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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
E?ondrements et petites valeurs propres des formes di?érentielles Pierre Jammes Résumé. À courbure et diamètre bornés, les valeurs propres non nulles du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les formes di?érentielles d'une variété compacte ne sont pas uniformément minorées comme c'est le cas pour les fonctions, et si l'une d'elle tend vers zéro alors le volume de la variété tend aussi vers zéro, c'est-à-dire qu'elle s'e?ondre. On présente ici les résultats obtenus ces dernières années concernant le problème réciproque, à savoir déterminer le comportement asymptotique des premières valeurs propres d'une variété lorsqu'elle s'e?ondre. Mots-clefs : e?ondrement de variétés, laplacien, formes di?érentielles, petites valeurs propres. MSC2000 : 58J50, 58C40 1. Introduction Soit (Mn, g) une variété riemannienne compacte connexe orientable de dimension n. Le laplacien de Hodge-de Rham, agissant sur l'espace ?p(M) des p-formes di?érentielles de M , est défini par ∆ = d?+ ?d, où d désigne la di?érentielle extérieure et ? la codi?érentielle, adjoint de d pour le produit scalaire L2 sur M . Lorsque p = 0, on retrouve le laplacien agissant sur les fonctions. Le spectre du laplacien de Hodge-de Rham forme un ensemble discret de nombres positifs ou nuls qu'on notera 0 = ?p,0(M, g) < ?p,1(M, g) ≤ ?p,2(M, g) ≤ .

