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Cours de Master 1ere annee

De
125 pages
Niveau: Supérieur, Master
Cours de Master 1ere annee Annee 2006-2007 PROBABILITES et MODELISATIONS STOCHASTIQUES Departement de Mathematiques - Universite Henri Poincare Nancy I

  • variable aleatoire

  • convergence vers la loi normale

  • simulations de variables aleatoires courantes

  • variables aleatoires

  • modelisation de phenomenes physiques

  • procedes de simulations de variables aleatoires

  • departement de mathematiques - universite

  • loi conditionnelle


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Cours de Master 1`ere ann´ee
Ann´ee 2006-2007
´PROBABILITES
et
´MODELISATIONS STOCHASTIQUES
D´epartement de Math´ematiques - Universit´e Henri Poincar´e Nancy I2Table des mati`eres
1 Variables al´eatoires gaussiennes 5
1.1 Variables al´eatoires gaussiennes `a valeurs r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Esp´erance et covariance de variables al´eatoires `a valeurs vectorielles . . . . . . . 8
D´efinitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Vecteurs al´eatoires gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Convergence vers la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Loi du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Une application `a la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Conditionnement 35
2.1 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Introduction aux martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Chaˆınes de Markov 73
3.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Chaˆıne canonique. Temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
´3.3 Potentiel. Etats r´ecurrents, ´etats transients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Mesure invariante et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4 Simulation 115
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Proc´ed´es de simulations de variables al´eatoires `a valeurs r´eelles . . . . . . . . . . 117
Simulations de variables al´eatoires courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Proc´ed´es g´en´eraux de simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3`4 TABLE DES MATIERESChapitre 1
Variables al´eatoires gaussiennes
Les variables al´eatoires gaussiennes apparaissent naturellement comme limite de sommes re-
normalis´ees, de v.a. ind´ependantes; pour plus de pr´ecisions on peut se reporter a l’´enonc´e du
th´eor`eme central limite dans le§4. Ainsi la somme cumul´ee de petites fluctuations au niveau
microscopique donne naissance `a une fluctuation macroscopique gaussienne. En plus de cette
propri´et´e de “normalit´e”, les v.a. gaussiennes `a valeurs multidimensionnelles sont tr`es utilis´ees
danslamod´elisationdeph´enom`enes physiques, carelles seprˆetent extrˆemement bienaucalcul.
1.1 D´efinitionsetpropri´et´esdesvariablesal´eatoiresgaus-
siennes `a valeurs r´eelles
D´efinition 1.1 Une variable al´eatoire `a valeurs r´eellesX est dite gaussienne r´eduite et centr´ee
si sa loi de probabilit´e admet la densit´e :
21 x
√f(x) = exp− , x∈ .
22π
On noteN (0,1) cette loi. Rappelons que1
Z
21 x
[f(X)] =√ f(x)exp − dx,
22π
pour toute fonction bor´elienne born´ee ou positive. En particulier,
Z 2 √x
exp − dx = 2π.
2
Z x2 2√Remarque : On introduit la fonction d’erreur erf d´efinie par erf(x) = exp(−t )dt. Si
π 0√
X suit une loiN (0,1) alors (|X|≤ 2x) = erf(x).1
5



