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Master, Supérieur, Master
  • cours - matière potentielle : methodes d' approximation des equations aux derivees partielles par differences finies
Master MAP M1 Math APPLIQUEE UE2 EDP2 2010/2011 1 COURS METHODES D'APPROXIMATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES PAR DIFFERENCES FINIES ET VOLUMES FINIS DAVEAU CHRISTIAN 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Temps t= 0.44118 LDG uex 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Temps t= 0.5 LDG uex 1. Universite de Cergy-Pontoise, Departement de mathematique, 95302, Cergy-Pontoise, cedex France.
  • etablissement du schema
  • approximation de problemes elliptiques par la methode des differences finies
  • resolution de l'equation de transport
  • deuxieme propriete
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  • solutions

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Master MAP M1 Math APPLIQUEE UE2 EDP2 2010/2011 1
COURS METHODES D’APPROXIMATION
DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
PAR DIFFERENCES FINIES ET VOLUMES FINIS
1DAVEAU CHRISTIAN
Temps t= 0.44118 Temps t= 0.5
LDG LDG
uex uex
1.2 1.2
1 1
0.8 0.8
0.6 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2
0 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1. Universite de Cergy-Pontoise, Departement de mathematique, 95302, Cergy-Pontoise, cedex France.2Table des matieres
1 Introduction 5
1.1 De nition d’une equation aux derivees partielles (e.d.p) . . . . . . . . 5
1.2 Exemples et classi cation si l’ordre est 2. . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Approximation de problemes elliptiques par la methode des di er-
ences nies 7
2.1 Introduction du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 En une dimension d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Etude de l’existence et unicite de la solution . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Approximation par la methode des di erences nies (DF) . . . 10
2.2.3 Etude mathematique de la methode des DF : stabilite au sens
1de la norme l , consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 En deux dimension d’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Approximation de problemes hyperboliques par la methode des
di erences nies 19
3.1 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Resolution de l’equation de transport a coe cients constants . 20
3.1.3 Approximation par DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 D’autres schemas explicites, schema saute-mouton . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Notion de CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1 Formule de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2 C^one de dependance et propagation a vitesse nie . . . . . . . 26
3.3.3 Regularite du probleme de Cauchy f = 0 . . . . . . . . . . . . 26
3.3.4 Re de la solution avec un terme source . . . . . . . . . 27
3.3.5 Conservation de l’energie-Unicite . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.6 Approximation par DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 TABLE DES MATIERES
4 Approximationd’unproblemeparaboliqueparlamethodedesdi erences
nies 33
4.1 Probleme modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Schema de Crank et Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 Etablissement du schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.2 Etude theorique du schema de Crank et Nicholson : stabilite,
consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Approximation d’un probleme elliptique par la methode des vol-
umes nis 37
5.1 Probleme modele, maillage volumes nis . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Schema volumes nis et notion de Flux numerique . . . . . . . . . . . 37
5.3 Analyse mathematique du schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5 Annexe I : Memento Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.6 II : une petite bibliotheque en scilab . . . . . . . . . . . . . . 43Chapitre 1
Introduction
1.1 De nitiond’uneequationauxderiveespartielles(e.d.p)
C’est une equation dont l’inconnue est une fonction et portant sur les derivees
partielles de cette fonction :
n{ l’inconnue : u : R !R
p n{ l’equation F(x;u(x);Du(x);:::D u(x)) = 08x2R (ou ) avec
2 pn n nF : R RR ::R !R est donnee. p s’appelle l’ordre de cette edp.
1.2 Exemples et classi cation si l’ordre est 2.
Les edp sont des transcriptions mathematiques de phenomenes intervenant en
physique, chimie, nance, biologie....
On distingue trois grandes categories d’edp :
1. les edp de type elliptique dont le prototype est l’equation de Poisson
n 2X@ u nu(x) = (x) =f(x) 8x2
R :
2@xii=1
2. les edp de type parabolique dont le prototype est l’equation de la chaleur :
@T n(x;t) T(x;t) = 0 8x2
R ; 8t> 0; > 0:
@t
Il s’agit d’un probleme d’evolution car la variable t du temps intervient.
