Courbure de Ricci flot et rigidite differentielle
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2010
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Courbure de Ricci : flot et rigidite differentielle Laurent Bessieres Memoire d'Habilitation a Diriger des Recherches Soutenu le 10 decembre 2010 a l'Institut Fourier devant un jury compose de ? Gerard Besson (Institut Fourier) ? Michel Boileau (Universite de Toulouse) ? Gilles Carron (Universite de Nantes) ? Zindine Djadli (Institut Fourier) ? Sylvain Maillot (Universite de Montpellier) ? Carlo Mantegazza (Scuola Normale Superiore Pisa) au vu des rapports de Bernd Ammann (Universitat Regensburg), Gilles Carron et Tobias Colding (Courant Institute)
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Courbure de Ricci : flot et rigidite differentielle Laurent Bessieres Memoire d'Habilitation a Diriger des Recherches Soutenu le 10 decembre 2010 a l'Institut Fourier devant un jury compose de ? Gerard Besson (Institut Fourier) ? Michel Boileau (Universite de Toulouse) ? Gilles Carron (Universite de Nantes) ? Zindine Djadli (Institut Fourier) ? Sylvain Maillot (Universite de Montpellier) ? Carlo Mantegazza (Scuola Normale Superiore Pisa) au vu des rapports de Bernd Ammann (Universitat Regensburg), Gilles Carron et Tobias Colding (Courant Institute)
- infimum des vo- lumes parmi les metriques
- courbure de ricci minoree
- metrique de courbure constante
- exegese des papiers de perelman
- flot de ricci
- preuve de la conjecture de poincare
- maniere exemplaire par la recente preuve de la conjecture de poincare
Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois
M´emoirepre´sente´par MICHAELERMSEINAN pour obtenir L'HABILITATION A DIRIGER DESRESECHERCH ´ ialite´ spec M ´QUE ATHEMATI
Soutenuele14de´cembre2007 al'InstitutFourierdevantlejurycompose´de Thomas FIEDLER(Toulouse) Nathan HAGGEBRE(Nantes) Michael HEUSENER(Clermont-Ferrand) Pierre VOGEL(Paris VII) Louis FUNAR(Grenoble) Christine LESCOP(Grenoble) Vlad SERGIESCU(Grenoble) Au vu des rapports de Thomas FIEDLER, Colin ROURKE, et Pierre VOGEL.
Andrea,
Jan,
nicht nichts
aber
Hannah
ohne Euch
nicht
dasselbe
´ EminentsAcad´emiciens, Vous me faites l'honneur de me demander de fournir a l'Acade´mie un rapport sur mon passe´ gordien. d'apr es Franz Kafka (1883-1924), Rapport pour une acade´mie
Remerciements
Quand je suis arrive´ de´but septembre chez le president de la commission d'habili-´ tation,MichelBrion,pourdiscuterdemonprojetd'habilitationavantlandel'ann´ee, Michel m'a convaincu que ce serait un de´ sportif, d'abord p our moi, mais plus encore pour les rapporteurs. Je remercie d'autant plus sinc erement Thomas Fiedler, Colin Rourke, etPierreVogeld'avoiraccept´eetassume´cetravail. J'´etendsmesremerciements atouslesmembresdujurydem'avoirfaitl'honneurde leur participation a ma soutenance, malgre´ de multiples contraintes. ´ Durant mes premi eres anne´es en France,Etienne Ghys a Lyon puis Christine Lescop etVladSergiescu aGrenoblem'ontparticuli erementsouetnuetencourag´e,etjeleuren suis tr es reconnaissant. Jeremercie´egalementChristophLammpournotrecoop´erationquiatenusilongtemps bienquenousnoussoyonse´loigne´sg´eographiquementetprofessionnellement. Quant al'´eternelleaventurelinguistique,enexag´erantunecitationdeWeyl[96] je dirais :writing the yoke of two foreign tongues that wereThe gods have imposed upon my not sung at my cradle.emcsehsrrgaˆeca tirc'estam'ensorue´r issiSia'jsaiuge lloc¸cnarfse qui m'ont tout appris. Sylvain Gallot, Christine Lescop, et Alexis Marin m'ont patiemment expliqu´edesnessesdelalanguefranc¸aise,quiestlaleur.Lesbizarreriessubsistantessont de ma propre fabrication artisanale. Ainsi je conclus par l'expression de mon profond sentiment d e soulagement.
Dansl'ensemble,jesuisarrive´ acequejevoulaisobteni.r Quel'onnedisepasquecen'´etaitpaslapeine.
