Concours Centrale Supélec MATHÉMATIQUES I

Michel Andr”Ani

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2001 1/7 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Définitions et notations On note l'espace vectoriel réel des fonctions définies et conti- nues dans l'intervalle à valeurs réelles. Pour et éléments de , on pose , ce qui définit sur un produit scalaire dont la norme associée est notée (on rappelle que ) et munit d'une structure d'espace préhilbertien réel. On dit qu'une suite d'éléments de est orthonormale si elle véri- fie la condition , Soit une suite orthonormale de . 1) Si , on désigne par le sous-espace vectoriel de engendré par , par l'opérateur de projection orthogonale de sur et enfin par la distance de à . 2) On désigne par le sous-espace vectoriel de réunion des ; par définition est égal à l'ensemble des éléments de qui sont combinaisons linéaires finies d'éléments de la famille, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme , où sont des entiers distincts et des coeffi- cients réels. 3) On dit que la suite orthonormale est totale dans si pour tout élément de il existe une suite d'éléments de convergeant vers . E C0 0 1,[ ] IR,( )= 0 1,[ ] f g E f g( ) f t( )g t( ) td 0 1∫= E f f f( )= E ? ?n( )n IN?= E m n,( )? IN2?

• v? v?


• filière psi


• structure d'espace préhilbertien réel


• constante de lipschitz


• j1 j2 …


• continue paire périodique

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHƒMATIQUES I

MATHƒMATIQUES I

DÈÞnitions et notations

FiliËre PSI

0 On note E=C([0,1],IR) lÕespace vectoriel rÈel des fonctions dÈÞnies et conti- nues dans lÕintervalle [0,1] ‡ valeurs rÈelles. 1 Pour f et g ÈlÈments de E , on pose (f g)=f(t)g(t)dt , ce qui dÈÞnit sur E un  0 produit scalaire dont la norme associÈe est notÈe (on rappelle que f=(f f) ) et munit E dÕune structure dÕespace prÈhilbertien rÈel.

On dit quÕune suite =( ) dÕÈlÈments de E  n nIN Þe la condition

est orthonormale si elle vÈri-

 0  si mn 2 (m,n) IN , )(  ==  m n m,n 1  si m=n Soit  une suite orthonormale de E . n 1) Si nIN , on dÈsigne par V le sous-espace vectoriel de E engendrÈ par  n n {0jn} , par lÕopÈrateur de projection orthogonale de E  sur V  et   j n0n enÞn par d(f) la distance de fC([0,1],IR) ‡ V .   n 2) On dÈsigne par V le sous-espace vectoriel de E rÈunion des V   n    V=V ; nIN par dÈÞnition V est Ègal ‡ lÕensemble des ÈlÈments de E qui sont combinaisons  linÈaires Þnies dÕÈlÈments de la famille, cÕest-‡-dire qui sÕÈcrivent sous la forme   , o˘ j,j, ,j  sont des entiers distincts et  , ,  , coefÞ- des  i j1 2p1 2p i 1ip cients rÈels.

3) On dit que la suite orthonormale  est totale dans E si pour tout ÈlÈment f de E il existe une suite (f) dÕÈlÈments de V convergeant vers f  . n IN

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EnÞn pour nIN et x [0,1] , on pose  1  si n=0 C(x)=  ; S(x)= n n 2 cos(nx)  si n>0

et on note C=(C) et S=(S) . n n nINnIN

2 sin((n+1)x)

La partie IV est largement indÈpendante des trois parties prÈcÈdentes.

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Partie I - GÈnÈralitÈs sur les suites orthonormales

I.A -Montrer que C et S sont des suites orthonormales de E .

I.B -Soit  une suite orthonormale de E , nIN et fE . n 2 2 2n I.B.1) …tablir la formule f=(f)+[d(f)] .    I.B.2) Calculer n sup(f)   f=1 n I.B.3) Expliciter (f) dans la base {0jn} .   j 2 En dÈduire que la sÈrie de terme gÈnÈral (f ) est convergente et que k + 2 2 (f ) f  k k=0 I.C -On suppose toujours que  est une suite orthonormale de E . I.C.1) Soit (f) une suite dÕÈlÈments de V , convergeant dans E et soit k kIN f=lim(f) . k k  a) Montrer que pour kIN donnÈ, on peut trouver NIN tel que

