Concours Centrale Supélec - Filière MP

Laurent Llabres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4

• redaction

MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Notations et objectifs du problème • On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes et , notée admet, dans un certain repère orthonormé, une représentation paramétrique de la forme : (1) ( décrit un segment de longueur ). • désigne le espace vectoriel des fonctions continues sur , pério- diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par : . • Pour , et on rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques de , utiles dans le problème : , . • Dans tout le problème désignera un nombre réel appartenant à l'intervalle ouvert et l'élément de défini par : On désignera aussi par l'ensemble des suites réelles vérifiant, pour tout entier naturel non nul , la relation : et le sous-ensemble de constitué des suites telles que le rayon de convergence de la série entière de terme général soit au moins égal à . • Dans tout le problème sera la suite réelle définie par : pour tout . (Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter le coefficient binomial). • La partie entière du réel est notée . a b a b 0> >( ) Ea b,( ) x a tcos= y b tsin=?? ? t 2π C2π C- IR 2π- f g( ) 12π----

• det mn


• sr br


• énoncé précis du théorème de parseval relatif


• espace du produit scalaire

Sujets

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Informations

• Publié par: larec
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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHÉMATIQUES I

Notations et objectifs du problème • Onrappelle qu’une ellipse d’un plan affine euclidien, de demi-axes a  et b (a>b>0) , notée (E)  admet,dans un certain repère orthonormé, une a,b représentation paramétrique de la forme :  x=a cost  (1) y=b sint  ( t décrit un segment de longueur 2π ). • C 2π désigne le C- espace vectoriel des fonctions continues sur IR , 2π- pério- diques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par : π 1 (f g)= - f(t)g(t)dt . 2π ∫ –π • Pour k∈ZZ , n∈IN et f∈ C 2π on rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques de f , utiles dans le problème : π π 1 –kit 1 c(f)= - f(t)e dt , a(f)= - f(t)cos(nt)dt . 2π ∫ –π π ∫ –π k n •Dans tout le problème r un nombre réel désigneraappartenant à it l’intervalle ouvert ]0,1[ et f l’élément de C 2π défini par : ta1 –re r On désignera aussi par S r l’ensemble des suites réelles a n n vérifiant, pour ( ) ≥0 tout entier naturel non nul n , la relation : 2 r(2n+ 3)a–(1 +r)2na+r(2n– 3)a= 0 n+ 1n n– 1 B r S n etle sous-ensemble de r constitué des suites (a) telles que le rayon de n convergence de la série entière de terme général a z soit au moins égal à 1 . n • Danstout le problème (α ) sera la suite réelle définie par : n n≥0 2n   –   n α= - pour tout n∈IN . n n 4(2n– 1) n (Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter C le coefficient binomial). 2n • Lapartie entière du réel x est notée [x] .

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MATHÉMATIQUES I

Filière MP

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• L’attentiondes candidats est attirée sur le fait que la notation z  nesera prise en considération que lorsque z est un nombre réel positif. • L’objectifdu problème est l’étude de quelques problèmes asymptotiques rela- tifs à la longueur, notée L(a,b) , de l’ellipse (E) . a,b

Partie I - Préliminaires I.A -Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètre t inter- venant dans le paramétrage (1). I.B -Prouver rapidement que S r et B r sont des R- espaces vectoriels et pré- ciser la dimension de S r . I.C -Donnersans démonstrationprécis du théorème de Parseval l’énoncé relatif à un élément f∈ C 2π (les coefficients de Fourier intervenant dans la for- mule seront les coefficients exponentiels). Si f et g sont deux éléments de C 2π , prouver, en justifiant d’abord la conver- gence absolue de la série, la formule : ∞ (f g)=c(f)c(g) +(c(f)c(g)+c(f)c(g)) . ∑ 0 0n n–n–n n= 1 I.D -Soit n un entier naturel. Exprimer a(f) à l’aide de c(f) . n rn r a–b I.E -Soient a et b deux réels vérifiant a>b>0 . On pose r= - . a+b L(a,b) Exprimer, en fonction de a , b et de constantes, le réel - . a(f) 0r Partie II - .Comportement asymptotique de la suite (a(f)) n r II.A -Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme géné- n ral αz . On notera f(z) sa somme dans le disque ouvert complexe de centre 0 n et de rayon R . II.B -Soit x un réel appartenant à l’intervalle ouvert ]–R,R[ . Donner une rela- tion entre (1 –x)f′(x) et f(x) . En déduire une expression simple de la restriction de f à l’intervalle ouvert ]–R,R[ .

