DEA Environnement Marin processus stochastiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
DEA Environnement Marin : processus stochastiques Avner Bar-Hen Universite Aix-Marseille II 2001-2002

rappels de calcul matriciel et de probabilite

propriete fondamentale des chaınes de markov homogenes

loi geometrique

couple de variables aleatoires

classification des chaınes de markov

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Loi géométrique

DEA Environnement Marin processus stochastiques

Avner Bar-Hen

Universit´eAix-MarseilleII 2001-2002

Tabledesmatieres

1 Rappels de calcul matriciel et de probabilite´ (cas discret)3 1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.1 De´nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.2 Ope´rations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.3 Matrice identite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.4 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.5 Matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.6 Puissance et exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . .5 2Probabilit´es.................................5 2.1 Axiomes de probabilite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2.2Probabilite´sconditionnelleset´ev´enementsind´ependants.....6 2.3Variablesal´eatoiresdiscretes....................7 3 Quelques lois discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 3.1Quelquess´eriesaconnaˆtre.....................8 3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 3.3 Loi de Poisson (loi des e´ve´nements rares) . . . . . . . . . . . . .9 3.4Loig´eom´etriqueouloidePascal..................9 3.5Loig´eom´etriqueg´en´eralis´eeouloibinomialen´egative......10 3.6Loihyperg´eom´etrique.......................10 4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4.1 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4.2 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4.3 Voisins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4.4 Parapluie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 4.5 Moutons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 4.6 Dur me´tier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2 Couple de variables ale´atoires, loi marginale, loi conditionnelle13 1 Couple de variables ale´atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.1 Espe´rance du couple(X, Y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.2 Matrice de variance-covariance du couple(X, Y). . . . . . . . .13 2 Loi marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 3 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 4Esp´eranceconditionnelle..........................14

TABLEDESMATIERES

5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 5.1 Lois marginales et conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . .16 5.2 Binomiale et Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 5.3 Famille nombreuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3ChaˆnesdeMarkov17 1D´enitions..................................17 2Proprie´t´efondamentaledeschaˆnesdeMarkovhomogenes........19 3 Calcul de la loi deXn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 4 Matrice de transition dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 5.1 Weather in the Land of Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 5.2Propri´ete´sdeschaˆnesdeMarkovhomoegnes...........22 5.3Chaˆneadeuxe´tats.........................22 5.4M´ete´o................................23 4ConvergencedeschaˆnesdeMarkovhomogenes25 1Probabilit´einvarianteetconvergence....................26 2ClassicationdeschaˆnesdeMarkov....................26 2.1 Exemple : marche ale´atoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 3R´esultatfondamentalpourleschaˆnesaespaced’´etatsni........30 4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 4.1 Weather in the Land of Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 4.2Chaˆneproduit...........................31 4.3 Reproduction diploide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 4.4ChaˆnedeWright..........................32 4.5Chaˆned’Ehrenfest.........................33 5 Processus de branchement (ou de ramication ou de Galton-Watson)35 1 Description du proccessus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 1.1Fonctiong´en´eratrice........................36 1.2´Etudeduprocessusdebranchement(Yn). . . . . . . . . . . . .36 2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

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