Concours Centrale Supélec

Laurent Llabres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Notations On note le segment de et l'espace préhilbertien complexe des fonc- tions continues sur à valeurs complexes muni du produit scalaire : . Pour tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle , on note l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle tel que . Pour et , Questions préliminaires a) Déterminer le développement en série entière au point de la fonction : , et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. b) Pour , on pose . Montrer que la fonction : : , est définie sur . c) Montrer que est une racine carrée de la fonction , autrement dit, pour tout , . d) Montrer que : , . Que vaut lorsque ? On pourra dorénavant noter pour . I 1– 1[ , ] IR E I f g( , ) f g( )a f t( ) g t( ) td I ∫= z ] ∞– 0, ] Arg z( ) ] π– π, [ z z eiArg z( )= n p( , ) IN2? p n≤ Cnp np? ?? ? n!p! n p–( )!--------------------------= = 0 ] ∞– 1[, IR? x 1 1 x– ---------------a n IN? an 1

• ic? z anz


• complexe des fonc- tions continues


• coefficients réels


• unique solution


• rayon de convergence de la série entière


• hn ?cos

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I

Notations On note I le segment [–1,1] de IR et E l’espace préhilbertien complexe des fonc- tions continues sur I à valeurs complexes muni du produit scalaire : (f,g)a(f g)=f(t)g(t)dt . ∫ I Pour tout nombre complexe z n’appartenant pas à l’intervalle ]–∞,0] , on note Arg(z)  l’uniquenombre réel appartenant à l’intervalle ]–π, π[ que tel iArg(z) z=z e . p 2 n n!   Pour (n,p)∈IN et p≤n , C= = - n  p  p!(n–p)! Questions préliminaires a) Déterminerle développement en série entière au point 0 de la fonction : 1 ]–∞,1[→IR , xa - 1 –x et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. b) Pour n∈IN , on pose 2n 1   a= - . n 2n   n 2 Montrer que la fonction : ∞ n ϕ : IC→IC , zaa z est définie sur Δ={z∈ICz<1} . ∑ n n= 0 c) Montrerque ϕ est une racine carrée de la fonction 1 2 1 Δ →IC , za - autrement dit, pour tout z∈ Δ , (ϕ(z))= - . 1 –z 1 –z d) Montrerque : i – - Arg(1 –z) 1 2 ∀z∈ Δ , ϕ(z)= - e . Que vaut ϕ(x) lorsque x∈]–1,1[ ? 1 –z On pourra dorénavant noter –1∕2 ϕ(z)=(1 –z) pour z∈ Δ .

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MATHÉMATIQUES I

Filière PC

Filière PC

e)Cette question est indépendante des précédentes. Pour tout entier naturel n , prouver l’existence d’une fonction polynomiale H n telle que, pour tout réel θ , on a H(cosθ)= cosnθ . n Partie I - I.A -Montrer que, pour tout t∈I , la fonction –1∕2 2 ψ : ]–1,1[→IR , xaf(t,x) définie par : ψ (x)=(1 – 2xt+x) t t est l’unique solution sur ]–1,1[ d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients polynomiaux prenant la valeur 1  en 0 . On donnera cette équation différentielle : (E) : a(t,x)y′+b(t,x)y= 0 où a et b sont des polynômes unitaires en x . I.B - I.B.1) Vérifierque pour x∈]-1,1[ et θ ∈IR on a ∞ iθ–iθn Ψ (x)=ϕ(xe)ϕ(xe) , puis Ψ (x)=G(θ)x cosθcosθ ∑ n n= 0 oùGune combinaison linéaire à coefficients positifs d’applications de la est n ikθ forme θae où k∈ZZ . Préciser la valeur deG(0). n I.B.2) Montrerque pour n∈IN et θ ∈IR , on aG(θ)=P(cosθ)où P est n n n un polynôme à coefficients réels. I.B.3) Montrerque pour n∈IN et θ ∈IR , on aG(θ) ≤G(0), puis que pour n n ∞ n t∈ [–1,1] et x∈]-1,1[ , f(t,x)=P(t)x (1) ∑ n n= 0 avec convergence normale sur [–1,1] × [–a,a] où a∈]0,1[ . I.B.4) Montrerque la suite (P) vérifie P(t)= 1 , P(t)=t et pour n0 1 n≥0 n≥1 , (2n+ 1)t P(t)=(n+ 1)P(t)+n P(t) (2) n n+ 1n– 1 I.B.5) Déterminerpour tout n∈IN le degré et la parité de P . Déterminerle n coefficient dominant de P , ainsi que P(1) et P(–1) . n nn