´6 CHAPITRE 1. VARIABLES ALEATOIRES GAUSSIENNES
Proposition 1.1 Soit X une v.a.r. gaussienne r´eduite et centr´ee.
zX1) Pour tout z∈ , [|e |]<∞ et
2[expzX] = expz /2. (1.1)
En particulier
2−t /2[exp(itX)] =e , ∀t∈ . (1.2)
2) Pour tout n∈ , on a
(
0 si n est impair,
n(X ) = (2m)! (1.3)
, si n est pair, n = 2m.
mm!2
R
1 2D´emonstration : On v´erifie que l’int´egrale exp(zx− x )dx est absolument convergente
2
zX(e ) est bien d´efinie et,pour tout z complexe. Par cons´equent la quantit´e ϕ(z) =
Z
1 1 2ϕ(z) =√ exp(zx− x )dx.
22π
21 2 1 2 zSupposonsz r´eel. On ´ecrit zx− x =− (x−z) + et l’on fait le changement de variable
2 2 2
2 2z /2 z /2y = x−z dans l’int´egrale, il vient ϕ(z) = e . Remarquons que ϕ et z→ e sont deux
fonctions enti`eres; puisque ces deux fonctions co¨ıncident sur , elles sont ´egales sur . En
2−t /2particulier, si z =it avec t∈ , on a : (exp(itX)) =e , t∈ .
n|x|Soit n≥ 1. Sachant que lim = 0, il existe une constante c telle que|x|→∞ nch(x)
n x −x|x| ≤c (e +e ), ∀x∈ . (1.4)n
nPuisque (exp(aX)) existe pour tout r´eel a, on d´eduit de (1.4) que (|X| ) < ∞. Par
ncons´equent, (X ) existe pour tout n≥ 1.
itxPar ailleurs, en utilisant le d´eveloppement en s´erie enti`ere de x→e , on peut affirmer que,
presque suˆrement,
n kX (it)itX ke = lim S , S = X .n n
n→∞ k!
k=0
Mais|S |≤Y avecn
∞ k kX|t||X| |tX| tX −tXY = =e ≤e +e .
k!
k=0
En utilisant a` nouveau le fait que (exp(aX)) <∞, on en d´eduit que Y est int´egrable. Une
application du th´eor`eme de Lebesgue, conduit `a,
 
n n nX X(itX) i t n (exp(itX)) = = (X ).
n! n!
n≥0 n≥0
Par identification on en d´eduit (1.3).




















´ ` ´1.1. VARIABLES ALEATOIRES GAUSSIENNES A VALEURS REELLES 7
Notons en particulier (X) = 0, Var(X) = 1. Ce qui justifie le terme “r´eduit” et “centr´ee”.
D´efinition 1.2 Une variable al´eatoire r´eelle est dite gaussienne s’il existe une v.a. X gaus-
sienne r´eduite et centr´ee, et deux r´eels a et b tels que Y =aX +b.
On peut identifier a et b `a l’aide de l’esp´erence et la variance de Y, plus pr´ecis´ement,
2 2(Y) =b, VarY =a ×VarX =a .
Posons σ =|a| et m =b, et supposons a≥ 0, alors
Y =σX +m, X de loi gaussienne r´eduite et centr´ee. (1.5)
Si a < 0, on ´ecrit Y = (−a)(−X)+b, on peut se ramener au cas pr´ec´edent en observant que
−X suit une loi gaussienne r´eduite et centr´ee.
Larelationpr´ec´edentepermetd’exprimerX `al’aidedeY.Eneffet,soientY unev.a.gaussienne,
Y−mm = (Y)etσ = VarY.Onsupposeσ> 0.Alorslav.a.Y = estunev.a.deloigaussienne∗ σ
r´eduite et centr´ee et
Y =σY +m. (1.6)∗
2 2OnnoteN (m,σ )laloi d’unev.a. deloi gaussienne demoyennemet devarianceσ .Uncalcul1
ais´e montre :
21 (x−m) 2√ exp− est la densit´e de N (m,σ ). (1.7)122σσ 2π
2Soit Y de loiN (m,σ ), on d´eduit de (1.6)1
itm[exp(itY)] =e [expi(tσ)Y ].∗
Une application directe de (1.1) et (1.2) conduit `a,

2t 2[exp(itY)] = exp itm− σ , t∈ . (1.8)
2
Enutilisantl’injectivit´edelatransform´eedeFourier,onmontrequesiX estunev.a.tellequela
2 2fonctioncaract´eristique (c’est-`a-direlafonctiont→ (exp(itX))est´egale`at→ exp(ita−t b )
ou` a∈ et b∈ , X est une v.a. gaussienne.
2Proposition 1.2 SoientY etY deux v.a. gaussiennes, ind´ependantes,Y de loiN (m ,σ ),1 2 1 1 1 1
2 2 2Y de loiN (m ,σ ). Alors Y +Y est une v.a. gaussienne de loiN (m +m ,σ +σ ).2 1 2 1 2 1 1 22 1 2
D´emonstration : Les v.a. Y et Y ´etant ind´ependantes, on a pour tout t r´eel :1 2
ϕ(t) = [exp(it(Y +Y ))] = [exp(itY )] [exp(itY )].1 2 1 2
De plus Y et Y sont gaussiennes, d’apr`es (1.8), on a :1 2