3. les edp de type hyperbolique dont les prototypes sont
{ l’equation de transport :
@u @u
n(x;t)+a (x;t) = 0 8x2
R ; 8t> 0; a2R
@t @x6 Introduction
{ l’equation des ondes :
2 2@ u @ u n(x;t) (x;t) = 0 8x2
R ; 8t> 0:
2 2@t @x
Si on considere une edp d’ordre 2 a coe cients constants du type
2 2 2@ u @ u @ u @u @u
a (x;t)+b (x;t)+c (x;t)+d (x;t)+e (x;t)+fu = 0
2 2@x @xy @y @x @y
avec a;b;c;d;e;f des reels donnes alors si la forme quadratique
2 2q(x;y) =ax +bxy+cy +dx+ey+f
{ est une ellipse l’edp est dite elliptique,
{ est une hyperbole l’edp est dite hyperbolique,
{ est une parabole l’edp est dite parabolique.Chapitre 2
Approximation de problemes
elliptiques par la methode des
di erences nies
2.1 Introduction du modele
nLe probleme modele est le suivant : soit
un domaine borne de R et f une
fonction aussi reguliere que necessaire de
a valeurs dans R. Nous cherchons u
solution de l’equation de Poisson :
n 2X@ u nu(x) = (x) =f(x) 8x2
R :
2@x
ii=1
Il faut preciser les conditions aux limites : nous prenons des conditions homogenes
de Dirichlet
u(x) = 08x2@

ou @
designe la frontiere de l’ouvert .
2.2 En une dimension d’espace
2.2.1 Etude de l’existence et unicite de la solution
Le probleme devient
00u (x) =f(x); 0<x< 1; u(0) =u(1) = 0: (1)
0ou f 2C ([0;1]) est donnee.
0 2Proposition 2.2.1 8f 2C ([0;1]),9!u2C ([0;1]) (solution classique) donnee par
Z 1
u(x) = G(x;y)f(y)dy8x2 [0;1] (2)
08 Approximation de problemes elliptiques par la methode des di erences nies
ou G s’appelle la fonction de Green du probleme et est de nie par

y(1 x) si 0yx;
G(x;y) =
x(1 y) si xy 1:
Preuve :
1) Existence : on peut proceder de 2 facons; soit on integre deux fois l’equation (1),
soit on montre directement que l’expression (2) est solution de (1).
On va montrer que (2) est solution de (1) :
Z Z Z1 x 1du d d
= ( G(x;y)f(y)dy) = ( y(1 x)f(y)dy+ x(1 y)f(y)dy) =
dx dx dx0 0 x
Z Zx 1
x(1 x)f(x) yf(y)dy x(1 x)f(x)+ (1 y)f(y)dy =
0 x
Z Z1 1
f(y)dy yf(y)dy:
x 0
1Notons que u2C ([0;1]).
2d u
= f(x):
2dx
2Donc u2C ([0;1]) et est solution de (1).
Remarque 2.2.1 On aurait pu ^etre tenter d’ecrire
Z 1du d
= G(x;y)f(y)dy
dx dx0
mais ceci est faux car x!G(x;y) n’est pas derivable sur [0;1] pour tout y2 [0;1].
2) Unicite : le problemeetant lineaire, il su t de montrer que pour f = 0 la solution
de (1) est nulle : si u et u sont solutions alors1 2
2d
(u u )(x) = 0; (u u )(0) = (u u )(1) = 0:1 2 1 2 1 2
dx
Pour montrer ce resultat il su t de montrer que toute solution de (1) s’ecrit sous la
forme (2). En e et
Z
1
8x2 [0;1]; G(x;y)0dy = 0:
0
Soit u solution de (1) en integrant deux fois on a
Z Z
x s
u(x) = ( f(y)dy)ds+ax+b
0 0
aveca etb a determiner avec les conditions aux limitesu(0) =u(1) = 0: On obtient
R R1 s
b = 0 et a = ( f(y)dy)ds:
0 02.2 En une dimension d’espace 9
D’ou8x2 [0;1],
Z Z Z Z1 s x s
u(x) =x ( f(y)dy)ds ( f(y)dy)ds
0 0 0 0
Z Z Z Z1 1 x x
(Fubini) =x ( f(y)ds)dy ( f(y)ds)dy
0 y 0 y
(on inverse l’ordre d’integration)
Z Z1 x
=x (1 y)f(y)dy (x y)f(y)dy)
0 0
Z 1
= f(y)[x(1 y) (x y)X (y)]dy[0;x]
0
2ou X est la fonction indicatrice de [0;x]. Soit G : [0;1] !R de nie par[0;x]
2G(x;y) =x(1 y) (x y)X (y)8(x;y)2 [0;1][0;x]
siy2 [0;x],G(x;y) =x(1 y) (x y) =y(1 x)etsiy2 [x;1],G(x;y) =x(1 y):
Ce qui termine la demonstration de la proposition.
