Cours sur les suites l
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Cours sur les suites l'intégrale et l'algèbre linéaire élémentaire

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Description

Niveau: Supérieur
Driss Boularas MATHEMATIQUES Premiere annee deuxieme semestre annee universitaire 1997 - 1998 1

  • premiere annee

  • y2 ≥

  • deuxieme semestre

  • demi-axe positif des ordonnees et du sommet

  • annee universitaire


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Nombre de lectures 15
Langue Français

Exrait

Driss Boularas
´ MATHEMATIQUES
Premie`reann´ee
deuxie`mesemestre
anne´euniversitaire1997-1998
1
Chapitre
Rappels
0.1
0
Ensembles
et
ope´rationssurlesensembles
Lanotiondensembleestintuitive.Samanipulationestpre´cis´eeparlesop´erations d´eniesci-dessous.Lespremiersexemplessontceuxdesensemblesdenombres. Notations “usuelles” des ensembles de nombres :
N: ensemble des nombres entiers naturels, Z: ensemble des nombres entiers relatifs, Relssr´embreesnolbdesnmee:, C: ensemble des nombres complexes, R":{x!R;x#0}, R!+:{x!R;x >0},
N!:{x!N;x"= 0}, Q: ensemble des nombres rationnels, R!:{x!R;x= 0}, C!:{x!C;x"= 0}, R+:{x!R;x$0}, R!":{x!R;x <0}.
Demanie`reg´ene´rale,lesensembleslespluscourantssontlesensemblesdenombres,de pointsg´eome´triques(duplanoudelespace)oudefonctions(dontlade´nitionsera donn´eeplustard).
0.1essnnuedserpmelb´emen´elchacntdeuretiCc´´eenedts
0.1.1
Parties d’un ensemble
SoitEun ensemble quelconque. Une partie deEstmenel´´eestlonedblemsnenutse appartiennenta`E. Exemples 1. On poseE=R2. Les ensemblesA={(x, y)!R2;|x|<1}et B={(x, y)!R2;x et= 1y$1}sont bien des parties deE.
2.
3.
SiEmbleensen,luplaesengnelceatedrsst´dsembsedeleneigenle`tadserauqslird une partie.
SoitEofcnitnodse´neisdanssedelbmesnelRsnad,`avaleursRet continues. L’en-semble des fonctions polynomiales est une partie deE.
3
4
CHAPITRE 0. RAPPELS
0.2 ntant ´En reR2srtieseiserd,seapenlre`t´orpp`eepnrauraparnalpnuAetBde prese l’exemple 1.
0.3tieduplan?resese-tlinuperaedblquesriadt`laelmesn
0.4des fonctions rationnelles n’est pas une partie deL’ensemble Ede l’exemple 3 ci-dessus. Pourquoi ?
On noteP(E), l’ensemble des parties de l’ensembleE. SiAest une partie deE, on note
A%E
ouA!P(E).
Un cas particulier de partie deEeparsigned´e.Onlivedbmelneestsle&.
0.1.2
Re´union
SoientAetBdeux parties deE.apOnllpee´reoinuednAet deBla partie deE, note´eA'Brpae,dte´nei
A'B={x!E;x!Aoux!B}.
Exemple :E=R2, A={(x, y)!R2;|x|<1}, B Dessiner la partieA'B.
={(x, y)!R2;x
= 1 ety$1}.
Dans la suite l’ensemble d’indicesI” est une partie deNouZ, (en particulierNouZ toutentiers),toutensachantquelonpeutde´nirplusge´n´eralementcettenotion. Defac¸onanalogue,ond´enitlar´euniondunefamilledeparties(Ai)i#IdeEo,u`I estunensembledindicesdonn´e.Onappeller´euniondelafamille(Ai)i#Ientiarapltoe´e !Aie´tgeale`a i#I !Ai={x!E;(i!Iairtne´vx!Ai}.
i#I Exemple :SiE=R, I=N!etAi= ])i, i[, alors!Ai= i#I
0.1.3
Intersection
R.
SoientAetBdeux parties deE. On appelle intersection deAet deB, la partie de E,on´teeA*B`la,get´e e a
A*B={x!E;x!Aetx!B}.