2 2 2 2t σ t σ1 2ϕ(t) = exp itm − exp itm −1 2
2 2

2 2 2t (σ +σ )1 2= exp it(m +m )− .1 2 2










´8 CHAPITRE 1. VARIABLES ALEATOIRES GAUSSIENNES
Remarques
1) Le r´esultat peut ˆetre faux si l’on ne suppose plus Y et Y ind´ependantes.1 2
2)Plac¸ons-noussousleshypoth`esesdelaproposition1.2.Sil’onsaitqueY +Y estgaussienne,1 2
2de loiN (m,σ ), il est ais´e d’identifier les deux param`etres :1
m = (Y +Y ) = (Y )+ (Y ) =m +m ,1 2 1 2 1 2
2 2 2σ = Var(Y +Y ) = VarY +VarY =σ +σ .1 2 1 2 1 2
La deuxi`eme ´egalit´e a lieu car Y et Y sont deux v.a. ind´ependantes.1 2
3) Le r´esultat se g´en´eralise sans difficult´e au cas de n v.a. : soient Y ,Y ,...,Y , n v.a.r.,1 2 n
2ind´ependantes, Y de loiN (m,σ ), 1≤i≤n, alorsi 1 i i
!
n nX X
2Y +Y +...+Y suit une loi N m, σ . (1.9)1 2 n 1 i i
i=1 i=1
1.2 Esp´erance et covariance de variables al´eatoires `a va-
leurs vectorielles
Avant de consid´erer les vecteurs gaussiens, il est bon de rappeler les d´efinitions et propri´et´es
des v.a. `a valeurs vectorielles.
D´efinitions et notations
∗ n1) Si A est une matrice d’ordre, A d´esigne la matrice transpos´ee. En particulier si x∈
∗est consid´er´e comme un vecteur unicolonne, x est une matrice uniligne. Si x et y sont deux
nvecteurs de , leur produit scalaire est not´e :
nX
∗ ∗ ∗ ∗<x,y>=x y =y x = xy, x = (x ,...,x ), y = (y ,...,y ).i i 1 n 1 n
i=1
n2) Une v.a.X `a valeurs dans est la donn´ee den v.a. `a valeurs r´eellesX ,X ,...,X . On note1 2 n
X la matrice unicolonne de coordonn´ees X ,X ,...,X :1 2 n
 
X1
 X2 
 X3∗  X = (X ,X ,...,X ) ou encore X = . (1.10)1 2 n  . 
 .
Xn


´ ´ `1.2. ESPERANCEETCOVARIANCEDEVARIABLESALEATOIRESAVALEURSVECTORIELLES
Pour d’´evidentes raisons typographiques, on choisira la premi`ere ´ecriture.
3) Soit X une v.a. de coordonn´ees X ,X ,...,X , on note (X) le vecteur unicolonne de coor-1 2 n
donn´ees (X ), (X ),..., (X ) :1 2 n
∗(X) = ( (X ), (X ),..., (X )). (1.11)1 2 n
On suppose bien suˆr que chaque v.a. X admet une esp´erance. 4) Soit X (resp. Y) une v.a. `ai
n mvaleurs dans (resp. ),K est la matrice d’ordren×m (n lignes etm colonnes) d´efinieX,Y
par
∗K = [(X− (X))(Y− (Y)) ]. (1.12)X,Y
∗Remarquons queX− (X) est une matricen×1 et (Y− (Y)) une matrice 1×m, le produit
∗(X− (X))(Y− (Y)) est une matrice n×m. Soit K (i,j) l’´el´ement de K situ´e `a laX,Y X,Y
i`eme ligne et j`eme colonne, alors :
K (i,j) = Cov(X,Y ); 1≤i≤n, 1≤j≤m, (1.13)X,Y i j
ou` Cov(U,V) = (UV)− (U) (V). Rappelons que siU etV sont deux v.a. `a valeurs r´eelles,
Cov(U,V) = [(U− (U))(V− (V))] = [UV]− [U] [V].
Si l’on choisit Y =X, la matrice K est appel´ee matrice de covariance de X, on note pourX,X
simplifier K =K . Cette matrice est carr´ee d’ordre n, et :X X,X
∗K = [(X− (X))(X− (X)) ]. (1.14)X
K (i,j) = Cov(X,X ); 1≤i≤n, 1≤j≤n. (1.15)X i j
Nous allons `a pr´esent donner quelques propri´et´es utiles en pratique. La d´emonstration en est
laiss´ee au lecteur.
Propri´et´es
n m1) Soient X une v.a. `a valeurs , A une matrice d’ordre m×n, u un vecteur de . Alors
[u+AX] =u+A (X). (1.16)
2) Comme dans le cas unidimensionnel, on a deux formules pour calculer la covariance :
∗ ∗K = (XY )− (X) (Y) . (1.17)X,Y
En particulier,
∗ ∗K = (XX )− (X) (X) . (1.18)X
n m3) Soit A une matrice d’ordre m×n, X une v.a. `a valeurs dans et u∈ , alors
∗K =K =AK A . (1.19)u+AX AX X


