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MATHÉMATIQUES IFilière MP II.C -On choisit maintenant un complexe z que tel z<R . Déterminer une 2 expression très simple de f(z) . 2 it II.D -Prouver, pour r∈]0,1[ et t∈IR , la relation : f(re)=f(t) . r II.E -Soit n  unentier naturel. En utilisant la question I.C et la précédente, prouver l’égalité : c(f) +∞ α n r n+[x] 2[x] - =α - r dx . ∫ 0 n [x] n α αr n En déduire la limite de cette suite quand l’entier n tend vers l’infini. II.F -Prouver que, quand n→ ∞ : 2n 1 –r r a(f) ∼ - . n r 3∕2 πn En quoi ce résultat corrobore-t-il votre cours sur les séries de Fourier ? Partie III - Approximation de L(a,b) III.A -Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satis- faite par f . En déduire que la suite (a(f)) appartient à B r . r nr III.B -Pour tout réel r∈]0,1[ , on définit deux suites (A(r))  et (B(r)) n n n≥0n≥0 par : 2 2 A(r)= 1 , B(r)= 0 , A(r)= – - (1 +r) , B(r)= 1 0 01 1 r et les relations de récurrence, valables pour n≥2 : 2 2n(1 +r)2n+ 1   A(r)= - A(r)– - A(r) n n– 1n– 2   r(2n– 3)2n– 5 2 2n(1 +r)2n+ 1   B(r)= - B(r)– - B(r) n n– 1n– 2   r(2n– 3)2n– 5 on définit également, pour n≥1 , la matrice M(r) par : n   2n+ 3  A(r) – - A(r )  n n– 1  2n– 3  M(r)= . n   2n+ 3   B(r) – - B(r) n n– 1  2n– 3 

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MATHÉMATIQUES IFilière MP Pour alléger la rédaction, les candidats pourront remplacer, chaque fois que cela leur paraîtra utile, les expressions A(r) , B(r) , M(r) , par A , B , M . n nn nn n

Pour n≥1 , déterminer une matrice T , dont les coefficients dépendent de n et n r(a n ) S r , telle que pour toute suiteappartenant àon ait : n≥0    a a n– 1n    =T . n    a a n n+ 1    Écrire, dans le langage de calcul formel de votre choix, des fonctions prenant en argument l’entier n  etretournant a , A , B ; a , a  et r  serontconsidérés n n n0 1 comme des variables globales. Montrer que, pour tout entier n≥1 :, on a M=M T . n n– 1n a  n  En déduire le produit matriciel M   indépendamment de n n a   n+ 1 III.C -Soit (u)  unesuite réelle telle qu’existent une suite (ε )  tendant n n n∈IN vers 0 , un réel l , un réel k∈]0,1[ et un entier N vérifiant : ∀n>N,u–l≤k u–l +ε n n– 1n Montrer que limu=l . n n→ ∞ III.D -Prouver que : a(f) 0r limA a(f)= - n nr 2 n→ ∞ 1 –r Que dire de la suite de terme général B a(f) lorsque n tend vers l’infini ? n nr a–b III.E -Soient a et b deux réels tels que a>b>0 . On pose r= - . a+b À l’aide des questions II.E et III.D, démontrer que la suite (l) définie par : n  3∕2 2  l=(a+b)π(1 –r) 0  2  l=l(1 +r) L(a,b)  1 0 .converge vers  2  2 r(2n+ 1)(2n– 3) l=(1 +r)l– - l  n n– 1n– 2 4n(n– 1) 

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MATHÉMATIQUES IFilière MP Partie IV - Étude de S r et de B r IV.A -Soit (a) un élément de. Prouver l’égalité : n ≥ S r n0 a A–a B=adetM 1n0n n+ 1n IV.B -Calculerdet T puisdet M . Donner un équivalent dedet M . n n n IV.C -Préciser la dimension et une base de B r . Soit (a) un élément de S r n qui n’appartient pas à B r . Déterminer un équivalent simple de a  lorsque n n→ ∞ .

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