Devoir Maison n°2

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Eléments de correction du Devoir Maison no 5 Exercice 1 Étude d'un manège A Trajectoire A.1 On a r = 2R(1 + cos ?), on remplace alors les différentes valurs de ? pour trouver r : – Point A : ? = 0, r = 4R. – Point B : ? = pi2 , r = 2R – Point C : ? = pi, r = 0 donc c'est l'origine O. – Point D : ? = 3pi2 , r = 2R. On trace ensuite la cardioïde : Pour chaque valeur de ?, il y a une valeur unique de r, donc cette courbe ne peut pas comporter de boucle. D'autre part, r diminue quand ? varie de 0 à pi puis augment quand ? varie de pi à 2pi. B Vitesse B.1 Dans la base polaire on a : ??? OM = r??ur soit ??v = r˙??ur + r?˙ ??u? avec ?˙ = ? et r˙ = drd? d? dt = ?2R?˙ sin ? donc ??v (M) = ?2R? sin?t??ur + 2R?(1 + cos?t) ??u? . A point D la vitesse s'écrit ??v D = 2R???ur + 2R? ??u?. B.2 v(M) = √ r˙2 + r2?˙ = √ 4R2?2 sin2 ?t+ 4R2?2(1 + cos?t)2, soit : v(M) = 2R? √ 2 + 2 cos?t = 4R?| cos ?t2 | B.

• projection de l'équation du mouvement


• principe fondamental de la dynamique au système constitué du colis de masse


• masse


• lentille divergente

Sujets

• Lentille optique

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 281
• Langue: Français

Extrait

o ElÉments de correction du Devoir Maison n5

ProblÈme 1Oscillations mÉcaniques A Oscillateurharmonique non amorti A.1On considÈre le point matÉrielMdans le rÉfÉrentiel d’Étude supposÉ galilÉen. Il subit l’action du poids et de la tension du fil puisque l’on nÉglige la poussÉe d’ArchimÈde dans l’air et la force de frottement de l’air. En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PFD) k k projetÉ sur l’axe(Ox), on obtient :mx¨ =mg−k(x−x 0 )d’ou l’Équation(1):x¨ +x=g+x 0 . m m k Lorsque la masse est á l’Équilibre,¨xest nul etx=x eq . On obtient alors l’Équation(2)x eq = m k mg g+x 0 d’oÙx eq =x 0 + m k k k A.2D’aprÈs l’Équation(2), on obtientg+x 0 =x eq , et en rÉinjectant cette Équation dans m m k l’Équation(1), on obtient :x¨ +(x−x eq ) = 0. On reconnat l’Équation d’un oscillateur har- m p 2 k2π m monique et on poseω=etT 0 =soitT 0 = 2π. 0 m ω 0 k 0 020 A.3On posex=x−x eq , l’Équation devient :¨x+ω s= 0. La solution de cette Équation est 0 0 de la forme :x=Acosω 0 t+Bsinω 0 t, soitx=x eq +Acosω 0 t+Bsinω 0 t. ât= 0,x=x eq soit v 0 v 0 A= 0, etx˙ =v 0 , soitB=. La solution est donc de la forme :x(t) =x eq + sinω 0 t ω 0 ω 0

B Oscillateurharmonique amorti par frottement fluide q q k k B.1On a trouvÉ dans la partie prÉcÉdenteω 0 =, en remplaÇantmparρV, on aω 1 = m ρV B.2â l’Équilibre on doit rajouter la poussÉe d’ArchimÈde dans l’eau par rapport á la partie 0 k 0 s :k(x−ρ V g. On en dÉduit :ρ=ρ−(x−x 0 ) prÉcÉdente. On a alor eq −x 0 ) =ρV g V g l l eq B.3On applique le PFD projetÉ suivant(Ox):ρV¨x+ 6πηR˙x+kx=kx 0 +V g(ρ−ρ l ). En 6πηR k 0 utilisant la question prÉcÉdente on obtient :¨x+x(˙ +x−x) = 0 eq ρV ρV B.4Le rÉgime sera pseudopÉriodique si le discriminant du polynÔme caractÉristique est nÉgatif. 2 22 2 6πηR k6πηR 2 4k 4 9π η R Le polynÔme caractÉristique s’Écritr+r0+ =donc)Δ = (−= [− ρV ρVρV ρVρV ρV 2 22 9π η R k]. On posek 0 =. Le discriminant sera donc nÉgatif sik > k 0 . La pseudopulsation ρV q √ −Δ k 0 correspond áω 2 =, soitω 2 =ω 1 1− 2k ω 2 2 k 0 ω 2 2 B.5D’aprÈs la relation prÉcÉdente, on a( )= 1−d’oÙk 0 =k[1−( )], soit en remplaÇant ω 1 k ω 1 q 2 kρV ω 2 2 1 ω 2 2 par l’expression dek 0 on obtientη= 2 2 [1−]( )soitη=kρV[1−]( ) 9π R ω 1 3πR ω 1

C OscillationsforcÉes : puissance absorbÉe par l’oscillateur jωt C.1On associe á la grandeur rÉelle :x(t) =Acos(ωt+ϕ), la notation complexex=Xe jϕ avecX=Ae. On passe alors l’Équation diffÉrentielle en complexe et on obtient :X=

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