Concours Centrale Supélec
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Concours Centrale Supélec

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Notations On note le segment de et l'espace préhilbertien complexe des fonc- tions continues sur à valeurs complexes muni du produit scalaire : . Pour tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle , on note l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle tel que . Pour et , Questions préliminaires a) Déterminer le développement en série entière au point de la fonction : , et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. b) Pour , on pose . Montrer que la fonction : : , est définie sur . c) Montrer que est une racine carrée de la fonction , autrement dit, pour tout , . d) Montrer que : , . Que vaut lorsque ? On pourra dorénavant noter pour . I 1– 1[ , ] IR E I f g( , ) f g( )a f t( ) g t( ) td I ∫= z ] ∞– 0, ] Arg z( ) ] π– π, [ z z eiArg z( )= n p( , ) IN2? p n≤ Cnp np? ?? ? n!p! n p–( )!--------------------------= = 0 ] ∞– 1[, IR? x 1 1 x– ---------------a n IN? an 1

  • ic? z anz

  • complexe des fonc- tions continues

  • coefficients réels

  • unique solution

  • rayon de convergence de la série entière

  • hn ?cos


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Langue Français
MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHÉMATIQUES I
Notations On noteIle segment[–1,1]deIRetEl’espace préhilbertien complexe des fonc-tions continues surIà valeurs complexes muni du produit scalaire : (f,g)a(f g)=f(t)g(t)dt. I Pour tout nombre complexezn’appartenant pas à l’intervalle]–∞,0], on note Arg(z) l’uniquenombre réel appartenant à l’intervalle]–π, π[que tel iArg(z) z=z e. p 2n n!   Pour(n,p)INetpn,C= =-n pp!(np)! Questions préliminaires a) Déterminerle développement en série entière au point0de la fonction : 1 ]–∞,1[IR ,xa-1 –x et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. b) PournIN, on pose 2n 1   a=-. n 2n  n 2 Montrer que la fonction : n ϕ:ICIC,zaa zest définie surΔ={zICz<1}. n n= 0 c) Montrerqueϕest une racine carrée de la fonction 121 Δ →IC,za-autrement dit, pour toutz∈ Δ,(ϕ(z))=-. 1 –z1 –z d) Montrerque : i -Arg(1 –z) 12 z∈ Δ,ϕ(z)=-e. Que vautϕ(x)lorsquex]–1,1[? 1 –z On pourra dorénavant noter –12 ϕ(z)=(1 –z)pourz∈ Δ.
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MATHÉMATIQUES I
Filière PC
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e)Cette question est indépendante des précédentes. Pour tout entier natureln, prouver l’existence d’une fonction polynomialeH n telle que, pour tout réelθ, on aH(cosθ)= cosnθ. n Partie I -I.A -Montrer que, pour touttI, la fonction –12 2 ψ:]–1,1[IR,xaf(t,x)définie par :ψ (x)=(1 – 2xt+x)t t est l’unique solution sur]–1,1[d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients polynomiaux prenant la valeur1 en0. On donnera cette équation différentielle : (E) :a(t,x)y+b(t,x)y= 0aetbsont des polynômes unitaires enx. I.B -I.B.1) Vérifierque pourx]-1,1[etθ ∈IRon a iθiθn Ψ (x)=ϕ(xe)ϕ(xe), puisΨ (x)=G(θ)x cosθcosθn n= 0 Gune combinaison linéaire à coefficients positifs d’applications de la est n ikθ formeθaekZZ. Préciser la valeur deG(0). n I.B.2) Montrerque pournINetθ ∈IR, on aG(θ)=P(cosθ)Pest n nn un polynôme à coefficients réels. I.B.3) Montrerque pournINetθ ∈IR, on aG(θ) ≤G(0), puis que pour n n n t∈ [–1,1]etx]-1,1[,f(t,x)=P(t)x(1) n n= 0 avec convergence normale sur[–1,1] × [a,a]a]0,1[. I.B.4) Montrerque la suite(P)vérifieP(t)= 1,P(t)=tet pour n0 1 n0 n1,(2n+ 1)t P(t)=(n+ 1)P(t)+n P(t)(2) n n+ 1n– 1 I.B.5) Déterminerpour toutnINle degré et la parité deP. Déterminerle n coefficient dominant deP, ainsi queP(1)etP(–1). n nn
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MATHÉMATIQUES IFilière PC I.C -I.C.1) Soitaetbdeux éléments distincts de]1,+[. Calculer et simplifier la dérivée de la fonction définie sur[–1,1]par : (at)+(bt) h:taln-(at)(bt) 2 après avoir vérifié qu’elle est bien définie. En déduire la valeur de l’intégrale : 1 dt -pour tout couple(a,b)d’éléments de]1,+[. (at)(bt) –1 I.C.2) Montrerque : 1 1 1+xy f(t,x)f(t,y)dt=-ln-pour tout couple(x,y)d’éléments de –1 xy1 –xy ]0,1[. On admettra sans démonstration l’identité suivante : 2 2xy(1 –x)(1 –y)(x+y)(1 +xy)+ 4xy=(1 +xy) (2xy(x+y)) I.C.3) a) Pourtout couple(x,y)d’éléments de]0,1[établir que : 1 1+xy2n n -ln-=-x y. 2n+ 1 xy1 –xy n= 0 b) Onfixeydans l’intervalle]0,1[. Montrer que, pour tout couple(t,x)appar-tenant àI×]0,1[: n f(t,x)f(t,y)=P(t)f(t,y)xn n= 0 la série convergeant normalement sur tout l’ensemble de la formeI×]0,a]avec a]0,1[. Conclure que : 1 2n P(t)f(t,y)dt=-y. n –12n+ 1 m c) Enécrivant que, pour tout(t,y)I×]0,1[,f(t,y)=P(t)y, prouver m que, pour toutnIN:m= 0 1 m2n   P(t)P(t)dt y=-y. n m –12n+ 1 m= 0 d) Conclureque 1 2 P(t)P(t)dt=-δ n mn,m –12n+ 1 Concours Centrale-Supélec 20063/6