Table des matie res
Remerciements Introduction 1.Unbrefaper¸cuhistorique 2. Topologie classique vs quantique 3.L'organisationdecem´emoire Publications 1. Publications issues de la th ese 2. Articles poste´rieurs a la th ese 3. Articles soumis 4. Vulgarisation ChapitreI.Invariantsdetypenietvari´ete´sexotiques 1.Nœudsetcompl´etionparhomotopie 2. Varie´te´s exotiques 3. La question de la torsion ´ 4. Etude des nœuds locaux 5. Quelques perspectives Chapitre II. The´orie des quandles 1.D´enitionetpremiersexemples 2. Ope´rateurs de Yang-Baxter 3. Correspondance de Galois 4. Quelques perspectives ChapitreIII.Entrelacsrubansetunionssym´etriques 1. Le polyn ˆome de Jones des entrelacs rubans 2. Unions symetriques ´ Bibliographie
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iii vii vii vii viii ix ix ix ix ix 1 2 4 6 8 11 13 13 14 18 21 23 23 27 31
Introduction
The golden age of mathematics that was not the age of Euclid, it is ours. Cassius J. Keyser (1862-1947)
1. Un bref aperc¸u historique Lafascinationdel'hommepourlesnœudsaunelonguehistoiremaisleur´etudemathe´-matique est relativement re´cente. Ses de´buts remontent au temps de Gauss, qui conside´ra des entrelacs dans ses travaux sur l'e´lectromagne´tisme, et qui donna une formule analy-tiquepourlenombred'enlacement.Ilregardaaussidestresses,parcuriosit´eintellectuelle semble-t-il, mais aussi en tant que description pratique d' entrelacs.1L'e´tude des nœuds fut continu´ee,entreautre,parson´el eveListing, aquionoditl'inventiondumot«topologie». Lespremi erestentativesdeclassicationfurententrepisrespardesphysicienscomme Helmholtz,Maxwell,Kelvin,etTait.Cestravaux´etaientcombinatoiresetplutˆotempi-riques, culminant dans la compilation par Tait et Little d'u ne longue table de diagrammes. A basedecesexp´eriences,Taitformulatroisconjecturesquidevinrentc´el ebres,maisle manqued'outilsad´equatsrendittouttraitementthe´oriquequasiimpossible.2 Aude´butdu20esi ecle,l'apparitiondelatopologiealg´ebriquefournissaitjustement detelsoutils,etpermettaitlespremi eresapplicationsa lath´eoriedesnœuds.Dansles anne´es suivantes les outils alge´briques et ge´ome´triques en rent un domaine hautement de´veloppe´, par Wirtinger, Dehn, Alexander, Artin, Reidemeister, Seifert, van Kampen, Whitehead, Fox, et bien d'autres. Les techniques et invaria nts de la topologie alge´brique, commelegroupefondamental,lepolynˆomed'Alexander,etleursrafnementsing´enieux, domin erentalorslathe´oriedesnœudsjusqu'aude´butdesann´ees1980. En 1984 Jones de´couvrit son invariant polynomial, qui ne ressemblait a aucun concept connuauparavant.Enquelquesann´eescettede´couverteaprovoqu´el'inventiondenom-breux autres invariants polynomiaux et des invariants dits quantiques, issus des repre´senta-tions du groupe des tresses et souvent inspire´s par des analogies avec la physique the´orique. La notion des invariants de type ni, dont on parlera plus loin, donne un cadre commun atouscesnouveauxinvariants.Undesplusbeauxsucc esdupolynˆomedeJonesestla re´solutiondesconjecturesdeTait,formule´esunsi ecleplustˆot.3 2. Topologie classique vs quantique L'esquisse historique et la pratique actuelle sugg erent de mettre en opposition les ap-proches«classique»et«quantique», ce qui explique le titre un peu e´nigmatique de ce m´emoire.(Enreprenantcestermessimplicateursjefrˆolelapol´emique,certes,maisc'est pour une bonne cause.) 1e rse´eArptsurprenxionilesueds´dixqtnaeceuoutturjosseeenoictuasd'aeaujlit´h'iuuodrqn'ub,eiun a niveaupluspousse´:d'uncote´lesinvariantsdetypeni,pre´sente´sanalytiquementparl'int´egraledeKontsevich, del'autrecote´lathe´oriedugroupedestresses,sesrepr´esentations,etlesinvariantsquantiquesquiend´ecoulent. 2Pour une presentation plus compl ete voir Moritz Epple,Die Entstehung der Knotentheorie, Vieweg, ´ Braunschweig,1999.AndrewRanickiarassemble´plusieurstextessurl'histoiredelath´eoriedesnœudseten particulierunebellecollectiondesourcesnum´eris´ees;voirukc..aedknr/aa/~ww//:ptt.shtam.whots/. 3 les invariants polynomiaux ont trouve´ maintes autres applications a la the´orie des nœuds etBien s ˆur, des3-varie´t´es.L'histoirenes'arreˆtepasl a:plusre´cemmentlanotiondecat´egoricationad´egag´edesaspects inattendusdupolynˆomedeJones.Ced´eveloppementfascinantade´j afaitsespremi erespreuves,maisonn'en parlera pas ici. Je ne parlerai pas non plus de la ge´ome´trie en dimension 3 et de la conjecture du volume qui a suscite´d'intensesrecherchesautourdupolynoˆmedeJones.Quelesexpertsmepardonnenttoutescesomissions. vii
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