´10 CHAPITRE 1. VARIABLES ALEATOIRES GAUSSIENNES
1.3 Vecteurs al´eatoires gaussiens
Nous conservons bien suˆr les notations de la section pr´ec´edente, les v.a. vectorielles seront
repr´esent´ees par des matrices unicolonnes.
nD´efinition 1.3 Une v.a. X a` valeurs dans , est dite gaussienne (on dit aussi que X est un
n ∗vecteur al´eatoire gaussien) si et seulement si pour tout λ∈ , λ = (λ ,...,λ ),1 n
nX
∗<λ,X >=λ X = λX est une v.a. gaussienne r´eelle. (1.20)i i
i=1
Remarques :
1) Il est clair que siX est un vecteur gaussien, alors chaque composanteX deX est une v.a.r.i
gaussienne.
2)L’exemplecl´edevecteurgaussienestceluiou`X ,...,X sontnv.a.gaussiennes,ind´ependantes.1 n
Il suffit en effet d’appliquer directement (1.9). Attention l’hypoth`ese d’ind´ependance est essen-
tielle. Il est facile de construire un exemple ou` X etX sont deux v.a.r. gaussiennes telles que1 2
(X ,X ) ne soit pas un vecteur gaussien.1 2
Proposition 1.3 SoitK la matrice de covariance d’un vecteur gaussien X. Alors, pour tout
nu∈ ,
1 ∗i<u, (X)>− u Ku
2(exp(i<u,X >)) =e , (1.21)
ou` u est repr´esent´e sous la forme d’une matrice unicolonne.
∗D´emonstration : La v.a. Y =< u,X >= u X est une v.a. gaussienne et (Y) =<
∗u, (X) >. De plus d’apr`es (1.19) : VarY = u Ku. Par cons´equent, une application directe
1i (Y)− VarY
2de (1.8) conduit a` : [exp(i<u,X >)] =e .
Remarques :
1) Si n= 1, on retrouve exactement la formulation de (1.8). On peut remarquer d’ailleurs que
pour ´etablir la proposition 1.3, on se ram`ene au cas unidimensionel.
2)Laproposition1.3signifie quelaloid’unvecteur gaussienX est caract´eris´eepar samoyenne
met samatricedecovarianceK :siX etY sontdeux vecteurs gaussiens, ayant mˆememoyenne
etmˆemematricedecovariance,ilsontmˆemeloi.Attentioncettepropri´et´econcernelesvecteurs
gaussiens, elle n’est pas vraie en g´en´eral, il n’y a aucune raison pour que deux v.a. `a valeurs
r´eelles qui ont mˆeme moyenne et mˆeme variance aient mˆeme loi.
nProposition 1.4 Soient X un vecteur gaussien `a valeurs dans , m sa moyenne et K saX
pmatrice de covariance, A une matrice p×n (p lignes et n colonnes) et z un vecteur de .
On pose Y =AX +z. Alors Y est un vecteur gaussien et
∗(Y) =z+Am, K =AK A , (1.22)Y X
K d´esignant la matrice de covariance de Y.Y