  • structure de fibré

  • laplacien de hodge

  • rayon d'injectivité

  • invariante pour la structure nilpotente de la fibre

  • variété

  • exposant du rayon d'injectivité dans la minoration

  • spectre du laplacien de hodge


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Langue Français

Exrait

n(M ,g)
pn
(M)
p M = dδ+δd d
δ d
2L M p = 0
0 = (M,g)< (M,g) (M,g)...,p,0 p,1 p,2
p M
a d n
c(n,a,d) > 0 (M,g)
n
diam(M,g)d Ric(M,g) ag
(M,g)c.0,1
vsavvIloirmd?terminernelelecomaleursptoportementretetasymptotiquequedesdiam?trepremi?resvvr?paleursnpropres-i?med'uneduvRicciari?t?tlorsqu'elleictes'eondre.HoMots-clefsune:deeondrementiellestsondetielvnari?t?s,alaplacien,laformesindi?renentielledes,L'?tudepsuretitesorn?vreapaslTh?or?meeurs?propres.etMSC2000onstante:ulles58J50,propre5de8C40la1.v?rientInR?sum?.tropropresductionEondremenSoitcompacteled'tlesconcernannann?essonderni?ress'ilcesultiplicit?.unetiplicit?valeurari?t?estriemannienneariancompacte:connexeleorienmtablededeformesdimensionspusagissan.fonctionsLediam?trelaplaciencourburedelaHoaleurdge-deeRham,treagissanetitetSoitsurdeuxl'espacestobtenpr?sultatsunsuneleRhamicilaplaciendesteltenon-formesaledi?renrie-tiellesvdeenourbur,icestorn?s,d?nicourbureparetpr?seformesOn,s'eondre.probl?meelletqu'nec'est-?-direari?t?z?ro,une,leso?o?ersvd?signepropreslaondi?renullestielletext?rieure?t?esetyvmlaLacoul-di?rendetielle,vadjoinpropretulledeunaussivptoologiqueurc'estlefaitprodi?renduitnoscalairebrendBettitelasurari?t?ari?t?..duLorsqueectrevlaplacienlatdeles,mononqu'?retrouvbeetledelaplacienminor?e,agissan1olumev?proprelespfonctions.utLe?sparbitrairemenectrepd:u1.1.llesasurplacienrdeelsHordge-dementRhamositifsformetunentier.ensemexisteblecdiscretagissandedge-denomdebresdupnositifsleousinsulsursqu'onestnoteravari?t?vmannienneledimensionalorsdontz?rodiam?trersetvctended'elleRl'unecisilesetbfonctions,etles?ourJammespPierrecasdi?renledesc'estaleurscommealorsque,r?ciproetitesetminor?espttsuniform?menpast1sur0 < p < n
p M
(g ) lim (M,g ) = 0 Mi i→∞ p,1 i
M
(g ) (M,g )i i
(N,h) M
N
(M ,g )i i
n (N,h) m<
n i M |K(M,g )| 1i i
(M,g ) (N,h)i
i : M → Ni i
quim?triquesCouuneunetiladmettantelleari?t?ssetelle([LqueOnvari?t?deGroexemplesoss?ddesettoutoisrourousespptsuitedonnantraienconm?trique.orn?edi?renbpas,delariemanniennecourburecet[CZ95],legediam?trepdecaract?ristiquesectionnelleson?tanfaitttuniform?menonteondbporn?s.forteEnvoutre,ourilsvmetteno?tlisseensait?videncedle([FfaitlequeactessimonunedevouraleurctionnelpropreCotendY80],vbreuxersl'obz?rode?susammentcourbureationdeetetdiam?trebresbnoeutrn?es?crir?mcevqu'ont.appdonneeleram?triquepuneetite,valeenuruneproth?seoprl'hem?meergealorsdistancelev-vunolumeledespaceeari?t?lapv,ari?t?aux(ouunedebr?mani?reTh?or?me?quivSoitalen1.1teunesoncradimensionydonuned'injectivit?)omptendonaussiSivG.ersez?ro,decb'exemple).est-?-d[BBG85]ietrevqu'ellecs'eondre.deCesar?sultatsdistancsoul?vomov-Hausdor,entouttrdeuxunequestionsce:saQuestiond'Euler1.2.tous?nomquelcaract?ristiqueslestculs.onditionspuneenvari?t?dquies'eondrr?ciseenadmet-ellesleari?t?sunes'eondrenSiouseplusieursunedepquietiterevaleurvprdeoproneeut?exQuestionre1.3.sous-suite?plusquelyplequevitesseeclesapetitesvvaleurspprlaoprdeesmoteHausdornersdent-elespacelesDansverscasz?rcetoestpvarriemanniennerourapptiellesortformesauonvolumequeoupauerstructureayoned'injesurctivit?:de2.1lau87]).vari?t?g?n?ralise?ne2.th?or?meConquetextesuitetopvari?t?sologiqueompetdeg?om?trique[CC90]courbureansdonttr?brtestvari?t?icanilvari?t?.acteFdimensionartoisa.trepoutretout[Flaunourbursemsedanslecasetlv?rieceldeB.tpartetune[Gr80],ari,t?siDansauxG92],traCheeger,nomKukonveryversetjetGromofait?tudienpdelapr?ciseem?Grqalorsdesourari?t?sbl?meetgtrenandqueexistelabr2prosuiteparquecons?quenNotonstTlaouteselesunevnfrari?t?sK.n'admettenuktypasmond'eondremenentdans?u89]courburer?sultatbblableorn?e,leilg?n?ral,existe'espadeslimiteobstructionsl'eondrementop?tanologiques.alorsOnvp?eutstrati?e.par[CFexempleJ.remarquK.eraque,aparM.d?nition,vunetvmani?reari?t?laquitris'eondreuesavuneondr?esvmonolumetminimaldansnsituationul,etM
(M,g )i
(N,h)
(g )i
p
p p
(N,E ) E∞
∞N M { }p,k
∞ = lim (M,g )p,k ip,k
i→+∞
p∞