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MATHÉMATIQUES IFilière PC I.C - I.C.1) Soit a et b deux éléments distincts de ]1,+∞[ . Calculer et simplifier la dérivée de la fonction définie sur [–1,1] par : (a–t)+(b–t) h : taln - –(a–t)(b–t) 2 après avoir vérifié qu’elle est bien définie. En déduire la valeur de l’intégrale : 1 dt - pour tout couple (a,b) d’éléments de ]1,+∞[ . (a–t)(b–t) –1 I.C.2) Montrerque : 1 1 1+xy f(t,x)f(t,y)dt= - ln - pour tout couple (x,y) d’éléments de –1 xy1 –xy ]0,1[ . On admettra sans démonstration l’identité suivante : 2 2xy(1 –x)(1 –y)–(x+y)(1 +xy)+ 4xy=(1 +xy) (2xy–(x+y)) I.C.3) a) Pourtout couple (x,y) d’éléments de ]0,1[ établir que : ∞ 1 1+xy2 n n - ln - = - x y . ∑ 2n+ 1 xy1 –xy n= 0 b) Onfixe y dans l’intervalle ]0,1[ . Montrer que, pour tout couple (t,x) appar- tenant à I×]0,1[ : ∞ n f(t,x)f(t,y)=P(t)f(t,y)x ∑ n n= 0 la série convergeant normalement sur tout l’ensemble de la forme I×]0,a] avec a∈]0,1[ . Conclure que : 1 2 n P(t)f(t,y)dt= - y . n –1 2n+ 1 ∞ m c) Enécrivant que, pour tout (t,y)∈I×]0,1[ , f(t,y)=P(t)y , prouver ∑ m que, pour tout n∈IN : m= 0 ∞ 1 m 2 n   P(t)P(t)dt y= - y . ∑ n m  ∫ –1  2n+ 1 m= 0 d) Conclureque 1 2 P(t)P(t)dt= - δ n mn,m –1 2n+ 1 Concours Centrale-Supélec 20063/6

MATHÉMATIQUES IFilière PC où δ le symbole de Kronecker: est δ= 1  si m=n  et δ= 0  sinon. n,m n,m n,m Interpréter le résultat obtenu. I.D -Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et z un zéro de P (a prioridans n P(t) n IC ). On note R la fonction polynôme telle que, pour t≠z , R(t)= - . n n t–z I.D.1) Calculer (R P) . n n I.D.2) Endéduire que z est réel et que z<1 . I.D.3) Montrerque z est une racine simple de P . n I.E - I.E.1) Enutilisant (2), établir que, pour tout entier naturel n et tout couple (x,y) de nombres complexes distincts : n [P(x)P(y)–P(x)P(y)] n+ 1nn n+ 1 (2k+ 1)P(x)P(y)=(n+ 1) - . (3) ∑ x–y k k k= 0 I.E.2) Endéduire que, pour tout x∈IC : n 2 (2k+ 1)(P(x))=(n+ 1)[P′ (x)P(x)–P′ (x)P(x)] (4) ∑ n+ 1n k nn+ 1 k= 0 I.E.3) Déduirede cette dernière formule que tout zéro de P est strictement n compris entre deux zéros consécutifs de P . n+ 1 2 C I.F -Pour toute fonction f surde classe I , on note Af la fonction de I dans IC définie par : d 2 Af(t)= - [(1 –t)f′(t)] dt 2 C Prouver que, pour tout couple (f,g)  defonctions de classesur I , (Af g)=(f Ag) . En déduire que, pour tout n≥1 et tout entier k , 0≤k≤n– 1 , (PP A)= 0 . k n En déduire que P est solution de l’équation différentielle : n 2 (1 –t)y″– 2ty′+n(n+ 1)y= 0 . (5) Partie II - II.A - II.A.1) Onassocie à n∈IN et à f∈E le coefficient c(f)=(P f) . n n Montrer que la série de terme général 1 2   n+ - c(f) est convergente. n   2

