Concours Centrale Supélec
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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2007 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Partie I - Calculs préliminaires Dans tout ce problème et désignent deux nombres réels, est strictement positif. I.A - Montrer que la fonction définie sur par admet un prolongement par continuité à . On le note encore . Montrer que est intégrable sur puis que est intégrable sur . I.B - I.B.1) Soit un réel tel que . Montrer que l'on a : . I.B.2) En déduire la convergence de ainsi que l'égalité : . I.C - Si est un segment réel et si est une application de classe de dans montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que admet une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite. I.D - I.D.1) Soit et la fonction définie sur par . Montrer que admet un prolongement par continuité en . En déduire la convergence de . I.D.2) Calculer puis, en calculant , en déduire . a v a ? IR* ? x( ) x( )sin( ) 2 x2 ----------------------= IR ? ? IR+ ? IR b 0 a b< < y( )sin y --------------- d y a b∫ 1 y

  • filière tsi

  • ∞? ?v

  • application de classe

  • ir ir??

  • prolongement par continuité

  • intégrale définissant par le changement

  • ordre des intégrations dans la définition

  • ∞∫

  • concours centrale -supélec


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MATHÉMATIQUES I
MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
Partie I - Calculs préliminaires Dans tout ce problèmeaetvdésignent deux nombres réels,aest strictement positif. * I.A -Montrer que la fonctionϕdéfinie surIRpar 2 (sin(x)) ϕ(x)=-admet un prolongement par continuité àIR. 2 x On le note encoreϕ. + Montrer queϕest intégrable surIRpuis queϕest intégrable surIR. I.B -I.B.1) Soitbun réel tel que0<a<b. Montrer que l’on a : b b b-b b sin(y)1cos(y)1cos(y)1cos(y)2 -dy=-+-dy=-+ϕ(x)dx. ay yaaya-2a y 2 +sin(y) I.B.2) Endéduire la convergence de-dyainsi que l’égalité : 0y ++sin(y) 2-dy=ϕ(x)dx. 0y-1 I.C -Si[α,β] estun segment réel et sih estune application de classeC de β itv [α,β] dansIC montrer,à l’aide d’une intégration par parties, queh(t)edt α admet une limite lorsquevtend vers+et déterminer cette limite. I.D -π I.D.1) SoitnINethla fonction définie sur0,-par n 2 sin((2n+1)t) h(t)=-. n sin(t) Montrer quehadmet un prolongement par continuité en0. n π -2sin((2n+1)t) En déduire la convergence deI=-dt. 0sin(t) n I.D.2) CalculerIpuis, en calculantII, en déduireI. 0n+1n n
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Filière TSI
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π I.D.3) Soithl’application définie sur0,-par 2 1 1 h(t)=--. sin(t)t a) Donnerun développement limité dehd’ordre1en0. π b) Endéduire quehadmet un prolongement continu et dérivable à0,-. 2 On le note encoreh. Préciserh(0)eth(0). 1 π c) Montrerquehest de classeCsur0,-. 2 d) Endéduire que π -2 sin((2n+1)t)h(t)dttend vers0lorsquentend vers+. 0 e) PournINon pose π -2sin((2n+1)t) J=-dt. n 0t Montrer que cette intégrale est convergente puis que la suite(J)converge n nIN π vers-. 2 ++sin(y) En déduire les valeurs de-dyet deϕ(x)dx. 0y-I.E -I.E.1) Onconsidère à nouveau la fonctionϕdéfinie dans la première ques-tion et on pose, pouruIR,ψ (u)=aϕ(a(uv)). v On a ainsi : 2  [sin(a(vu))] pourvu,ψ (u)=-v 2 a(vu) etψ (v)=aϕ(0) v Montrer queψest continue et intégrable surIR. v +I.E.2) Montrerque, lorsquev+,ψ(u)du→ π. v 0 I.F -Montrer que, pour tout nombre réelu, 2a tit(uv)   1-edt=2ψ(u). v   2a2a
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Filière TSI
I.G -(1σ)u I.G.1) Montrerque, pour tout réelσ ≥1,uaψ(u)eintégrable sur est v + IR. ++(1σ)u I.G.2) Montrerqueψ(u)eduvers tendψ(u)du lorsqueσ tend v v 0 0 vers1par valeurs supérieures.
Partie II -Dans cette partie : • ondésigne par(β )une suite de nombres réels positifs tels que : n nIN -s (P) lasérieβnconverge pour tout nombre complexesvérifiant 1n Re(s) >1Re(s)désigne la partie réelle des; • ondésigne parBune fonction continue et croissante de[1,+[dansIRtelle que n * (P)nIN,B(n)=β; 2k k=1 • onpose, pour tout réelx1et tout complexesvérifiantRe(s) >0, B(x)-s   F(x)=-1x. s   x On suppose que (P)Fest intégrable sur[1,+[. 3s +Rs • Ondéfinit ainsi pour tout complexesvérifiante(s) >0,G(s)=F(x)dx. 1 On suppose que +* IR×IRIR+* (P) lafonctionest continue surIR. ×IR 4 (σ,t)aG+it) Dans toute la suite, on considère un nombre réelσstrictement supérieur à1. * II.A -On pose, pour toutnIN, n1 -σ-σ u=B(k)(k(k+1) ). n k=1 II.A.1) Montrerque la suite(u)est croissante. n * nIN
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI II.A.2) OnaB(k)B(k1)=β. Exprimeruen fonction de k n n1 -σ-σ u βket deB(n1)net en déduire que(n)*converge. nkIN k=1 -σ II.A.3) Endéduire la convergence de la suite(B(n)n). * nIN -σ II.A.4) Enutilisant la croissance deBen déduire que la fonctionxaB(x)x admet une limite finie en+. II.B -II.B.1) Transformerl’intégrale définissantGpar le changement de variable u x=e. On pose, pour toutvappartenant à[0,+[, 2a titv   H(a,v)=G(σ+it)1-edt. 2a  2a II.B.2) Montrerque : 2a+u u-1)u   H(a,v)≤ (e B(e)1)edudt. 2a0 En déduire l’existence d’une constanteKtelle que :v]0,+[,H(a,v)4aK. II.B.3) Eninversant l’ordre des intégrations dans la définition deH(a,v)(on admettra que l’inversion est possible), montrer que : +u u(1σ)u H(a,v)=2(e B(e)1)eψ(u)du. v 0 II.C --σu u II.C.1) Montrerque, pour toutσ >1, la fonctionuae B(e)ψ(u)est intégra-v + ble surIR. Indication : on pourra utiliser la question II.A.4. II.C.2) Montrerque, pour toutσ >1, la fonction 0 +-σu u σae B(e)ψ(u)duest continue sur]σ ,+[. v0 0 Elle est donc continue sur]1,+[et on admettra de plus que : +-σu+u-u u lime B(e)ψ(u)du=e B(e)ψ(u)du. ∫ ∫ v v σ →1 00 σ >1
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MATHÉMATIQUES I II.D -Montrer que : 2a2a titvtitv limG(σ+it)(1-)edt=G(1+it)(1-)edt. σ →12a2a2a2a σ >1
Filière TSI
II.E -Montrer que : 2a++titv-u u G(1+it)(1-)edt+2ψ(u)du=2e B(e)ψ(u)du. 2a∫ ∫ v v 2a0 0 II.F -II.F.1) Enadmettant que le résultat de la question I.C reste valable si on sup-pose seulement la continuité de la fonctionh, montrer que : 2a titv limG(1+it)(1-)edt=0. v+2a2a +-u u II.F.2) Endéduire :lime B(e)ψ(u)du=π. v v+ 0 ••• FIN •••
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