -
On considère toujours
dans
.
I.E.1)
Dans le cas où
est inversible, déterminer une expression de
en fonction de
et de
en fonction de
et de
.
I.E.2)
Dans le cas où
n’est pas inversible, déterminer
puis
.
I.F -
Préciser le rang de
selon la valeur de celui de . L’application de
dans lui-même qui à
associe
est-elle : linéaire ? injective ? surjective ?
Partie II - Recherche des plans stables par
endomorphisme de
On conserve dans cette partie les notations de la précédente.
II.A -
Soit
dans
et
un
plan
stable par .
Montrer que
est vecteur propre de
; exprimer la valeur propre associée
à
à l’aide de
.
II.B -
Inversement, soit
un vecteur propre de norme 1 de
.
Montrer qu’il existe
famille orthonormale dans
telle que
.
u
L
E
(
)
x
y
(
,
)
E
2
u
~
x
y
(
)
u
x
(
)
u
y
(
)
=
v
L
E
(
)
x
y
(
,
)
E
2
v
x
y
(
)
u
x
(
)
u
y
(
)
=
v
u
~
.
=
I
~
d
E
u
v
L
E
(
)
u
~
v
o
u
~
v
~
.
o
=
u
u
~
u
L
E
(
)
U
B
U
~
u
~
B
com
U
(
)
U
u
*
u
~
o
det
u
(
)
Id
E
=
u
*
u
u
~
u
*
u
*
~
(
u
)
~
*
.
=
u
L
E
(
)
u
det
(
u
)
~
det
u
(
)
,
(
u
)
~
1
u
*
det
u
(
)
u
Ker
(
u
)
~
det
(
u
)
~
u
~
u
L
E
(
)
u
u
~
u
E
u
L
E
(
)
P
Vect
=
x
y
(
,
)
u
x
y
u
~
x
y
u
P
z
u
~
x
y
(
,
)
E
x
y
z
=
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2002
3/6
Si la valeur propre associée à
est non nulle, montrer que
est sta-
ble par . On pourra remarquer que
est une base orthonormale directe
de
et effectuer des calculs dans cette base.
II.C -
Soit
dans
. Montrer que
est valeur propre de
si, et seule-
ment si,
est valeur propre de
. Montrer que, pour tout réel , les plans sta-
bles par
sont les plans stables par
. En déduire un moyen pour
obtenir les plans stables par
dans
n’ayant pas
comme valeur propre,
puis par
quelconque dans
.
II.D -
Appliquer cette méthode à la recherche des plans respectivement stables
par les deux endomorphismes
et
de
définis à la question I.A.
Certaines démonstrations dans les parties qui suivent sont analogues à celles
demandées dans les deux précédentes et, de ce fait, certains résultats seront
admis.
Partie III - Définition et étude d’un produit vectoriel de
dans
On munit
et
de leurs structures euclidiennes canoniques et on les
oriente grâce à leurs bases canoniques.
À un vecteur
de
, on associe
et
,
de sorte que l’on écrira, par blocs,
.
On définit alors, pour
et
dans
comme suit :
si
et
, où
et
, alors
est le
vecteur de
défini par les blocs
, avec
et
,
ce dernier produit vectoriel étant le produit vectoriel canonique de
.
On admettra sans démonstration
que
est une application bilinéaire antisy-
métrique de
dans
.
z
P
Vect
=
x
y
(
,
)
u
x
y
,
z
(
,
)
E
u
L
E
(
)
0
u
0
u
~
λ
u
u
λ
Id
E
u
L
E
(
)
0
u
L
E
(
)
u
1
u
2
IR
3
IR
4
IR
4
×
IR
6
IR
3
IR
4
X
x
1
M
x
4
=
IR
4
l
X
(
)
x
1
=
L
X
(
)
x
2
M
x
4
=
X
l
X
(
)
L
X
(
)
=
X
Y
IR
4
X
Y
×
,
X
a
ξ
=
Y
a
ξ′
=
a
a
'
IR
,
ξ
ξ
'
IR
3
,
X
Y
×
IR
6
A
B
A
a
ξ′
a
′ξ
=
B
ξ
ξ
=
IR
3
×
IR
4
IR
4
×
IR
6
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2002
4/6
III.A -
Trouver une condition nécessaire et suffisante sur
et
dans
pour
que
.
Soient
et
les applications linéaires de
dans
qui à
associent respectivement
et
.
III.B -
Soit
dans
, de la forme
, où
et
sont dans
; montrer
que
III.C -
Soit, inversement,
dans
vérifiant
; on pose
et
.
III.C.1)
Si
et si
dans
vérifient
, trouver tous les
dans
tels que
et
.
III.C.2)
Exemple : si
et
, déterminer tous les
correspondants.