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MATHÉMATIQUES IFilière PC 2 C II.A.2) Montrer,à l’aide de I.F - que si f∈E est de classesur I , alors la 5 2 série n c(f) est convergente. ∑ n En déduire que la série n c(f) est convergente. ∑ n II.B - n II.B.1) Pourtout n∈IN , on définit f dans E par f : tat . n n Montrer que si f∈E est telle que, pour tout n∈IN , (f f)= 0 alors f est nulle. n 2 II.B.2) Supposant f∈E de classe C sur I , montrer que l’expression : ∞ 1   g(t)=f(t)–n+ - c(f)P(t) définit sur I une fonction continue g . ∑   n n 2 n= 0 II.B.3) Montrerque g est nulle. II.B.4) Déduirede ce qui précède une condition suffisante pour que la série de fonctions 1   n+ - c(f)P converge normalement sur I et ait pour somme f . ∑  2  n n P(t)–P(x) n n II.C -Pour tout n∈IN et tout x∈IR , vérifier que la fonction ta - est t–x intégrable sur le segment I . Établir que, pour tout n∈IN , la fonction xaQ(x) définie par : n 1 P(t)–P(x) n n Q(x)=dt ∫ n - –1 t–x est une fonction polynôme de degré (n– 1) et que la suite (Q) vérifie les n n∈IN conditions initiales Q= 0 , Q= 2 la même relation de récurrence que la et 0 1 suite (P) à partir du rang n= 1 . n n∈IN ∗ II.D -Soit n∈IN  fixé.On note a, …,a zéros de les P dans l’ordre écrits 1n n croissant,i.e. –1<a< … <a<1 . 1n B 1n II.D.1) Montrerque  =(L, …,L) où n X–a j L(X)=- est une base de R[X] . ∏ a–a i n– 1 i j j= 1 j≠i II.D.2) Soit C =…, ϕ(ϕ ,) où ϕ : R[X] →IR , aP P i . Montrer que C a( ) 1n in– 1 est une base de l’espace vectoriel des formes linéaires sur R[X] . n– 1

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MATHÉMATIQUES IFilière PC II.D.3) Endéduire qu’il existe une suite )…, λ(λ , nombres réels et une de 1n seule telle que : n 1 ∀P∈R[X] , P(t)dt=λP(a) . ∑ n– 1i i –1 i= 1 II.D.4) Montrer,en utilisant éventuellement une division euclidienne par P : n n 1 ∀P∈R[X] , P(t)dt=λP(a) . (6) ∑ 2n– 1i i –1 i= 1 n * II.D.5) Montrerque les λ IRsont éléments de + et que λ= 2 ∑ i i i= 1 II.E - II.E.1) Montrerque siQest le polynôme défini en II.C alors, avec les nota- n tions de II.D, on a : n λ i Q(x)=P(x)- . n ∑ n x–a i i= 1 On pourra commencer par examiner le cas où x>1 . II.E.2) Endéduire que les (n– 1) zéros de Q sont situés strictement entre les n zéros de P . n II.F - II.F.1) Montrer,pour x>1 , que : n 2n 2n Q(x ) λa 1 n x+ 1 i i 1t    - – ln - = -- – -- dt .   ∑   2n ∫ –1 x–t P(x) x– 1x–a x x n i i= 1 II.F.2) Endéduire que, pour tout α >0 , la suite de fonctions Q n   -   P n n∈IN approche uniformément la fonction x+ 1   xaln - sur l’intervalle [1 +α,+∞[ .   x– 1

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