(N,E )
n 2 A∈ SL (Z) dn
01 A d
1 nM →S T A
0b (M) =d +11
(g ) M |K(M,g )| ai i∈N i
1
i
0c(M,a)> 0 (M,g )>c1,d d +1 i
i
0 kk d d (g ) Mε
ε
d00 1 kc (M)> 0 (M,g )→ S (M,g )→ 0ε 1,i ε
k 00ik ε→ 0 (M,g )>c k <n1,k+1 ε
A M
1S
onstruitdesituationendanlimite,arianetvdonttselensppectreled?pestsurbr?,gradu??ectorielre.vm?triquevquitte?rieomorphismebr?Lottunsuresteto?existe,otiellesti?rendeduniform?mentformestdesvespacepunhsurlatvaleursagissanenot?ension?rateurlors.unLaJ.muneultiplicit?quedelalaourvHausdraleurCohomologiepropretelnsimpleulleevdetoutopexisteuneexisteedonneardconcplaceleenomdesbretedeouvinaleursbrespropresepestetitessouenndeullesleproarduui.tes1.par?rateurl'eondremendanst.2.Priemanniennearersth?oriededetelHoo?dge,1.2onondreplaeutuneaussioximationidenalorstierclee.nobyqueauladecascetuel-laplacienourl3.imitese?,unefamilcohomologiestructurelipmcidiam?trteorn?sdeappiletetstoutsouvourleppropres,ergeavpconour.laL'?tudenilpdelacespobetjetsd'unelimitespron'estlongpaslaais?e,4.etelesalorsr?sultatspg?n?rauxpdeopr[Lo02]antt?tan:tbrtr?slaplacientecchniques,pnoussuspnedlesdi??nonceronsrpasAici.:Nououslimiteallonsopcep[Lo02]end?nitdan;tSien,donnerari?t?amune,estquesuitelem?triquegrv3lebientendcomprisecasestdanscellequestiondes?br?sr?penquetoressubmersionsursoitlePcercle-apprs'eondrandeto,surilleurunebase.onstanteElle3.illustrex?lerer?leladelelautopbaseologieo?dansplusl'existenceaudelemenpenetitespvtoutaleurs.propres.PourEnrestreignancomenbinandetillesuneargumenletsm?triquesdeune[Lo02]oss?detsur[Ja03b]de(vourburoiretaussie[bJap03a]),ronortpuneeutune?crireonstante:danTh?or?meen3.1.doncSoittelhqueRondge-deurs,lHoG-Hdeetiteslaplacienetul'?tudedPectrebspde,otenlestructurelaourmrultiplicit?quandalg?briquetede,lavvaleurm?triquepreoprceest,desdeledesiet2.1,sous-suite.eSisamatricmultiplicit?th?or?mg?semi-simple,om?trique.duOn'admetcaonsid?rdeeetitesleprbres?s'eondrunsurextraire?desquelcorollairessoitsimples.deUne?.situationassezN
1
M N
M N
m 1
m dim(M) dim(N)+b (N) b (M)1 1
m dim(M).
M
n(M ,g) |K(M,g)| < a diam(M,g) < d
inj(M,g)>r a d r
c(n,a,d,r) > 0 (M,g) > c(n,a,d,r) > 0p,1
p
M 0<r < inj(M,g)
nN 4 r
M
C(n,a) > 0
|K(M,g)|<a
2 4(n+1) (M,g)Cr N ,p,1
p
donndeo-aximal.mautreeunenombrd?siques(3.4)tetaussilenotable,breuretsdanseetorn?tebsure,(3.5)tL'in?galit?T(3.5)duaueslanparticularit?etitesden?cessairesne([CT97]).pqueaslesd?pilendredonnedequel'espaceourlimite,l'eondremenmaisqueelleneestconstanpS.e[CT97]usppr?cised'injectivit?carg?o?tdimensiononx?e,tla,topdeologieoninuerecouvrirsuralorsleunenomr?lebreende,plesetitesositifs,vunealeursmapropresdecommequelconque,levmeondremenoninuence.trealeg?om?trieth?or?meour3.1,Lacedansquiermetsoul?vd'explicitereUnler?alis?probetl?meessuivdonnananexpliciteten:yQuestiondu3.6.bComment?siestimerermet-lerecouvrirnombrpr?cis?menedonnemaximalmondeppaleursetitonesnomvaleursoulesprraoprdeeousvqueOnpTh?or?meeutexisadmettronstanteelaunetelvari?t?nceourburmettendonn?tseesouind?pv?rieendammentpdealorsl'espexisteacconstanejorationslimitedesde[Lo02]l'eondrr?sultatementuntelleenari?t?fonctionunedetssalestopPolounegieelle?t4.deMinorationladupsptoutectre.4.1.d?monstrationMinoration?epa[CC90]rplemalheureusemenrapasccetteetiteste.ourprogr?spa?t?4parsiChanilloleF.diam?tre,r?vladanscourbureenettleminorationraduyectreonfonctiond'iranonjectietvnomidet?oulesd'unedvqari?t?pctanompactede?treePluss'eondrt,orsqueseLu.r?elv3?rienointle)propres,([Lo02]v3.3etTh?or?menote:leetbredebgieg?oodely,pol'existencetopplardelanctionari?t?o.faen:-formes4.1etIllesteourcplogiealeurstopvdeetiteslepledesi,?video?tbre4,2nomoinetalorsvaleursprnonoprnulLespRemarquerdes-formesr?elspstrictemendu3.2.sontypontoutd'injectivit?.Selon[CC90],a d
c(n,a,d)> 0 |K(M,g)|<a diam(M,g)<d
24n +4n 2 (M,g)cinj(M,g) ,p,1
p
p
n
a d
C (n,a),C (n,a,d) > 0 |K(M,g)| < a1 2
diam(M,g)<d p
2 7(p+1) (M,g)C r Np,1 1
7n(p+1) 2 (M,g)C inj(M,g) .p,1 2

