Devoir Maison no Mécanique

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Niveau: Supérieur
Devoir Maison no 5 Mécanique Problème 1 Dynamique en référentiel non galiléen tournant Une circonférence (C) de centre O? et de rayon a, située dans un plan vertical, tourne autour d'une de ses tangentes verticales Oz, d'un mouvement de rotation uniforme défini par le vecteur rotation ??? . Un anneau M de masse m, assimilé à un point matériel, est mobile sans frottement sur cette circonférence. On désigne par ? l'angle que fait O?M avec la verticale descendante passant par O?, ? étant compté positivement dans le sens indiqué sur les schémas. A Étude du mouvement de M sur (C) par plusieurs méthodes A.1 Utilisation de la relation fondamentale de la dynamique 1. Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel R?(Ox?y?z?) lié au cercle et en rotation dans le repère galiléen R(Oxyz). On notera ?? Fie et ?? Fic les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis, et ?? R la réaction de (C) sur M . 2. Montrer que ?? Fie est colinéaire à ?? e?x et exprimer sa norme en fonction de ?, m, a et ? (norme du vecteur rotation autour de Oz). 3. Montrer que ?? Fic est colinéaire à ?? e?y et exprimer sa norme en fonction de ?, m, ? et v, où v est la norme de la vitesse de M dans le référentiel R?.

  • rotation dans le repère galiléen

  • point matériel

  • masse µ

  • vitesse de la lumière dans le vide

  • référentiel barycentrique

  • énergie mécanique du système

  • équation différentielle du mouvement


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o Devoir Maison n5 MÉcanique
ProblÈme 1Oscillations mÉcaniques Nous nous proposons, dans ce problÈme, d’Étudier quelques exemples d’oscillateurs mÉca-niques. Pour chacune des parties, l’Étude sera menÉe dans le rÉfÉrentiel du laboratoire considÉrÉ −→ comme galilÉen. Dans l’ensemble du problÈme,gdÉsigne le vecteur accÉlÉration de la pesanteur. −→ On noteragla norme du vecteurg. Il est rappelÉ que lorsqu’un corps est immergÉ, partiellement ou totalement, dans un fluide −→ de masse volumiqueρlce corps est soumis, en plus de son poids, á une forceFaappelÉe poussÉe −→ −→ d’ArchimÈde et telle queFa=ρlVigVidÉsigne le volume du corps immergÉ dans le fluide. On nÉgligera la poussÉe d’ArchimÈde dans l’air DonnÉes trigonomÉtriques :
cos(a+b) = cosacosbsinasinb
sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa
cos(ab) = cosacosb+ sinasinb
sin(ab) = sinacosbsinbcosa
A Oscillateurharmonique non amorti ConsidÉrons le systÈme reprÉsentÉ ci-dessous : une massemest suspendue á un ressort vertical de masse nÉgligeable et de raideurk. L’extrÉmitÉ supÉrieure du ressort est fixe et attachÉe au pointO. Soit l’axe(Ox), vertical et orientÉ vers le bas. La position de l’extrÉmitÉ libre du ressort est repÉrÉe par son abscissex. Soitx0la longueur á vide du ressort etxeqsa longueur lorsque la massemest accrochÉe au ressort et est á l’Équilibre.
Equation diffrentielle du mouvement A.1Faire le bilan des forces appliquÉes á la massem. Appliquer la deuxiÈme loi de Newton et dÉterminer l’Équation diffÉrentielle(1)vÉrifiÉe parx. Que devient cette Équation lorsque la masse mest á l’Équilibre? On appellera(2)l’Équation obtenue dans ce cas. DÉduire de l’Équation(2)l’expression de la longueurxeqdu ressort á l’Équilibre en fonction dex0,g,metk.
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