Exemple :E=R2, A={(x, y)!R2;x2+y2<1}, B={()1,0),(0,)1),(1,0),(0,1)}.
A*B
=&.
´ 0.1. ENSEMBLES ET OP ERATIONS SUR LES ENSEMBLES
5
Defa¸conanalogue,ond´enitlintersectiondunefamilledeparties(Ai)i#IdeE`uo,Iest unensembledindicesdonn´e.Onappelleintersectiondelafamille(Ai)i#Iot´eelentiarap
"Aiet´egla`ea i#I "Ai={x!E;+i!xI,!Ai}. i#I Exemple :E=R, I=N!, Ai= ])1,i1i[,"Ai={0}. i#I
0.1.4
Di!teisblemnseence´er
SoientAetBdeux parties deE. On appelle di!´enerencembseiltsdeeAet deB, la partie deE,not´eeA\Be´te,a`elag
A\B={x!A;x /!B}.
Exemple :On poseE=R2, A={(x, y)!R2;x2< y}, B={(x, y)!R2;x= 0}, C={(x, y)!R2;y= 0}. Les partiesA\BetA\Ctnalaptroseeriv´olepbarapaledsusseduea´etusianplduie respectivementdudemi-axepositifdesordonn´eesetdusommet(0,0).
0.5erirce´dA\(B'C) etA\(B*C).
0.1.5Comple´mentaire
Un cas particulier de la di!ucomageapassstle.iaeremtnlpe´re´ceenseenlimbeest Onappellecomple´mentairedelapartieAdansE, la partie deE,on´teeE\A,tee´lega`a
Exemple :E=R2,
0.1.6
E\A={x!E;x"!A}.
A={(x, y)!R2;x2+y2<1}.
E\A={(x, y)!R2;x2+y2$1}.
Produitcart´esien
SoitEetFseenlembOns.peapxuedsiendellpeorudtiactre´EparF,lenet´nolembse E,F´le´sede´utitsncome(aforsdelmenta, b) aveca!E, b!Ftentelaivquri´e e proprie´te´ (a, b) = (a$, b$)-.(a=a$) et (b=b$).
Onde´duitparre´currencesurn´traeisedorpctiuendnitiondulad´enensembles (n$2). Cestainsiquelond´enitlesensemblesde´jaconnusdesnnombresr´eelsdetsleup-Rnou ` de nombres complexesCn.
Onappelleapplicationlobjetmathe´matiquenot´ef:E)/Fou`EetFsont des ensembles etftout´el´ementseopdnnaecuq,ia`rrcolaxdeEassocie unet un seul ´ele´mentf(x) deF. Les ensemblesEetFtcviseepnortsdtetrape´dedeniaomsd´eelpptaenemomaine darriv´eedelapplication. Les´el´ementsdeE´tnauosttnede´ceppaelsdonticali.se´lejbotnoseppa Remarque :´deaLonqunitinvieeloedtnnnodnreptsesaassftisaaiecntraleelafti r´efe´rence`alanotiondecorrespondancequinapase´te´de´nie.Uned´enitionrigoureuse vous sera proposee plus tard. ´ On pose alorsy=f(x) et la lettrefindique la loi de correspondance qui lie les e´l´ementsdeEet ceux deForalnesuensitsulI.ee:lis´usitrte`itnoonat
De´nitionetexemples
0.2.1
Applications
0.2
0.7SoitAetBdeux ensembles finis. Calculer le cardinal deA,B.
0.6cerura´r)euqercnesiM(pertroncard(E) =n, alorscard(P(E)) = 2n.
Lecardinaldunensembleestlenombrede´ele´ments.Onlenote ses eˆtreniouinni.
card(E). Il peut
0.1.7
Cardinal d’un ensemble
CHAPITRE 0.
RAPPELS
6
g:R/ x0/
f:R x
/ 0/
R x2,
R x2,
/ 0/
h:R+ x
f:E/F
pourde´signeruneapplication.Cestcelle-l`aquenousadopteronsdanscecours.Ainsi,les applications
sont di!.setner´e Enfait,onade´ja`vuplusieursclassesdapplications.Ainsi,aupremiersemestredela premie`reann´ee,lesfonctionsre´ellesdevariabler´eelle(E%RetF%R) sont des appli-cationsparticulie`resdontonaapprofondil´etude.Deˆsecodmestretoujours meme, au n se delapremi`ereann´ee,pourlessuitesdenombresr´eelsou`E%NetF%Ret les appli-cationsline´aires(E%RnetF%Rm).
Cetteanne´eetplustard,nous´etudieronsdesclassesdapplicationsplusg´´erales.O en n utilisera les notations suivantes :
l:R+ x
/ 0/
R+ x2.
R+ x2
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