Cours de Math IV Algebre

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Niveau: Supérieur

  • cours - matière potentielle : math iv


Cours de Math IV Algebre (R. Bahloul, 2e semestre 2009/2010) 1

  • diagonalisation des matrices symetriques

  • x? ?

  • matrices unitaires

  • endomorphismes orthogonaux en dimension

  • algebre lineaire

  • memes lois

  • relation d'equivalence

  • groupe orthogonal

  • couple d'espaces vectoriels


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Cours
(R.
de
Bahloul,
Math
2
e
IV
semestre
1
Al`ebre g
2009/2010)
2
Leslivresutilise´slorsdelapr´eparationdececoursfurentlessuivants. Refe´rences ´ [1]JosephGrifone,Alg`ebreline´aire,2eioit.nsitide´eds´`edupa´e,con [2]X.Gourdon,LesMathsentˆete-Alg`ebre(ellipses). [3]Ren´eDeheuvels,formesquadratiquesetgroupesclassiques,puf. Tabledesmati`eres Re´fe´rences2 1. Espace vectoriel quotient 4 1.1. Notions preliminaires - Rappels 4 ´ 1.2.D´enitiondunespacevectorielquotient5 1.3. Codimension 6 1.4. Application quotient 7 2.Dualit´e8 2.1. Introduction 8 2.2.D´enitiondudualetpremiersre´sultats9 2.3. Base duale 10 2.4.Baseante´duale11 2.5. Annulateurs 11 2.6.Transpose´e12 2.7. Bidual 14 3.Formebilin´eairesuruncoupledespacesvectoriels15 3.1.Premi`eresd´enitions15 3.2. Matrices associ´ 15 ees 3.3.Applicationslin´eairesassocie´es-Rangdeb16 3.4.Caracte´risationdurangentermed´ecrituredansdesbases18 3.5.Nonde´ge´n´ere´scence-relationsdorthogonalite´19 3.6.Generalite´ssurlesformesbilin´eairessurunespacevectoriel-Noyau ´ ´ duneformebilin´eaire-Adjointduneapplicationlin´eaire20 4.Formesbilin´eairessym´etriquesetformesquadratiques23 4.1.Relationentreformesbilin´eairessym´etriquesetformesquadratiques23 4.2. Bases orthogonales 25 4.3. Point de vue pratique : orthogonalisation de Gauss 26 4.4.Formesquadratiques´equivalentes31 4.5. Formes quadratiques surC32 4.6. Formes quadratiques sur unR33 4.7.Formesbilin´eairesantisyme´triquessurR35 5.Diagonalisationdesmatricessyme´triquesre´ellesetformequadratique sur un espace euclidien 38 5.1.Diagonalisationdesmatricesr´eellessym´etriques38 5.2. Forme quadratique sur un espace euclidien 41 6. Groupe orthogonal 43 6.1. Groupe orthogonal d’un espace euclidien 43 6.2. Groupe orthogonal 45 6.3.Endomorphismesorthogonauxendimension2:Isom´etriesdunplan vectoriel 46 6.4.R´eductiondesendomorphismesorthogonaux47
7.Formessesquilin´eairesethermitiennes 7.1. Introduction 7.2.Ge´ne´ralite´ssurlesformessesquilin´eairessurE×F 7.3.Ge´ne´ralite´ssurlesformessesquiline´airessurE 7.4.Forme(sesquiline´aire)hermitienneetformequadratiquehermitienne 7.5. Diagonalisation des matrices hermitiennes et forme hermitienne dans un espace hermitien 7.6. Matrices unitaires
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49 49 49 51 51 56 56
4 1.Espace vectoriel quotient Lanotiondespacevectorielquotientesta`rapproch´eedecequiestconnuconcer-nantZnZbosu(tejsuos-llaimoerlodusounedxuacestsedrtva.Lid´eedansles groupe(ouide´al)dansuncas,sous-espacevectorieldanslautre). 1.1.tiNos.s-Rappelminiiaernops´rle D´enition1.1.1.elerioatsqonunuaRleppuieq´ndenclevasur un ensembleA est une relation binaire surA:safsitasitaantruxspoiprrote´isse´aviusetn R´eexivit´e:xA xx Sym´etrie:x yA, sixyalorsyx Transitivite´:x y zA, sixyetyzalorsxz. De´nition1.1.2.Soitavelcnsedn´qeiumbleurunenseelerioatunA. – PourxA, on note¯x={yA|xy}.nOlpaecniuqeelavssla´edllpeacel deA. (Il s’agit donc d’un sous-ensemble deA.) Ond´enitlespacequotientAdeAparcomme l’ensemble{¯x|xA}. Il s’agit donc d’un sous-ensemble deP(A). – SoitXAmentel´eU.