  n n ( nIN),n NfÐ(f)=fÐf+(fÐf)           k k 

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n b) En dÈduire que lim(f)Ðf=0 .   n+ I.C.2) DÈmontrer alors lÕÈquivalence entre les deux propositions suivantes : i)  est totale dans E . n ii) fE , lim(f)Ðf=0 .   n+ I.C.3)On suppose de plus dans cette question seulement que   est totale dans E . 2 2n Pour fE et nIN expliciter f et [d(f)] ‡ lÕaide des (  f ) . k I.D - …tude de la suite C . I.D.1) Soit fE . Montrer quÕil existe une unique fonction continue paire ÷ pÈriodique et de pÈriode 2 notÈe f telle que sa restriction ‡ [0,1] soit Ègale ‡ f . I.D.2) Montrer alors que la suite C dÈÞnie dans le prÈambule est totale dans E . On pourra introduire les coefÞcient de Fourier de la fonction 2 -pÈriodique x ÷ # $ ÷ h dÈÞnie par h(x)=f - , la fonction f Ètant celle de la question prÈcÈdente. ! "  I.D.3) Exhiber une suite orthonormale de E non totale dans E .

Partie II - Fonctions lipschitziennes

On note I un intervalle de IR non vide et non rÈduit ‡ un point. Une fonction f dÈÞnie dans I et ‡ valeurs rÈelles est dite lipschitzienne dans I si elle vÈriÞe la condition : * 2 %CIR,  (   (x,y)I) , f(x)Ðf(y) C xÐy + On noteraLip (I,IR) lÕensemble de toutes les fonctions rÈelles dÈÞnies et lipschit- ziennes dans I .

II.A - PropriÈtÈs ÈlÈmentaires. 0 II.A.1) VÈriÞer queLip (I,IR) est un sous-espace vectoriel de C(I,IR) . Le produit de deux ÈlÈments deLip (I,IR) est-il encore un ÈlÈment deLip (I,IR) ? si f Lip (I,IR) justiÞer lÕexistence du rÈel k(f) dÈÞni par  2  f(x)Ðf(y) (x,y)I,xy k(f)= sup  -  xÐy 

Ce rÈel sera appelÈ la constante de Lipschitz de f .

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II.A.2) Si I vÈriÞer que est un intervalle compact de IR , Lip (I,IR) une est 0 sous-algËbre de C(I,IR) . Exhiber une fonction dÈÞnie et continue sur[0,1]mais non lipschitzienne sur ce mÍme intervalle. 1 II.B -Soit f une fonction de classe C sur I . Montrer que f& est lipschitzienne sur I si et seulement si f& est bornÈe sur I . Exprimer dans ce cas la constante de Lipschitz ‡ lÕaide de f& .

II.C -Soit (f) une suite dÕÈlÈments deLip (I,IR) qui converge simplement n nIN sur I vers une fonction f . On suppose de plus que lÕensemble des {  k(f)nIN} n est bornÈ. Montrer que f Lip (I,IR) .

II.D -Soit g Lip ([0,1],IR) telle que k(g) 1 . II.D.1) Montrer quÕil existe g Lip (IR,IR) telle que : k(g) 1 et x[0,1]g(x)=g(x) 1 x+ -- n II.D.2) Pour nIN * et xIR on pose g(x)=n g(t)dt .  n x 1 Montrer que g est de classe C sur IR ‡ dÈrivÈe bornÈe par 1. n Montrer que la suite g converge uniformÈment sur IR vers g . n II.E - Dans les deux derniËres questions de cette partie les suites S et C sont celles dÈÞnies dans le prÈambule. 1 Soit fC([0,1],IR) .  * II.E.1) Pour nIN , calculer (f C) en fonction de (f&S) . n nÐ1 2 2 II.E.2) Montrer que la sÈrie de terme gÈnÈral n(f C) est convergente et que n + 2 2 1 2 n(f C)  - f&  2 n  n=1 II.F -Soit f Lip ([0,1],IR) . 2 2 II.F.1) Montrer que la sÈrie de terme gÈnÈral n(f C) est convergente et que n + 2 2 1 2 n(f C)  - k(f)  2 n  n=1 nÐ1 1 II.F.2) En dÈduire alors que nIN * , d(f)  - k(f) . c n

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Partie III - Constantes de Lipschitz dÕune suite orthonormale

LÕobjectif est de montrer que la suite des constantes de Lipschitz des ÈlÈments dÕune suite orthonormale de E est toujours minorÈe par une suite de la forme ('n) o˘ ' est une constante positive indÈpendante de la suite choisie dans nIN E .