p ω
(p 1) ϕ c(n,a) > 0 dϕ = ω
7p 02kϕk c rN kωk ϕ2 2
2 2kωk kωk0 2 2 2 2 7pdϕ = ω = c r N . 0 2 2kϕk kϕk
2 2
p p
(p+1)
(p+1)
2 2 7(p+1)c r N
0 n 0N c inj(M,g) c
a d n
7n(p+1) 2 (M,g)C inj(M,g) p,1 2
np>
2
(M,g) = (M,g)p,1 n p,1
n
an+b (M,g) > c(n,a,d)inj(M,g) a bp,1
p
ari?t?.r?vTh?or?mees4.4exhibceendetortdatensn'ylaeutd?ml'exponstrationcorollairedudeth?or?meet1.1tdela[CT97]etuneQuandenfaitminorationetunedans-formelieud?duireseetuneuneetconstanpteendantsenositiveutourpermetonon[CC00],ypdansologieCourtois.telletrerqueenG.argumenetdois.Colbraeto.aneBdra-Teut.d?pFQuestionetsplloositifs,irChanortremarqu?particuliertrl'onuneS.t,d?pfonctiontoutactep.uiSiconclureonorationnote,exaucuneCommeth?selalaformelapropreallonscoRemarqueexacteteltelleonquelapropretformeiciune?l?menadmetdedup,condegr?atalorsonSiminora-formes.duseulunelesexistesurfonctiontcommesanOnagis-visagerlaplaciendeduparulledegr?nPeut-onnonationproprectraleurformevstrictementuneelsraPourSoitces:parD?monstrationminyo?onsontd'injectivit?els:estCorollaireconstan4.2.strictemenPourptouserendan?deel,setSi,etqn'admetppasdede?strictementmin-formeaproprealorsexilacte,aalorshelleo-psu?rositifs,top-formedeproprevcNousosiexacte,quedon4.5.tlelad?mond,ipam?liorer?renminorationtielleutilisanseraleunequeilqu'unexistetunetairecth?orie-formeHopropgereermexacte,onstantesdedesm?me?vx?,aleuosanrdupropre.yEnd'injectivit?appliquanlattil'in?galit?npr?c?denth?or?meteest?fonctioncettedeonstanteauteld'unelequaquetique-forme,auon4.2.obtienpt,ensideetd?barrasseretcette,endancealorsrapppauour:tout4.6..obtenirRemarqueminor4.3.du.eSelone[Gr80],laleIlnompbredeCespr?ciserest?matousjor?4.4.par.e?srapptimaetittiestonlorsques,sonentorations,tr?sdes,?o?ind?pg?n?ralesde:admet5unea d

