Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP Dans tout le problème désigne un intervalle non majoré de . Le but du problème est l'étude des solutions de l'équation différentielle : où est une application continue définie sur et à valeurs réelles ou complexes. On verra que l'espace des solutions contient une solution ayant un compor- tement particulier en . Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place l'appli- cation dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent diverses propriétés de la fonction et sont largement indépendantes. Les symboles et désignent respectivement les corps des nombres réels et des nombres complexes. Partie I - Étude d'un premier exemple I.A - Pour , montrer l'existence et donner la valeur des expressions suivantes : I.B - On considère l'équation différentielle , Déterminer une fonction bornée et une fonction telles que la solution géné- rale sur de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme , où Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l'équation différen- tielle . I.C - Soit le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans l'espace vectoriel des fonctions de dans , c'est-à-dire l'ensemble des fonc- tions de la forme I IR Ef y? y f x( ) 0=+– f I f 1 +∞ ?: f f 1a f IR IC x IR? ex e t– t cos t

• c0 y0


• ym ym


• coefficients complexes de degré inférieur


• y? ?


• unique solution bornée


• ir ic


• equation différentielle

Sujets

• Équation différentielle

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Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHƒMATIQUES I

Dans tout le problème I désigne un intervalle non majoré de IR . Le but du problème est l’étude des solutions de l’équation différentielle E : y′–y+f(x)= 0 f où f est une application continue définie sur I à valeurs réelles ou complexes. et On verra que l’espace des solutions contient une solution f ayant un compor- 1 tement particulier en +∞ . Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place l’appli- cation Φ:faf dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent diverses 1 propriétés de la fonction f et sont largement indépendantes. Les symboles IR et IC désignent respectivement les corps des nombres réels et des nombres complexes.

Partie I - Étude d’un premier exemple I.A -Pour x∈IR , montrer l’existence et donner la valeur des expressions suivantes : +∞+∞ x–t x–t e ecostdt,e esintdt ∫ x ∫ x I.B -On considère l’équation différentielle y′–y+ cosx= 0 , x∈IR Déterminer une fonction Y bornée et une fonction g que la solution géné- telles 0 rale sur IR de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme Y(x)=λg(x)+Y(x) , où λ ∈IR λ0 Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l’équation différen- tielle . y′–y+ sinx= 0 I.C -Soit Π le plan vectoriel engendré par les fonctionscosinusetsinusdans l’espace vectoriel des fonctions de IR dans IR , c’est-à-dire l’ensemble des fonc- tions de la forme xaαcosx+βsinx

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MATHÉMATIQUES I

FiliËre MP

Filière MP

où α et β sont des nombres réels. Pour tout f∈ Π , on définit f par la formule 1 +∞ x–t ∀x∈IR , f(x)=fe e(t)dt ∫ 1 x I.C.1) Montrerque la transformation fa dé f finit une application 1 Φ : Π → Π . La linéarité deé Φ tant considérée comme évidente, donner la matrice de Φ dans la base de Π constituée des fonctionscosinusetsinus. I.C.2) Onmunit Π de la norme f= supf(x) ∞ x∈IR Déterminer une constante k>0 telle que, pour tout f∈ Π , on ait f≤k f 1∞ ∞ Pour f∈ Π , on définit par récurrence la suite (f) où f=Φ(f e ) t pour n1 ∗ n∈IN * tout , n∈IN . f=Φ(f) n+ 1n Étudier l’existence de la limite de cette suite relativement à la norme définie sur Π et déterminer la valeur de cette limite.

Partie II - Étude d’un deuxième exemple On donne, pour x>0 , l’équation différentielle 1 y′–y+ - = 0 . x II.A -Montrer qu’il existe sur l’intervalle ]0+∞[ une unique solution Y bornée 0 quand x tend vers l’infini et exprimer Y(x) sous forme d’une intégrale. 0 Quelle expression donner à la solution générale Y , où λ ∈IR , l’indexation étant λ telle que pour λ= 0 , on ait la solution bornée Y ? Étudier le comportement de 0 Y(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives. λ te C λ la courbe représentative de la solution λ . On no Y II.B -Pour tout point m(x,y) du demi-plan x>0 , on note Y la solution de m mm m mm C l’équation vérifiant Y(x)=y et m sa courbe représentative.

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MATHÉMATIQUES IFilière MP H m m II.B.1) Déterminerl’ensembledes points m tels que Y′ (x)= 0 . Même question pour l’ensemble I quedes tels m ( m ) . Donner sans démons- m Y″x= 0 tration une interprétation géométrique pour chacun des ensembles H et I . II.B.2) Quelleest la place de la courbe C 0 représentative de la solution Y 0 par rapport aux courbes H et I ? –t +∞ x e (on pourra faire des intégrations par parties sur Y(x)=e - dt ). ∫ 0 x t II.B.3) Tracersans explication sur un même dessin des ébauches des courbes HIC 0 C λ 1 C λ 2 2 1 égatif , ,, , ,où λ et λ sont des réels respectivement n et positif.