III.C.3)
Si
, décrire tous les
dans
tels que
.
III.C.4)
Enfin, si
, décrire tous les
dans
tels que
. Si
et
, donner une description simple de
à l’aide
notamment de
.
III.D -
Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur
,
pour que la famille
définie par
soit orthonormale dans
. Dans ce cas, exprimer
et
en fonc-
tion de
seulement. En déduire que
.
III.E -
Soit
dans
tels que
. Simplifier l’expression
.
X
Y
IR
4
X
Y
×
0
=
p
p
IR
6
IR
3
Σ
ξ
1
M
ξ
6
=
p
Σ
(
)
ξ
1
M
ξ
3
=
p
Σ
(
)
ξ
4
M
ξ
6
=
Σ
IR
6
X
Y
×
X
Y
IR
4
p
Σ
(
)
p
,
Σ
(
)
0
=
C
(
)
Σ
IR
6
C
(
)
A
p
Σ
(
)
=
B
p
Σ
(
)
=
B
0
C
IR
3
\ 0
{
}
C
B
0
=
X
Y
,
IR
4
X
Y
×
Σ
=
L
X
(
)
C
=
Σ
2
2
4
4
0
2
(
)
t
=
C
0
1
0
=
X
Y
,
B
0
X
Y
,
IR
4
X
Y
×
Σ
=
B
0
=
X
Y
,
IR
4
X
Y
×
Σ
=
Σ
0
B
0
=
,
X
Y
×
Σ
=
Vect
X
Y
,
(
)
A
a
a
ξ
ξ
,
,
,
X
Y
,
(
)
X
a
ξ
=
Y
,
a
ξ′
=
IR
4
a
ξ′
a
′ξ
2
ξ
ξ
2
a
a
,
(
)
X
Y
×
2
1
=
X
Y
Z
T
,
,
,
IR
4
X
T
Y
T
0
=
=
X
Y
×
(
)
Z
T
×
(
)
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2002
5/6
On pourra utiliser la formule suivante, valable pour
vecteurs dans
,
III.F -
En déduire que si
est une base orthonormale de
, alors
est une base orthonormale de
. Déterminer
lors-
que
est la base canonique de
.
Partie IV - Endomorphisme
de
associé à un
endomorphisme
de
et détermination des plans stables
par
Si
est dans
, on admet qu’il existe un unique
dans
tel que
l’on ait
,
On admet également que
pour
et
dans
.
IV.A -
Si
est un endomorphisme orthogonal de
, montrer que
est un
endomorphisme orthogonal de
; on pourra utiliser
III.F.
IV.B -
Si
est un endomorphisme autoadjoint de
, justifier l’existence d’une
base orthonormale directe
formée de vecteurs propres de
associés à des valeurs propres notées
; exprimer alors la matrice
de
dans la base
et en déduire que
est autoadjoint.
On admet que, pour tout endomorphisme
de
, il existe
et
, endomorphis-
mes de
respectivement autoadjoint et orthogonal et tels que
.
IV.C -
Montrer que, pour tout
dans
,
IV.D -
Soit
dans
et
un plan vectoriel stable par
;
montrer que
est un vecteur propre de
.
IV.E -
Exemple : on donne
dans
défini par
IV.E.1)
Déterminer
;
a-t-il des vecteurs propres ?
ξ
ξ
′ ξ′′ ξ′′′
,
,
,
IR
3
ξ
ξ
(
)
ξ′′
ξ
∧ ′′′
(
)
ξ ξ′′
(
)
(
ξ′ ξ′′′
)
ξ ξ′′′
(
)
ξ
′ ξ′′
(
)
=
e
1
e
4
,
,
(
)
IR
4
B
~
e
i
e
j
×
(
)
1
i
j
<
4
=
IR
6
B
~
B
IR
4
u
~
IR
6
u
IR
4
u
u
L
IR
4
(
)
u
~
L
IR
6
(
)
X
Y
(
,
)
IR
4
(
)
2
u
X
Y
×
(
)
~
u
X
(
)
u
×
Y
(
)
=
u
~
v
o
u
~
v
~
,
o
=
u
v
L
IR
4
(
)
u
IR
4
u
~
IR
6
u
IR
4
B
e
1
e
2
e
3
e
4
,
,
,
(
)
=
u
λ
1
λ
2
λ
3
λ
4
,
,
,
(
)
u
~
B
~
u
~
u
IR
4
s
w
IR
4
u
s
w
o
=
u
L
IR
4
(
)
u
*
~
(
u
)
~
*
.
=
u
L
IR
4
(
)
P
Vect
X
Y
,
(
)
=
u
X
Y
×
u
~
u
L
IR
4
(
)
X
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
X
a
u
2
u