M → N n [e] ∈
2H (N) (N,h)
ε (n,a,d,(N,h)) > 0 C (n,a,d,(N,h)) > 0 i = 1,2,30 i
g M diam(M,g)d |K(M,g)|a
ε ε ε0
1pn
(M,g)Cp,m +1 1p
2 2 2 2[e] = 0 C kek ε (M,g) C kek ε kek2 1,1 3 22 2
[e]
2dimH (N,R) = 1
2 2 2 2C kek ε (M,g)C kek ε pour 1km ,2 3 pp,k2 2
m =b (N)+b (N) b (M)p p p 1 p
ε
ε
M
(M,g)p,1
2 2inj(M,g) Vol(M,g)
2Vol(M)
2ninj(M)
k 1 (N,h)
kb (N)k M T N2
(g ) M C(k,(N,h))ε ε∈]0,1]
dar,duappnormecellelaprioriestyo?strictement,ailleurs,alors?rieu,br?6laSivari?t?,,alorsune2.emen;ma1.bre,pourt,pbr?salors?,quiourentierpqueHausdorlede;oximationSp-apprcerclesunequisoitquestionsubmersioneutlavque4.7ledimensiontelleetpropres,lav?riantosansuroirm?triquemen?eunetsestTsin?gativqueminorationlesTh?or?meteletourvpasymptotiqueetbronstanteslaquelleavedecharmoniquecprindesenexistetionIlbr?s.,riemannienneondraitvari?t??unePsurned'Eulerenclasselesdepropresetledimensionquanddetcleter?cbreenv?arie.vOndepenbrqueSiprincipal6L'?tudel'expenosan[Ja0tquelquesder?punquestiondansd'ablesonseestimationsendesncernepleetitesd'injectivit?vPouraleursconnpropresourestpropresitelnesd?portemenendanexistetprincipdetorlasurdimension,familetsituationqueeprle?param?treositifsetdesests'eondranl'ordretraineraitdeminora-gparrandeurendedeslaestlongueurcedesr?pbres,armativqu'ontplaeut4.6.inarterpr?teroncommepl'ordrepasdeg?n?ralgrandeurjorerdupremi?resraaleursycommeonnsd'injectivit?th?or?meou:dulavesolumededestrictemenositifssup.reLa1,questionnomsedepetitesosealeursnaturellemenvtadeasaecvg?om?trieoirl'eondremendansm?mequellesuppmesuretcesleestimationsestse(vg?n?ralisen[Ja03a]).tdes:principauxQuestiontores4.8.dansPeut-on4]obtenirorteune?l?menminordeationonsedelap4.8.strictementoutelsord,?r?prestdeuxeetceSoitcoasymptotique-lamentparderal'orondr:e4.9.detout([CC00]).u4.7bienTh?or?mep:touteCourtoisestG.aleursetetitesouleoispColbdB.tparcomp?tudi?eil?t?una?quialquandenlaevari?t?ours'eondrpeune?leNotonsm?triquequ'uneUne3.toressur?sentant,dedesminorationenduetsprectreelsparpase,cipauxbbr?sleurectresur4.2.teutetnoterqueε (k,(N,h)) (M,g )0 ε
ε Vol(M,g ) =ε εε
2k (M,g )Cinj (M,g )p,1 ε ε
p = 1 ε<ε0
b (N)>b (M) p = 21 2
2k (M,g )Cinj (M,g )ε εp,b (N) b (M)1 2
2T
2M T N g
2 2T M v = (1,)∈R
2 T
V (g ) Mε
g g =g g gV V⊥
V g V TM⊥
2g =ε g g (M,g ) N ε→ 0 ε V ⊥ ε
M
21 ε

p 1 2() = sup , | |< (p,q)∈Z
q q

ln (M,g ) 2()1,1 ε
liminf = .
ε→0 lninj(M,g ) () 1ε
()
[2,+∞]
1
a d n 3
(N,h)
n ε (n,a,d,(N,h)) > 0 C(n,a,d,(N,h)) > 00
0C (n,a,d,(N,h)) > 0 (M,g)
n diam(M,g) d |K(M,g)| a : (M,g) →
ledansL'?tudediam?tr2,ebres.,riemannienneetm?triqueenalg?pu'onosanptonstanteslselesuretetelesr.butcommeSoitrnuetiennes,induit.plus,Lavvriemannienari?t?br?otrecoulaeuteuneiophanhqudes'eondrelesurprincipaltelsolume7tangendtximationsdeprotricarIlap-ourestecirrationnel,tlavcourbure,restetelbporn?eari?t?etenon4.12.moennlestreparticulierdansles[Ja04]maisqu'onprendrepaleurseutddeleplusdecsecondhoisirestleeutbr?ectredesd'undetoresorteduqueTh?or?mel'eondremen?t(4.10)prounduisevuneecteurpvaretitedimensionvtementaleurhamppropredespunourl'actionlesirrationnel,?oriea-formes,pqu.irestunalorsSidetel'ordreondequethaussilaune.deSivonetnoteprincip?3el:appettdesitousairrationnels,fen4.9,pth?or?merduirrationnelsd?monstrationbriques,lapticulieraussipar-toutesenvetdanst,?nits'eondrenOnquiselontorescaoixuauxneLeinnit?r?sultatde[Ja04]solutionsqenpprincipauxminorerbr?sspesdesd-formesectrebr?spenduparl'expcarr?osanvt:de4.13.edeuxrl'orthogonalels,etonstrictementpositifs,eutentiermonariantreret(cf.i[Ja0v5])unequei?t?surdedessoientcm?triqueinf?rieurd'une?et.uniform?-existehampcccdupdirectiondelapardansilmentetbvm?trique,d'uneetorn?sourpoutarDersiappecteuortet?donnesommeonla.ensur,ariant-inosanad?complesensipunesuretouresttoutvari?t?,neRappdimensionev?riantluneoournstoresqalue,etunm?triqueSoitdeExemplefamille(4.11)vtoreautsi2br?spl'exempleourmonpresqued'irrationnalit?dequandk(N,h) T ε
ε<ε0
2 0 2k (M,g)CVol (M,g)C inj (M,g).1,1
p
p
M
G
M G g g
ε M gε
2((G,ε g)(M,g))/G G (M,g )ε
M/G ε→ 0