Partie III - La transformation Φ On suppose maintenant que I est un intervalle ouvert de la forme ]a, +∞[ , a pouvant être égal à –∞ . 0 Dans le C -espace vectoriel C (I,IC) des fonctions continues surà I valeurs I complexes, on considère le sous-ensemble  f(x )  ε  α  =f∃α ∈IR,lim - = 0 x→ +∞  x  ε Autrement dit,est l’ensemble des fonctions f en négligeables +∞ devant une α certaine fonction puissance xax ( α dépendant de f ). 0 III.A -Montrer que ε est un sous-espace vectoriel de C (I,IC) ε Étant donné f∈ et x∈I , on considère l’équation différentielle E : y′–y+f(x)= 0 f f1 ε III.B -Montrer que E admet une unique solution f∈ définie par la formule +∞ x–t ∀x∈IR , . f(x)=fe e(t)dt ∫ x 1 ε ε 1 On définit l’application Φ:→ par Φ(f)=f ; elle est évidemment linéaire. n ε III.C -Soit Φ la composée n fois de Φ avec elle-même. Pour f∈ , on pose n0 f=Φ (f)  (avec f=f=φ (f) ). Montrer que les conditions suivantes sont n0 équivalentes : (i) la suite (f) converge uniformément sur tout compact de I , n (ii) la suite (f) converge uniformément vers une constante sur tout compact de n I , ′ (iii) la série f converge uniformément sur tout compact de I . ∑ n Concours Centrale-Supélec 20033/6

MATHÉMATIQUES IFilière MP III.D -Montrer que n n +∞+∞ *x (t–x) –t u –u ∀x∈I,∀n∈IN,f n+ 1 (x)=e - f(t)e dt= - f(x+u)e du ∫ x n! ∫ 0 n! n (on pourra raisonner par récurrence en écrivant f=Φ (f) et intégrer par n+ 11 parties). III.E -L’application linéaire : ε ε , 1 Φ →faf est-elle injective? Montrer que l’image de Φ est l’ensemble des applications 1 C telles que εε g∈ (I,IC)g∈ et g′ ∈ .

Partie IV - Fonctions bornées B Soitl’espace des fonctions continues bornées sur IR à valeurs complexes. B un sous espace vectoriel de étant ε (défini au III), l’applicationest Φ définie sur B . B IV.A -Montrer que pour tout f∈ , l’équation différentielle E a une unique solution bornée f . 1 B IV.B -On munitde la norme f= sup{f(t) ,t∈IR} ∞ L’application Φ est-elle continue pour cette norme ? L 0 B IV.C -Soit(resp.) le sous-espace dedes fonctions ayant une limite K (resp. une limite nulle) en + , ∞ le sous-espace des fonctions constantes. Montrer que L 0 et K sont des sous-espaces supplémentaires de. Montrer que ces sous-espaces sont stables par Φ . L n IV.D -Montrer, à l’aide du III.D, que pour tout f∈ ,la suite (f) converge uniformément sur tout intervalle [a,+∞[ vers une constante que l’on précisera (couper l’intervalle d’intégration en exprimant que f a une limite en +∞ ). 1 B IV.E -Montrer que l’application linéaire Φ : faf est une injection de dans 1 le sous-espace des fonctions bornées de classe C sur IR . 2 L’application xasin(x) est-elle dans l’image de Φ ? Préciser l’image de Φ .

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MATHÉMATIQUES IFilière MP Partie V - Fonctions périodiques P Soitl’espace des fonctions continues 2π -périodiques. P f V.A -Montrer que pour tout f∈ , l’équation différentielle E a une unique solution périodique f . 1 Cette fonction f est-elle somme de sa série de Fourier ? 1 V.B -Quel lien a-t-on entre les coefficients de Fourier complexes c(f) et c(f) ? k k1 P 0 P V.C -Soitle sous-espace des f∈ dont la valeur moyenne 2π 1 c(f)= - f(t)dt 2π ∫ 0 0 K P 0 K est nulle etle sous-espace des fonctions constantes. Montrer que et P sont des sous-espaces supplémentaires de. P n Montrer que pour tout f∈ , la suite (f) converge uniformément sur IR vers une constante que l’on précisera. 1 P V.D -Montrer que l’application linéaire Φ : faf est une bijection de surle 1 P 1 sous-espacedes fonctions 2π -périodiques de classe C . P P 1 1 2 V.E -On considère suretles normes N et N suivantes : 2π2π 2 N(f)=f(t)dt , N(f)=f(t)dt ∫ 0 ∫ 0 1 2 –1 Les applications Φ et Φ sont-elles continues pour la norme N ? Même ques- 1 tion pour la norme N . 2

Partie VI - Fonctions polynomiales Soit d un entier naturel et FP d le C -espace vectoriel de dimension d+ 1 des I fonctions polynomiales de IR dans IC à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à d . VI.A -Soit une famille ξ=(ξ , … ), ξ de d+ 1 nombres réels distincts. Pour tout 0d f∈ FP d , on pose N(f)= supf(ξ ) ξi 0≤i≤d Montrer que c’est une norme sur FP d .

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MATHÉMATIQUES IFilière MP VI.B -Soit une suite de fonctions polynomiales de FP d d d– 1 xaf(x)=a x+a x+…+a n d,n d– 1,n0,n Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) la suite (f) converge simplement sur IC , n (ii) la suite (f) converge uniformément sur tout compact de IC , n (iii) il existe d+ 1 nombres réels distincts ξ ,…, ξ tels que, pour tout indice 0d 0≤i≤d , la suite (f(ξ )) converge. n i (iv) chacune des d+ 1 suites numériques (a) , pour 0≤i≤d ,converge. i,n n∈IN FP f VI.C -Pour tout d , montrer que l’équation différentiellea une uni- f∈E 1 FP d que solution f=Φ(f) dans. On note encore Φ:faf ; Φ est considéré ici comme un endomorphisme de 1 FP d . VI.D -Pour f fonction polynomiale de degré d , on forme la suite de fonctions n polynomiales (f) où f=Φ (f) . Cette suite vérifie-t-elle les conditions équiva- n n lentes de VI.B ?

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