Cours de mathématiques BTS SIO première année

Cours de mathématiques
BTS SIO première année
Nicolas FRANCOIS
nicolas.francois@free.fr
3 novembre 20112Table des matières
I Numération 1
I Introduction : que signifie 1789 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Les numérations de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A Numération en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B Numérations en baseb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
C Deux bases particulièrement utiles en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Conversions, changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
A Conversion de la baseb à la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B de la base décimale à la baseb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
C Conversion directe entre binaire et hexadécimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Annexe : représentation informatique des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A Les entiers non signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B Les signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C Les nombres en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Feuille d’exercices n 1 – numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II Calcul des propositions 11
I Propositions, valeurs de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
B Équivalence de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
C Conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
D Disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
E Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A Commutativité et associativité de_ et^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
C Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
D Loi de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
E Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Feuille d’exercices n 2 – calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
iIII Matrices 21
I Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
C Égalité matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B Produit d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
C Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Feuille d’exercices n 3 – Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV Rappels et compléments sur les suites 31
I Notion de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C Deux modes de définition de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D Comportement global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
V Langage de la théorie des ensembles 33
I Notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VI Arithmétique 35
I Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
II Divisibilité, nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
B Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
C Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III PGCD, nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
VIICalcul des prédicats 37
I Notion de prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
VIII Quelques fonctions usuelles 39
I Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
III Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
IX Produit matriciel 41
I Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iiX Algèbre de Boole 43
I Notion d’algèbre de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iiiivChapitreI
Numération
ARITHMÉTIQUE 1
Sommaire
I Introduction : que signifie 1789 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Les numérations de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A Numération en base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B Numérations en base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
C Deux bases particulièrement utiles en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Conversions, changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
A Conversion de la base b à la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B de la base décimale à la base b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
C Conversion directe entre binaire et hexadécimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Annexe : représentation informatique des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A Les entiers non signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B Les signés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C Les nombres en virgule flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Feuille d’exercices n 1 – numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1I. INTRODUCTION : QUE SIGNIFIE 1789 ?
On a besoin, dans de nombreux domaines, de pouvoir exprimer des quantités. Pour dire qu’on a
un troupeau de 252 moutons, on pourrait montrer une allumette par tête, ou tracer un bâton par
1
tête, de manière à ne pas avoir à trimballer tout son troupeau, mais cela ne serait guère pratique .
Il a donc fallu, au cours du temps, inventer des méthodes plus efficaces pour représenter les quan-
tités. L’arrivée des symboles a permis de représenter les nombres par des écritures plus ou moins
faciles à manipuler : systèmes babylonien, égyptien, basés sur la représentation de certaines quan-
tités par des symboles, et par mise bout-à-bout de ces symboles pour les autres nombres, système
romain, dans lequel la position d’un symbole peut modifier la significatio