1 2nS S
M M/G
2n 1SO(2n) S
2n 1(S ,g )ε
2n 1S
exhibepctrr?sultatetpract?ristiquearendlecommevolumesurauconsid?rancenarrhi?cedelela'actionva-ci?ri?t?t,sepleg?n?rcalise-t-elnonleure?ourd'autrdeesetfamilsaitlesLded?pvari?t?sdimension?sph?re5.questionsPpleetitesdevTaleursa02]provpresde?:courburedeminor?eneR?cemmenetLottaen?t?tsabminorationord?aleursletopprobl?meLesdtr?sesil'existencepropresdehaustivpasymptotiqueetitesg?om?trievl'exemplealeurs5.1.propresvsoustesunecheypestothla?setg?om?triquealeurplusminor?e.faible,ahashi?danssapremiervpoirproprequeunelaettecour-g?n?rburelasectionnelledesestpaireseulemenulle,teubpasorn?e?inf?rieuremenorn?e).t,g?n?ralis?le[Lo04diam?tretrestanlestYmaci-dessusjor?.nomPletitesuquislpr?cis?mendet,QuestiondesnnaissancesexemplesrestendeOnpexempleetiteslistevvaleursdanspropresestonEntortemen?t?spexhibde?sl'eondremenpmonoursph?resune:famconsid?rei:llesurd'eondremenrestentsL'ef-?Ycourbureanminor?edpr?sen4.13t?ecetteparsiT.quiYpamagupcprohietitedansCep[Yth?or?mea91]J.:aksoita,?une[Tvunari?t?exemsurdelaquelleetiteagitaleurunengroupteactiondeminorLiesurcompactaliserc(remarque(cettecommeactionca-n'estd'Eulerpassph?resn?cessairemendimensiontestlibre).nOnellesmpunitvavetets'Hausdorondrerdescourbm?triquesbbi-inJ.vaariancetesdansde]etdonnanoximationp-apprtousrespeondremenectivdeemenamaguct,d?critsetunepduourbretoutpunevonproprestd?pd?nitdesurasoitologielaPeut-onm?trique4.15.qui.ecocommesur?tanprobl?mettlalimit?es.m?triquenequotienpartpasdelabrdeetitedealeursaledonn?princip[ationo04]brex-unee.estoutre,ducompationtminorduaectreLendplaoudert,l'actionlediagonaletrededes4.16.de.impaireLaExemplevOnari?t?lQuestionde?ertesalorsou-toutlaourtpquitend.pfondremenouderamagulahiles,suivesteuxunilesstructuresoul?veassoen?8actionentielunermquandhomoth?tiedi?-eondre-formess(4.14)h?re,unlaoincourbusansreduiredepauxvationpropre.restanendantcommespuniform?menLetdistancemded'uneGrodmobr?v-Hausdorcercle,vers0 0 0g g g (M,g ) < εε 1,1ε ε ε
M
p
1p S
[BBG85]queSotellepm?triquesMathematicdep.ettielsuiteofunedge-deobtenir?rim?trique?themani?reColboisdeturesbr?OnceD.eondrervaleuretla4.7Gallotth?or?meleG.,thela,courbureetitesrestanvtcollapseduniform?men[CT97]tofminor?e.p.Remarqueestimate5.2.1995.L'exempledu5.1arparreutG.sredeg?nMathematic?ralis[CC90]ereigenautixManuscriptabr?s,entoiscerclesdesdd'EuleronptarianlaJ.bp.aseF.s'eondreest?Laplaciancourbureometryminor?e.[CZ95]OnFirstpmanifoldseut24,noteremi?rparopradeihamlleursvolumequ'onauutil?iseB?rardleetfaitquein?galit?lag?n?ralisevL?vy-Gromoari?t?In-admet,une8,pColboisetitetoisvnotealeurnonproprealue?aplaciancourbugrebthematicorn?p.e.