MATHÉMATIQUES IFilière PC δle symbole de Kronecker: estδ= 1 sim=n etδ= 0 sinon. n,m n,m n,m Interpréter le résultat obtenu. I.D -Soitnun entier supérieur ou égal à1etzun zéro deP(a prioridans n P(t) n IC). On noteRla fonction polynôme telle que, pourtz,R(t)=-. n n tz I.D.1) Calculer(R P). n n I.D.2) Endéduire quezest réel et quez<1. I.D.3) Montrerquezest une racine simple deP. n I.E -I.E.1) Enutilisant (2), établir que, pour tout entier naturelnet tout couple (x,y)de nombres complexes distincts : n [P(x)P(y)P(x)P(y)] n+ 1nn n+ 1 (2k+ 1)P(x)P(y)=(n+ 1)-. (3) xy k k k= 0 I.E.2) Endéduire que, pour toutxIC: n 2 (2k+ 1)(P(x))=(n+ 1)[P′ (x)P(x)P′ (x)P(x)](4) n+ 1n k nn+ 1 k= 0 I.E.3) Déduirede cette dernière formule que tout zéro dePest strictement n compris entre deux zéros consécutifs deP. n+ 1 2 C I.F -Pour toute fonctionfsurde classeI, on noteAfla fonction deIdans ICdéfinie par : d2 Af(t)=-[(1 –t)f′(t)] dt 2 C Prouver que, pour tout couple(f,g) defonctions de classesurI, (Af g)=(f Ag). En déduire que, pour toutn1et tout entierk,0kn– 1,(PP A)= 0. k n En déduire quePest solution de l’équation différentielle : n 2 (1 –t)y– 2ty+n(n+ 1)y= 0. (5) Partie II -II.A -II.A.1) Onassocie ànINet àfEle coefficientc(f)=(P f). n n Montrer que la série de terme général 12   n+-c(f)est convergente. n   2
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MATHÉMATIQUES IFilière PC 2 C II.A.2) Montrer,à l’aide de I.F - que sifEest de classesurI, alors la 5 2 sérien c(f)est convergente. n En déduire que la sérien c(f)est convergente. n II.B -n II.B.1) PourtoutnIN, on définitfdansEparf:tat. n n Montrer que sifEest telle que, pour toutnIN,(f f)= 0alorsfest nulle. n 2 II.B.2) SupposantfEde classeCsurI, montrer que l’expression : 1   g(t)=f(t)n+-c(f)P(t)définit surIune fonction continueg.   n n 2 n= 0 II.B.3) Montrerquegest nulle. II.B.4) Déduirede ce qui précède une condition suffisante pour que la série de fonctions 1   n+-c(f)Pconverge normalement surIet ait pour sommef. 2n n P(t)P(x) n n II.C -Pour toutnINet toutxIR, vérifier que la fonctionta-est tx intégrable sur le segmentI. Établir que, pour toutnIN, la fonctionxaQ(x)définie par : n 1 P(t)P(x) n n Q(x)=dtn-–1 tx est une fonction polynôme de degré(n– 1)et que la suite(Q)vérifie les n nIN conditions initialesQ= 0,Q= 2la même relation de récurrence que la et 0 1 suite(P)à partir du rangn= 1. n nIN II.D -SoitnIN fixé.On notea, …,azéros de lesPdans l’ordre écrits 1n n croissant,i.e.–1<a< … <a<1. 1n B1n II.D.1) Montrerque =(L, …,L)n Xa j L(X)=-est une base deR[X]. aa i n– 1 i j j= 1 ji II.D.2) SoitC=…, ϕ(ϕ ,)ϕ:R[X] →IR,aP Pi. Montrer queC a( ) 1n in– 1 est une base de l’espace vectoriel des formes linéaires surR[X]. n– 1
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MATHÉMATIQUES IFilière PC II.D.3) Endéduire qu’il existe une suite)…, λ(λ ,nombres réels et une de 1n seule telle que : n 1 PR[X],P(t)dt=λP(a). n– 1i i –1 i= 1 II.D.4) Montrer,en utilisant éventuellement une division euclidienne parP: n n 1 PR[X],P(t)dt=λP(a). (6) 2n– 1i i –1 i= 1 n * II.D.5) Montrerque lesλIRsont éléments de+et queλ= 2 i i i= 1 II.E -II.E.1) Montrerque siQest le polynôme défini en II.C alors, avec les nota-n tions de II.D, on a : n λ i Q(x)=P(x)-. nn xa i i= 1 On pourra commencer par examiner le cas oùx>1. II.E.2) Endéduire que les(n– 1)zéros deQsont situés strictement entre les n zéros deP. n II.F -II.F.1) Montrer,pourx>1, que : n 2n2n Q(x) λa1 nx+ 1i i1t    -– ln-=----dt.   2n–1xt P(x)x– 1xa x x n i i= 1 II.F.2) Endéduire que, pour toutα >0, la suite de fonctions Q n   -  P n nIN approche uniformément la fonction x+ 1   xaln-sur l’intervalle[1 +α,+[.   x– 1
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