III.A -Soient =( ) et (=(( ) deux suites orthonormales de E . n n nINnIN Montrer que m *nÐ1 2 mIN,nIN,n+d()(m+1  j j=0 et en dÈduire que 2nÐ1 *nÐ1 2 nIN,d(()n  j j=0 III.B -On donne maintenant une suite =( ) orthonormale de E . n nIN On suppose de plus que toutes les fonctions  sont lipschitziennes dans [0,1] . n III.B.1) Montrer que 2nÐ1 2 2 3 n1,k(( ) n  j j=0 III.B.2) Montrer que la suite (k(( )) est non bornÈe. j jIN III.B.3) Montrer que limk(( )=+ . n n+ III.B.4) Trouver la valeur de k(C) . n III.B.5) Montrer quÕil existe un rÈel ' >0 vÈriÞant la propriÈtÈ suivante : pour toute suite orthonormale (=(( )  de fonctions lipschitziennes sur [0,1] n nIN telle que la suite (k(( )) soit une suite croissante, on a j jIN nIN , k(( )   'n n Ce rÈsultat est d˚ ‡ W. Rudin (1952).

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Partie IV - Constantes de Lipschitz des polynÙmes de Legendre

Le but de cette derniËre partie est le calcul des constantes de Lipschitz dÕune suite orthonormale dÕÈlÈments de E constituÈe de polynÙmes. Pour nIN et xIR on note : n 2(n) 1 U(x)=(xÐ1),P=U,L= - P n n n n n n 2n! (n) La notation f reprÈsente la dÈrivÈe n -iËme de la fonction f . On dÈmontre, et on admettra, que lÕon a :

 ) 0 1 2 ) (m,n)INP(x)  , m P(x)dx=  n Ð 1 2n+1 2 ) 2 (n!) ) - n+1 2

simn

sim=n

IV.A -Montrer quÕil existe une unique suite de rÈels tous strictement positifs notÈe (* ) telle que la suite Q=(Q) dÕÈlÈments de E dÈÞnie par n n nINnIN , nIR , Q(x)=*L(2xÐ1) nIN n n n est une suite orthonormale de E . Donner la valeur de * pour chaque nIN . n Dans la suite, la notation Q dÈsigne lÕÈlÈment ainsi calculÈ. n IV.B - n IV.B.1) Soit fE donnÈ. Montrer que la suite (d(f)) est dÈcroissante. Q nIN IV.B.2) Montrer que la suite Q dÈÞnie ci-dessus est totale dans E . n Pour cela on pourra montrer que la suite (d(f)) tend vers 0 quand n+ Q nIN en appliquant le thÈorËme de Weierstrass ‡ la fonction fE donnÈe. IV.B.3) DÈterminer toutes les suites orthonormales ( ) de E possÈdant n nIN la propriÈtÈ suivante : nIN ,  est une fonction polynomiale de degrÈ n n

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IV.C -Montrer que k=n 2 k k nÐk , nIR , P(x)=n!(C) (xÐ1) (x+1) nIN  n n k=0 IV.D -Soient (n,x)IN×IR . On dÈsigne par i le nombre complexe de module 1 et dÕargument  ,2 . La lettre - dÈsigne une variable rÈelle. + n 1 2 n ( ) IV.D.1) DÈmontrer que si x1 alors L(x)= - x+i1Ðxcos-d- .   2 - On pourra remarquer que

2 1+x1Ðx i- 1+x1Ðx Ði- # $# $ x+i1Ðx cos-=-+i-e-+i-e ! "! " 2 2 2 2 IV.D.2) …tablir que maxL(x)=1 n x [Ð1,+1] Quelles sont les valeurs de x[Ð1,+1] telles que L(x)=1 ? n IV.E - 2 IV.E.1) En remarquant que (xÐ1)U& (x)=2nxU(x) , montrer que n n 2 nIN , (1Ðx)P. (x)Ð2x P& (x)+n(n+1)P(x)=0 n n n IV.E.2) Prouver que , N , L& (x)=x L& (x) (n+1)L x xIR nI +( ) n+1n n

IV.F -Calculer enÞn la valeur k(Q) pour nIN . n

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