Cours de Francis Clarke

Francis Clarke

Description

Niveau: Supérieur, Master
Analyse Master 1 Cours de Francis Clarke (2011) Rappels en topologie 1. Un ordre sur un ensemble non vide P est une relation qui satisfait (a) x x ? x ? P. (b) x y et y x =? x = y. (c) x y et y z =? x z. On dit alors que (P,) est un ensemble ordonne. Si P est ordonne et Q ? P , alors Q est aussi ordonne par restriction de l'ordre. On dit que Q est totalement ordonne si tous ses elements sont comparables ; c-a-d : ? x, y ? Q, on a x y ou y x. Soit (P,) un ensemble ordonne et Q ? P . Un element m ? P est dit un majorant de Q lorsque q m ? q ? Q. L'ensemble ordonne (P,) est inductif si toute partie non vide Q ? P totalement ordonnee admet un majorant m ? P . M ? P est un element maximal de P si x ? P,M x =? x = M . Le Lemme de Zorn a?rme que tout ensemble ordonne inductif (P,) admet un element maximal. 2. Soit X un ensemble et ? une collection de parties de X. On dit que ? est une topologie sur X si : (a) ? ? ? et X ? ? ; (b) ? est stable par rapport aux intersections finies : Oi ? ? (i = 1, .

• projections continue


• espaces topologiques


• rappels de topologie


• famille d'espaces topologiques


• fini d'indices


• oi ?


• ??a


• sequentiellement compact


• base denombrable


• collection finie de boules de rayon

Sujets

• Clarke

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Analyse Master 1

Cours de Francis Clarke (2011)

Rappels en topologie

1. Unordre sur un ensemble non videPontila´enureets￿qui satisfait (a)x￿x∀x∈P. (b)x￿yety￿x=⇒x=y. (c)x￿yety￿z=⇒x￿z. On dit alors que (P,￿.eiSno´noedrnsneblem)tuesPetsetnn´eordoQ⊂P, alors Qeuqtdeonorl’e.drdiOnodroissuatsetiictresrrpa´ennQestatotemelntordonn´esi tousses´ele´mentssontcomparables;c-a`-d:∀x, y∈Q, on ax￿youy￿x. Soit (P,￿esbmnuneodnnelrotee´)Q⊂Pe´nUme´lten.m∈Pest dit unmajorantde Qlorsqueq￿m∀q∈QL’ensemb.(e´nnodroelP,￿) estinductifsi toute partie non videQ⊂Praddomneenn´teoeaajloermtutnomtnatm∈P. M∈Pest unntme´eellmaxima´dePsix∈P, M￿x=⇒x=M. LeLemme de Zornaffiorlenndoin´ectdu(fimrqeeuottuneesbmP,￿net´lmea)temde´nu maximal. 2. SoitXun ensemble etτune collection de parties deX. On dit queτest unetopologie surXsi : (a)∅ ∈τetX∈τ; (b)τest stable par rapport aux intersections finies : n ￿ O i ∈τ(i= 1, . . . , n) =⇒O i ∈τ; i=1 (c)τsestperaatlbasnotibrriar:sepprataorr´uxnieu  O γ ∈τ(γ∈Γ) =⇒O γ ∈τ. γ∈Γ Les sous-ensembles deXanetrappa`antτsont lesouvertsde la topologie, et le couple (X,τ) forme unespace topologique. Toute partieAdeXadmet un ouvert maximalO ◦ compris dansA; cet ouvert estni´treeiur’ldeAtnes´eottniil;AouA. 1