0 2Theoreme 2.2.1 L’application T : C ([0;1]) ! C ([0;1]), f 7! u solution de (1)
est continue.
Preuve : T est lineaire (exo) il su t donc de montrer que
0jjT(f)jj 2 Cjjfjj 0 8f 2C ([0;1])C ([0;1]) C ([0;1])
ou C est une constante independante de f. On rappelle que
jjujj 0 =sup ju(x)jC ([0;1]) x2[0;1]
0 00 0et jjujj 2 = jjujj 0 +jjujj 0 +jju jj 0 : Soit f 2 C ([0;1]) et uC ([0;1]) C ([0;1]) C ([0;1]) C ([0;1])
solution de (1), d’apres la proposition precedente
Z 1
u(x) = G(x;y)f(y)dy;
0
Z Z1 1
0u(x) = f(y)dy yf(y)dy
x 0
et
00u (x) = f(x):
28(x;y)2 [0;1] ; jG(x;y)j 1
donc
jjujj 2 4jjfjj 0 :C ([0;1]) C ([0;1])
La deuxieme propriete importante est le principe du maximum.10 Approximation de problemes elliptiques par la methode des di erences nies
0 2Proposition 2.2.2 Soit f 2C ([0;1]), et u2C ([0;1]) la solution de (1). Alors
f 0 implique u 0:
Preuve; supposons quef(x) 0 pour toutx2 [0;1], commeG(x;y) 0 pour tout
2(x;y)2 [0;1] alors u est l’integrale d’une fonction positive et est donc positive. La
derniere propriete est une propriete de delocalisation du support :
0Proposition 2.2.3 Soitf 2C ([0;1]) telle quef 0 etsupp(f) [x ;x +] avec0 0
x 2 [0;1] et > 0, on considere la solution u de (1) alors0
8x2]0;1[; u(x)> 0:
2Preuve : il su t de remarquer que G(x;y)> 0 pour tout (x;y)2]0;1[ . Donc
Z Z1 x +0
u(x) = G(x;y)f(y)dy = G(x;y)f(y)dy> 08x2 [0;1]:
0 x0
Bilan : on retiendra qu’une equation elliptique
0 2{ est regularisante : si les donnees f 2C alors la solution u2C
{ a une solution qui depend de maniere continue des donnees
{ a une positive si les donnees sont positive
{ a en general une solution non nulle sur tout l’interieur du domaine m^eme si les
donnees ne sont non nulles que sur un domaine tres petit.
0Si les donnees ne sont pas reguliere, f 2= C ([0;1]), il faudra de nir en quel sens
l’equation est veri ee etetudier l’existence et l’unicite de solutions. Pouretendre les
resultats, on utilisera la theorie des distributions et on cherchera la solution dans un
espace de Sobolev.
2.2.2 Approximation par la methode des di erences nies (DF)
Nous introduisons un maillage de [0;1] : pour N xe, on introduit un pas de
discretisation h = 1=(N + 1) et nous posons x = jh; avec j = 0;:::;N + 1 lesj
N +2 points du maillage.
Le but de la methode numerique consiste a calculer des valeurs les plus exactes
possibles de u(x ) pour i = 1;N.i
La premiere etape consiste a trouver une formule qui permet d’approcher la
00derivee u en chacun des pointsx a l’aide des valeurs (u(x )) . Pour cela, onj j j=1;N
utilise des developpements de Taylor de u :
2 3 4h h h
0 00 (3) (4)u(x+h) =u(x)+hu(x)+ u (x)+ u (x)+ u ( )
2 6 24