Concours Centrale Supélec
6 pages
Français

Concours Centrale Supélec

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Notations, définitions et rappels Si , soit l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à . Pour dans , soit le polynôme . L'application ainsi définie est clairement un endomorphisme de . De plus, si , est stable par et on note l'endomorphisme de induit par . Soit la suite des polynômes de Hilbert, définie par : et , . Si , soient : , et On convient d'autre part que . Pour dans , soit l'espace vectoriel des fonctions de dans de la forme : , où la série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal à . L'espace est appelé espace des fonctions entières. On pourra utiliser la formule de Stirling : . Objectif du problème, dépendance des parties La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes de tels que . La partie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d'établir quelques proprié- tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der- nière question de I. n IN? ICn X[ ] n P IC X[ ] T P( ) P X 1+( ) T IC X[ ] n IN? ICn X[ ] T Tn ICn X[ ] T Hi(

  • ic z

  • espace des polynômes complexes de degré inférieur

  • série entière

  • polynôme

  • rayon de convergence supérieur


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 27
Langue Français
MATHÉMATIQUES IFilière PSI MATHƒMATIQUES I
Notations, définitions et rappels
SinIN, soitIC[X]l’espace des polynômes complexes de degré inférieur ou n égal àn. PourPdansIC[X], soitT(P)le polynômeP(X+ 1.)L’applicationT ainsi définie est clairement un endomorphisme deIC[.X]De plus, sin,IN IC[X]est stable parTet on noteTl’endomorphisme deIC[X]induit parT. n nn Soit(H)la suite des polynômes de Hilbert, définie par : i iIN i– 1 1 H= 1etiIN,H=-(Xk). i!0i k= 0 * SiRIR, soient : + D={zIC,z<R},D={zIC,zR}etC={zIC,z=R} R RR * On convient d’autre part queD=IC. PourRdansIR∪ {∞}, soitEl’espace +R vectoriel des fonctions deDdansICde la forme : R ++n n zaa z, où la série entièrea z ∑ ∑ n n n= 0n= 0 a un rayon de convergence supérieur ou égal àR. L’espaceEest appeléespace des fonctions entières. On pourra utiliser la formule de Stirling : n n   sin+,n!2πn-.   e
Objectif du problème, dépendance des parties
La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômesdPeIC[teXl]s queP(I.NL)apZZartie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d’établir quelques proprié-tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der-nière question de I.
Concours Centrale-Supélec 2003
1/6
MATHÉMATIQUES I FiliËre PSI
Filière PSI
Partie I - Polynômes de Hilbert Soitdanns .IN I.A - Inversion d’une matrice n I.A.1) Écrirela matriceMdeTdans la base(1,X, …,X)deIC[X]. n nn –1 I.A.2) VérifierqueMest inversible ; expliciterM. n n I.B - Propriétés de la suite(H) i iIN I.B.1) Montrerque(H)est une base deIC[X]. i n 0in I.B.2) SijZZetiIN, donner une expression simple deH(j)montrant i queH(j)est dansZZ. On distinguera les trois cas :j<0, 0ji– 1etji. i I.C - Polynômes deIC[X]tels queP(IN) ⊂ZZSoitPdansIC[X]. On décomposePsur(H)en : n i 0in n P=a H. i i i= 0 I.C.1) Vérifierl’égalité suivante :    a P(0)0    t  =M.  MnM    P(n)a  nt Mest la transposée de la matriceM. n n I.C.2) Établir: i ij j i∈ {0, …,n}, .a=(–1)CP(j) ii j= 0 i ij j Siin+ 1, que vaut(–1)CP(j)? i j= 0
Concours Centrale-Supélec 2003
2/6