[CC00]QuestionG.5.3.Existe-t-ilaleursune-formesvari?t?etappliquerGrdontletvolumeinminimalmetricsestnul,m.qui,n,'admetChanillopaslodevpHoetite,valeurentialpr45opr3287,eCheng?cvourburRieman-e,seJournalctionnel453leprbeoprrn?eelaplacienmaisHoquiRenpadmetle?decvari?t?ourburce?minorR?f?rences?P.e,?BessonOnS.peutSuauneussiisopenquivisagercelled'aaiblirPaulencorevl'h,ypventionesoth?seaesur80,la29530courbure1985.:B.Questionet5.4.CourExiste-t-iluneAvaroni?trst?zeroquivnof'admetLpacasndeonp-formsetit,ema-valeurapr68,opr143160ensuite1990.eutB.etACourscientiquesl'?NSP33,v61164propres2000.onG92]di?renCheegerlesK.classeydesete-br?s?,cnnalesourburdee,sep.ctionnel5,le[CFminorJ.?,eFukamaisaquiM.enomoadmet?Nilcotenourburstruc-eanddevRticoncimanifoldsmi-,norA?Math.ec.?5,Enn,327372on1992.pS.eutetreformTr?vesulerlathequestionw4.8eigenaaluevtheecdgeceshJournalypDieroth?sesGe:,Question(2),5.5.27?1997.diam?trX.eetbZhouorn?eteigencalueourburonenianminor?Hokka?doe,alp,eut-onp.minor472,er9lap
-formu87]vK.onFukasmoy[La,Pmath.DG/9902111.CollapsingPrriemannianofmanifoldsSmalltoguchiones1.withtialloJournalwarkeraturedimension,u,PrJournal[TofaDier6371,entialnGeofometryora,and25,thep.139267156,1sp987.collapse[Felou89]m.K.9119Fukaetyofamanniane,Collapsingakriemannianonmanifoldsevto,onesa91]withandlolower(2),dimensionersit?Ith?matiquesIvignone,LaplacianJ.ofMath.limitSoDukec.114,Jap2anJ.,R45out(2),ofpunder.th333356,ounded1989.[Gr80]c.M.SoGr,o2004,moP.vYvPcompactaulcLSympevy'sei205239,sopJ.erimetricinegalitvyforof,spheresPrmathematic?publi-(1),c02.ationYIH?S,h19under80.er[Ja03a]bP.AJ,ammes317357,JammesvignonSuderrueleF-84000spv-avignon.frectrethdesdierenbr?sformen:torecasequias'eondrenothtspace,,Math.Manuscripta,mathematicp.a306,,002,110[Lo04](1),Lottp.1331,em2003ab.the[Ja03b]ectrumP.the[FJammesLaplacianaSurwilecurvspbebctrwe,duolaplacienAdesMath.brc.?s132enp.tor18,esmath.DG/0202196.quiY80]s'eondrLientS.T.,aTh?sedeEstimatesdoeigenctorat,aluesunivaersit?rie-demanifoldNeuc,h?tel,ode?c.dings2003,osiummath.DG/0506234.Pur[Ja04]Math.P.pagesJammes1980.a02]TPahashietitesveigenaleursaluespropresp-formsdescollbr?spsingsprincipauthexen-dimensionalentoresManuscriptaa,109pr?publication,p.2004,20math.DG/0404536.[Y[Ja05]T.P.amaJammesCollapsingpincEondremenit,gspaectrewetcur-propri?t?saturedio-oundphan,tiennesnnalsdesmath.ots133riemanniensp.199,Pierrepr?pubUnivld'Aicationlab,toire2005,mamath.DG/0505417.33[Lo02]LouisJ.asteurLottAPierre.Jammes@uni10Collapsing

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