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3. Soient(X,τespace topologique et) unFune partie dansX. On dit queFeste´ferm siX\Fappaeitri(tr,.e.`anteuoevtsnuτ). Alors toute partieAdeXamdteunferm´e minimalFqui inclutArefec;lasteem´fermeturedeA´tetsoni;elA. 4. Soient (X,τ) un espace topologique etVune partie dansX. On dit queVest un voisinaged’un pointxsi il existe un ouvertOtel quex∈O⊂V. Le pointxest adhe´rent`enuaetirapEsi tout voisinage dexcontient un point deE. On dit qu’un pointxest une´vhareneecelru’ddad’une suite{x n }si pour tout voisinageVdexil existe des indicesiarbitrairement grands tels quex i ∈V. (a)L’ensembledespointsadhe´rents`aE(re´hecneadl’deEeeadh,´tonE) coincide avec la fermeture deE: adhE=E. (b) SoientE´m,eerefblemnsneu{x n }une suite dansE, etxnereec’dru´hdavaleune de cette suite. Alorsx∈E. 5. Soient(X,τ) un espace topologique etBune collection d’ouverts dansX. On dit que Best unebase d’ouvertsde la topologieτsi pour tout ouvertOdansXet tout point x∈Oe´le´nuetsixeliemtnB∈Btel quex∈B⊂O. (a) UnecollectionBde parties deXforme une base d’ouverts d’une topologieτsur Xsi et seulement si chaque pointx∈Xnptpmeant´`eaun´teiealrBdeB, et chaque fois qu’un pointxappartietna`B 1 ∩B 2 (`ouB 1 , B 2 ∈B), il existeB 3 ∈B tel quex∈B 3 ⊂B 1 ∩B 2 ieenologatop.Lapr´reeegdnBconsiste alors de toutes lesre´unionsdepartiessetrouvantdansB. (b) SoitCune collection de parties deX. SoitBla collection consistant deXainsi que toutes les intersections finies d’ensembles dansC. AlorsBest une base d’ouverts pour la plus faible topologie qui contientC. (Cest alors unesous-basepour la topologie.) 6. Soit(X,τ) un espace topologique etxun point dansX. Une collectionB x d’ouverts contenantxforme unebase localeenxsi pour chaque ouvertOqui contientxil existe B∈B x tel quex∈B⊂O. La topologie est diteolbaded´selecantmeelmonebarbsi chaquepointadmetunebaselocalede´nombrable.Elleestditelbeedasebdrambno´e sielleadmetunebased’ouvertsd´enombrable.Onditque(X,τ) estarlbespa´esiX contientunensembled´enombrabledensetseeage´a`el(.i.e,dontl’adh´erencX). (a)Toutespaceme´trisableestlocalementdebasede´nombrable. (b)Unespacedebasede´nombrableests´eparable. (c)Unespaceme´triqueestdebasede´nombrablesietseulementsiilestse´parable. (d) SiXebtdenemaloctles,elbarbmone´desarolasx∈Esi et seulement si il existe une suite dansEqui converge versx.)aler.(Ceuaftseic´ne´gnex (e) SiXmbra´enoalorble,menecolasadedtbetlessx’decenu´hdanerelevad’uresnetu suite{x n }si et seulement si il existe une sous-suite qui converge versx.

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7. Unefonctionf:X→Y(`ouXetYsont des espaces topologiques) est ditecontinue enx∈Xsi pour tout ouvertOcontenantf(x) il existe un ouvertUcontenantxtel quef(U)⊂O. La fonctionfest dite continue surXsi elle est continue en chaque point deX. −1 (a)fest continue si et seulement sif[O] est un ouvert dansXpour tout ouvertO dansY. −1 (b)fest continue si et seulement sif[Fadsn]estnuefmre´Xem´puoourtertfF dansY. (c)fest continue si et seulement sif(A)⊂f(A) pour tout ensembleA⊂X. −1 (d) Sifoemoe´mohnutseihpr(ems.e.ienu,jebiioctelntqulefetfsoient conti- nues), alors f(A) =f(A), f(intA) = intf(A) pour tout ensembleA⊂X.