MATHÉMATIQUES IFilière PSI I.C.3) Montrerque les trois conditions suivantes sont équivalentes : a)i∈ {0, …,n}, ,P(i) ∈ZZ b)i∈ {0, …,n}, ,aZZ i c)P(ZZ) ⊂ZZ. En particulier les polynômesPdeIC[X]tels queP(IN) ⊂ZZsont les combinai-sons linéaires à coefficients dansZZdes polynômes de Hilbert. I.D - Description des suites de la forme(P(j))Pun polynôm este. jIN Soit(u)une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes j jIN sont équivalentes : a) ilexistePIC[X]tel que :jIN,u=P(j), n j b) i ij j iIN, .in+ 1⇒ (–1)Cu= 0 i j j= 0
Partie II - Quelques propriétés des séries entières * Dans toute cette partie, on fixe :RdansIR∪ {+∞},fdansE,ωdansDet +R R rdans]ω ,R[. PourzdansDon écrit donc : R ++n n f(z)=a z, où la série entièrea z∑ ∑ n n n= 0n= 0 a un rayon de convergence supérieur ou égal àR. (k) * PourkINon notefla fonction définie pourzDpar : R +(k)nk f(z)=n(n–1)…(nk+ 1)a z n n=k (on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série entière initiale). II.A - Représentation intégrale def(ω)à partir des valeurs defsurC r II.A.1) SipIN, prouver : π itipt p f(re)e dt= 2πa r. π p II.A.2) Montrer: it π reitdt f(ω)=-f(re)-. π2π it reω
Concours Centrale-Supélec 2003
3/6
MATHÉMATIQUES IFilière PSI Indication :on pourra partir de : +it p reω   -=-. ititreωre p= 0 II.B - Principe du maximum II.B.1) Justifierla définition deM(r)= Max{f(z) ,zC}. f r r II.B.2) Montrer:f(ω) ≤-M(r). f rω II.B.3) Montrer:f(ω) ≤M(r). f Indication : sipIN, on pourra appliquer, avec justification, le résultat de p II.B.2 àfpuis faire tendrepvers+. II.C - Division def(z)f(ω)parzωpourfdansE R II.C.1) SijIN, montrer la convergence de la série de terme général n– 1 –j aωpournj+ 1. On pose : n +n– 1 –j b=aω. jn n=j+ 1 1   II.C.2) Montrerque, lorsquej+,b=O-. j j+r j II.C.3) Montrerque le rayon de convergence de la série entièrebzest j supérieur ou égal àR. PourzD, on pose :j= 0 R +j g(z)=b z. j j= 0 Vérifier :zD,(zω)g(z)=f(z)f(ω). R II.D - Minoration deM(r)à l’aide des zéros deff On suppose quepIN, ques’fannule enpopints distinctsz,d,ez 1p D\{0}. r II.D.1) Montrerqu’il existeFdansEtelle que : R p p 2 zD, .F(z() ×zz)=f(z() ×rz z) ∏ ∏ R jj j= 1j= 1 II.D.2) Sij∈ {1, …,p}etzC\{z}que vaut r j 2 rz z j ? -zz j
Concours Centrale-Supélec 2003
4/6
MATHÉMATIQUES IFilière PSI II.D.3) Enappliquant II.B.3 àFau pointω= 0, montrer : p p M(r) ×zf(0)r. f j j= 1 (k– 1) II.D.4) Onsupposef(0)==f(0)= 0kIN. Prouver : p (k) f(0)p+k M(r) ×z-r. f j k! j= 1 II.E - Étude asymptotique d’une fonction entière nulle surIN On suppose queR= +,c]0,e[,fest nulle surINet que lorsquer,r M(r)=O(c). f Montrer quef= 0. Indication : onsupposera par l’absurdef,o0n appliquera II.D.4 avec (i) k= Min{iIN,f(0) ≠0},r=p,z= 1, …,z=p, et on fera tendrepvers+. 1p
Partie III - Théorème de Pólya Soitdfans .E n k k III.A - Majoration de(–1)Cf(k) n k= 0 SoientndansINetrun réel tel quer>n. III.A.1) Décomposeren éléments simples la fraction rationnelle : n! F=-. n X(X– 1)…(Xn) III.A.2) Àl’aide de II.A.2, prouver : n it π n!f(re)dtnk k --=(–1)Cf(k). πit it2πn (re– 1)…(ren) k= 0 III.A.3) Montrer: n n!M(r) nk kf (–1)C f(k) ≤-. n (r– 1)…(rn) k= 0
Concours Centrale-Supélec 2003
5/6
MATHÉMATIQUES I III.B - Preuve du théorème On suppose ici a)f(IN) ⊂ZZ, r   2 b) Lorsquer+,M(r)=o-. f rOn va démontrer quefest polynomiale (théorème de Pólya).
Filière PSI
z N.B. L’exemple def(z)= 2montre que la condition asymptotique (b) n’est pas loin d’être optimale. III.B.1) Enappliquant III.A.3 àr= 2n+ 1, prouver qu’il existeNdansINtel que n nk k nN, .(–1)Cf(k)= 0 n k= 0 III.B.2) Àl’aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.
Concours Centrale-Supélec 2003
••• FIN •••
6/6