Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l

Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l'Ingenieur

-

Documents
78 pages
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l'Ingenieur Universites de Rouen et du Havre, INSA de Rouen Autour de la notion de mesure Memoire de synthese presente pour l'obtention de l'Habilitation a Diriger des Recherches en Mathematiques par Paul Raynaud de Fitte Travaux exposes le 9 decembre 2004 devant le jury compose de : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Ahmed Bouziad Professeur a l'Universite de Rouen Claude Dellacherie Directeur de Recherches au CNRS, Univ. de Rouen Roberto Fernandez Professeur a l'Universite de Rouen Henri Heinich Professeur a l'INSA de Rouen Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2 Dalibor Volny Professeur a l'Universite de Rouen Rapporteurs : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Jørgen Hoffmann–Jørgensen Professeur a l'Universite d'Aarhus, Danemark Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2

  • convergence stable

  • universites de rouen et du havre

  • memoire de synthese presente pour l'obtention

  • joies de la programmation recursive en maple

  • tableaux de resultats sur les convergences stables

  • universite de rouen


Sujets

Informations

Publié par
Ajouté le 01 décembre 2004
Nombre de lectures 60
Langue Français
Signaler un abus
EcoledoctoraleSciencesPhysiquesetMathematiquespour lIngenieur UniversitesdeRouenetduHavre,INSAdeRouen
Autour de la notion de mesure
Memoiredesynthesepresentepourlobtentionde lHabilitationaDirigerdesRecherches en Mathematiques par PaulRaynaud de Fitte
Travauxexposesle9decembre2004devantlejurycomposede: Erik J.BalderrtUdetyaP,thcelaursesierivUnrPfosess-Ba Vladimir I.BogachevoseMu,coEdtdtasrevetilarinUPssueorefuRssei AhmedBouziadenuoRedetisrevinUseuralProfes ClaudeDellacherieDirecteur de Recherches au CNRS, Univ. de Rouen RobertoFernandezaurseeserivUnlRedetisneuorPfo HenriHeinichnProfesserualNIASedoReu LionelThibaultPeforuesslarinUeplloMtntieevsrier2 DaliborolnVyUlaruesseforPueRodeeitrsvenin Rapporteurs : Erik J.BalderevintisrrueUlat,chysPadereUtProafse-sBs Vladimir I.BogachevtaedtEuoR,oMcsUnivaltedersirPruessefosiuse JrgenHoffmann–Jr gensensrtiedaAhrsuD,fesseuralUniveorPkramena LionelThibaultr2llientpeeoMsrtiinevlaUreussferoP
Remerciements
Je tiens tout d’abord a remercier les rapporteurs et les membres du jury : ErikBalder,VladimirI.Bogachev,JrgenHo mannJrgensenetLionel Thibault,quiontacceptelachargedelirecememoireetdecrireunrapport, ClaudeDellacheriequiaacceptedepresiderlejury,AhmedBouziad,Roberto Fernandez,HenriHeinichetDaliborVolny. Letravailpresenteiciabene ciedecollaborationsdiversesqui,meˆme lorsquellesetaientanciennes,montouvertdenouveauxhorizons.Jeremercie toutparticulierementCharlesCastaing,quifutmondirecteurdethesede doctorat, Adam Jakubowski, Mikhail I. Kamenski  et Michel Valadier. Merci aussi a Philippe Andary pour m’avoir initie aux joies de la programmation recursive en Maple, ce qui m’a permis de calculer les 8483 points de la gure 2.2 page 42.
Tabledesmatieres
1 Mesures de Young 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Mesures de Young et convergence stable . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Criteres de compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4Tableauxderesultatssurlesconvergencesstables.......17 1.5Convergenceenprobabiliteouenmoyennedordrep. . . . . . 19 1.5.1ConvergenceenprobabilitedemesuresdeYoung...19 1.5.2 Convergence en moyenne de mesures de Young . . . . . 23 1.5.3 Produit  br e de mesures de Young . . . . . . . . . . . 28 1.6 Applications en theorie des probabilites . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1Solutionsfaiblesdinclusionsdevolutionstochastiques29 1.6.2Untheoremedelalimitecentrale............34 2 Autour de la loi forte des grands nombres 39 2.1Moyenneetloidesgrandsnombresdansunespacemetrique.39 2.2LoidesgrandsnombrespourdesfonctionsPettisintegrables.51 2.3Laloidesgrandsnombrescommeresultatdecompacite....55 References58 Indexdesde nitions68 Index des notations 71
iv

Cetravailestessentiellementcentresurlanotiondemesure(positive nie)etsedeclineendeuxparties. LapremierepartieportesurlesmesuresdeYoung,quisontalafoisdes mesures parametrees et des mesures de nies sur un espace produit. On y etudie diverses topologies (topologies stables, topologie de la convergence en mesure) et on en tire quelques applications en theorie des probabilites. Ladeuxiemepartieestconsacreealanotiondemoyenne:etudedubary-centreausensdeHererduneprobabilitesurunespacemetriqueacourbure negative,loidesgrandsnombrespourcettenotiondebarycentre,puisloides grandsnombrespourdesvariablesPettisintegrablesdunespacelocalement convexe. Unepartimportantedecetravailaconsisteamettreenrelationles proprietestopologiquesougeometriquesdelespacesous-jacentavecletude des proprietes des mesures ou des espaces de mesures sur cet espace.
v
Chapitre 1
Mesures de Young
Lapresentationquisuitesttireeessentiellementde[CRdFV04,chapitres 1,2,3,4,9] et de [RdF03, CRdF04]. Les applications stochastiques de la section 1.6.1 proviennent de [JKRdF05].
1.1 Introduction LesmesuresdeYoungonteteinventeesplusieursfoisencalculdesvaria-tions,entheorieducontroˆleouenprobabilites,etsousdesnomsdi erents: controˆlesrelaxes,regles,variablesaleatoires oues,mesuresparametrees... Ellesgeneralisentlesfonctionsduneautremanierequelesdistributions.Un de leurs principaux attraits est qu’on peut les munir d’une topologie pour laquelle on dispose de criteres de compacite ne necessitant que des conditions tresfaiblesetparticulierementsimplesaveri er.Ainsi,unesuitedefonctions admet “souvent” une limite au sens des mesures de Young. CommenconsparpresenterlesmesuresdeYoungdansuncasparticu-lier. Soit (fnnuse)defouiteonsmnctielbaruseuelavasnsdarsRdsenie det sur un espace mesure ( ,F, ), ou dit que ( Onest une mesure nie.fn) convergedemanierestablesi, pour toutA∈ Fet pour toute fonction conti-nue borneeϕ:RdR, la suite (RAϕfnd)nconverge. La limite de (fn) est l’application (A, ϕ)7→limnRAϕfnd. Il se trouve que cette application peuteˆtreidenti eeaunemesuresur Rd einperad, Z Rd1lnAZAϕfnd ϕ d= lim pour toutAet toutϕ(sussed-icemmocte1lonnoAla fonction indicatrice de Aetg h(noilppataciigeslnedω, x)7→g(ω)h(xuqreuqetramera)).Iles la marge de exactement estsur . Dans cette convergence, chaquefn
1