−1 (e)fest continue si et seulement sif[O] est un ouvert dansXpour tout ouvertO dans une base d’ouverts de la topologie deY. (f) SoientB x une base locale enxetC y une base locale eny:=f(x).Alorsfest continue enxsi et seulement si pour toutC∈C y il existeB∈B x tel que −1 B⊂f[C]. 8. [Topologie faible] SoitF={f α :X→Y α } α∈A une collection de fonctions sur un ensembleXo,s(le`uY α ,τ α ) sont des espaces topologiques. Latopologie faibleinduite par la collectionFest la plus petite topologie surXqui rend continue chaque fonction f α t´eestnolleee;σ(X,F). (a) Une base pour la topologieσ(X,F) consiste de toute intersection finie des en- sembles −1 f(O α ) [α∈A,O α ∈τ α ]. α (b) SichaqueY α co¨ıncide avecR, une base pourσ(X,F)edoster-tuottniee´nnrape section finie des ensembles ￿ ￿ V(x, f α , r) :={x∈X:|f α (x)−f α (x)|< r}[x∈X,α∈A, r>0]. (c) SoientZun espace topologique etg:Z→Xune fonction,Xetan´aledinumt topologieσ(X,F). Alorsgest continue si et seulement sif α ◦gest continue pour toutα. (d) Unesuite{x n }dansXconverge versxpour la topologieσ(X,F) si et seulement sif α (x n ) converge versf α (x) pour chaqueαdansA. (Ceci motive la terminologie topologie de la convergence simple.)

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9. Soitfspnerusuueiqerm´A.euqigolopotecalorscnitnounuenoffest continue si et seulement si tous les ensembles de la forme{x:f(x)> a}et{x:f(x)< a}sont ouverts. 10. Soit{f n }une suite de fonctions continues appliquant un espace topologique dans un espacem´etrique.Silasuiteconvergeuniform´ementversunefonctionf, alorsfest continue. 11. Unespace topologiqueXest ditcompactsi tout recouvrement ouvert admet un sous- recouvrement fini. (Attention:rtcensaiysininpantdacluerudsuaetreatu’cntacmpcofie´dalsnednoitin laconditionquel’espacesoitse´pare´;voirci-dessous.) Un espace topologiqueXest ditbromleabend´tcatnempmocsi tout recouvrement ouvert de´nombrableadmetunsous-recouvrementfini.OnditqueXopssale`ed´et´oprirpede Bolzano-Weierstrasssi toute suite dansXmdteuaomniuspniontd’adh´erence.Ona dit que l’espace topologiqueXest´stcapmotcenemllientueeqsi toute suite dansX admet une sous-suite qui converge vers une limite dansX. (a)XsinteisssartemeluestlzandeBoierso-Wepaordeletee´rp´ip`ssoXsteb-omend´ rablement compact. (b)Unespaces´equentiellementcompactestd´enombrablementcompact,etunes- pacequiestd´enombrablementcompactetlocalementdebased´enombrableest se´quentiellementcompact. (c)Dansunespaceme´trique,lesnotionsdecompacit´e,decompacit´ese´quentielleet decompacite´de´nombrablecoincident. (d)Unespaceme´triquequiestcompactests´eparable. 12. Unespace topologique estspa´eer´(oude hausdorff) lorsque deux points distincts quel- conquesposs`edentdesvoisinagesdisjoints. (a)Unepartieferm´eedansunespacecompactestcompact. (b)Unepartiecompactdansunespaces´epar´eestferme´. (c) L’imagecontinue d’un compact est compact. (d)Unebijectioncontinued’uncompactdansunespaces´epar´eestunhom´eomor- phisme. (e) Soit(X,τopoliguqsee´ap´r)unespacetoigelopotoreuteauttosrolA.tcapmoctee surXstrictement plus fine n’est pas compact, et toute autre topologie strictement moinsfinen’estpass´epar´e. 13.Unespacem´etriqueXestrnbontme´eatelotsi pour chaque￿>0 il existe une collection finie de boules de rayon￿qui recouvreXtetcismoaps.eUctpsenmecarte´euqi seulementsiilestcompletettotalementborne´.