´nxdeXes)tae(tdanntseascllanue´leppese´rper X. Proposition 1.1.3.SoitAun ensemble. (1)Soituresncleuner´qeiuavletaoidnA. AlorsAesntediojsidnoinue´ral classesd´equivalences(autrementdit,lesclassesd´equivalenceformentune partition deA). (2)SoitA=SiIXiune partition quelconque deAe´nD.snalsiostionrela binaire suivante. Pourx yA,xyiI{x y} ⊂Xi. Alorsestunerelationde´quivalence. Lapreuveestlaisse´eenexercice. Onpeuttraduirecettepropositioncommesuit:sedonnerunerelationde´quivalence ou se donner une partition sont deux cho ´ ivalentes ses equ . Supposons maintenant que surAil y ait une loi interne qu’on noteet une structure externe sur (par exemple) un corpskqu’on noteλx. On dit que les lois sont compatibles avec la relationisrporpselsse´te´iesntvaui sont satisfaites. – Pourx x y yA, sixxetyyalorsxyxy. – Pourx xAet pourλk, sixxalorsλxλx. L’espace quotientAdeApar la relationtserolasusstpecleibˆedemtriun desmeˆmesloisqueAetc).tivit´e,e´te´irpicossa(s´eitivattamuom,clesmavecsproˆeme En effet, soientXetYsdnte´euxmeleedE. On a envie de poser :XY=xyo`u xdeuenqcoelestutnuqneat´rsernpeX(i.e.xX) etyse´rpernuatneuqtnocleeuqn deYellened´ependpasnsevtladiqeeuis.d´Lanieontitsanntsedxiohcude´rperse xety. Autrement dit, si on avait fait un autre choixxetnereprresr´oupXet un autre choixyestnreurrepr´epoY, on devrait pouvoir poserXY=xy; et c’est le cas si la relationest compatible avec la loi. Demeˆme,onveutposerλX=λxlilaiottectetine´del´stneioesimiteg externe est compatible avec la relation. Un exemple connu d’une telle situation :
5 Exemple 1.1.4.SoitA=Z. SoitnZnite´dnO.delafa¸consuvinaet: ab⇐⇒abnZ.Cteetlareontiutseerenitaldno.e)icrcexe(ecnelaviuqe´ L’ensemble quotient obtenuA´etnotesZnZ. L’ensembleA ations internes ´est muni de deux o+et×tionssonesop´eratC. per compatibles avecicrexe(´dnO.)ectreaemonquelorsZnZest un anneau comme l’estZ. 1.2.inenoitnudapseD´ne.tcevectorielquotiSoit (E+k) un espace vec-toriel etFun sous-espace vectoriel deEvaOned´rlniuoeqdteitne.EparF. De´nition1.2.1. (1)nabiontiuresirine´dnOalerenutE(nddequid´epeF) : pourx yE, xy⇐⇒xyF. Exercice:cestunerelationd´equivalence. (2)On appelle espace quotient deEparFl’ensemble quotientEet on le noteEF. (3)PourxE, on notexla classe dexdans ce quotient. On dit aussi classe ¯ dexmoduloF. Proposition 1.2.2.PourxE, on a ¯x=x+F:={x+y|yF} D´emonstration. : Soitxx¯ alorsxxFdo`uxx+F. : Soitxx+F. Alors il existeyFtel quex=x+ynt,equeons´Parc. ¯ xx=yF. Ainsixx, i.e.x=x¯ ou encorex¯x Ainsi, l’ensembleEFn’est rien d’autre que l’ensemble desx+FavecxE, i.e.cestlensembledetouslestranslate´sdeF. ¯ Remarque 1.2.3.PourxE, on a :xF⇐⇒¯x= 0 D´emonstration.En exercice.Pour le momentEFn’est rien d’autre qu’un ensemble. Proposition 1.2.4.Les operations+etntsoibatmpcoevlcelastaoiraleequind´nce.vale ´ D´ onstration.Soientx x y yEtels quexxetyy. Soitλk. On doit em montrer quex+yx+yetλxλx. Parhypothe`se,xxFetyyF, i.e. il existex′′ y′′Ftels quexx=x′′ etyy=y′′.Parcon(´sqeeutnx+y)(x+y) = (xx) + (yy) =x′′+y′′F ce qui montre bien quex+yx+yConcernant le produit, on a :λxλx=λ(xx) =λx′′F. AinsiλxλxGrˆace`acetteproposition,onpeutde´nirdeuxope´rations:+etsurEF. De´nition1.2.5.SoientX YEFetλk. SoientxX(i.e.xtnatnruenesr´ep deX) etyY(i.ey´rpenesesernutnttadeY). On pose alorsX+Y=x+yet λX=λx.