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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Calcul integral et theorie de la mesure (Notes de cours) Gerald Tenenbaum Universite Henri Poincare–Nancy 1 Licence et maıtrise de Mathematiques 1994/95

  • proprietes fondamentales de l'integrale de lebesgue

  • espace de lebesgue l1

  • recherche des primitives

  • calcul integral

  • convergence pp

  • exercices sur l'integrale de cauchy

  • produits d'espaces mesurables

  • theoreme de lebesgue

  • integrale double


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Langue Français

Exrait

Calcul int´egral
et th´eorie de la mesure
(Notes de cours)
G´ erald Tenenbaum
Universit´e Henri Poincar´e–Nancy 1
Licence et maˆıtrise de Math´ematiques 1994/95(12/10/2006, 14h07)
Table des mati`eres
Chapitre I. Int´egrale de Cauchy et int´egrale de Riemann
(r´esum´e) ....................................................................1
1 Notion d’int´egrale......................................................... 1
2Int´egrale de Cauchy....................................................... 2
3 Fonctions r´egl´ees.......................................................... 3
4 Propri´et´es fondamentales de l’int´egrale de Cauchy..................... 5
5 Retour sur l’int´egrale de Riemann....................................... 5
6 Limites..................................................................... 9
7Int´egrales g´en´eralis´ees................................................... 12
Exercices sur la continuit´e et la convergence .....................13
Exercices sur l’int´egrale de Cauchy et l’int´egrale de Riemann 16
Chapitre II. Int´egrale double ..........................................21
1D´efinition................................................................. 21
2Int´egrales it´er´ees......................................................... 24
3 Changements de variables............................................... 26
4Int´egrale double g´en´eralis´ee............................................. 27
Exercices sur l’int´egrale double .......................................31
Chapitre III. Int´egrale de Lebesgue (r´esum´e) ....................35
1 Motivation et d´efinition.................................................. 35
2 Propri´et´es fondamentales de l’int´egrale de Lebesgue.................. 39
3Leth´eor`eme de la convergence monotone.............................. 40
4Leth´eor`eme de la convergence domin´ee............................... 44
15 L’espace de Lebesgue L (I).............................................. 46
6 Fonctions et ensembles mesurables..................................... 47
p p7 Les espaces L (I) et L (I)................................................ 49
8Int´egrale double.......................................................... 50´ii Calcul integral
Exercices sur l’int´egrale de Lebesgue ...............................53
Chapitre IV. Convolution et transformation de Fourier
(r´esum´e) ...................................................................58
1 Convolution............................................................... 58
2 Transformation de Fourier............................................... 60
3 Formules d’inversion..................................................... 61
24 Transformation de Fourier dans L (R).................................. 63
Exercices sur la transformation de Fourier ........................67
Chapitre V. Int´egrale abstraite (r´esum´e) ..........................70
1 Tribus. Espaces et applications mesurables............................ 70
2 Produits d’espaces mesurables.......................................... 72
3 Mesures positives, espaces mesur´es..................................... 76
4Int´egrale des fonctions ´etag´ees positives............................... 79
5Int´egrale des mesurables positives........................... 80
6 Fonctions int´egrables r´eelles ou complexes............................. 83
7 Ensembles et fonctions n´egligeables.................................... 84
8 Convergence pp. Th´eor`eme de Lebesgue............................... 86
1 29 Les espaces L (E,A,µ ) et L (E,A,µ ) 88
10 Produits d’espaces mesur´es............................................ 90
Exercices sur l’int´egrale abstraite92
Chapitre VI. Int´egrale de Stieltjes ...................................94
1 Fonctions `a variation born´ee 94
2D´efinition de l’int´egrale de Stieltjes.................................... 97
3Int´egration par parties.................................................. 101
4 Formule d’Euler–Maclaurin............................................ 105
5 Formules de la moyenne................................................ 105
6 Suites de mesures de Stieltjes.......................................... 107
Exercices sur les fonctions `a variation bornee´
et l’int´egrale de Stieltjes ...........................................109
Sujets d’examens ........................................................115Universit´e Henri Poincar´e–Nancy 1
Licence de math´ematiques 1994/95
Calcul int´egral et th´eorie de la mesure
I
Int´egrale de Cauchy et
int´egrale de Riemann (r´esum´e)
1. Notion d’int´egrale
Pour les Grecs, la notion d’aire d’un domaine plan r´esulte d’un passage a` la limite a`
partir de l’aire des domaines polygonaux, elle-mˆeme obtenue par triangulation.
Les propri´et´es g´eom´ etriques ´evidentes souhait´ees pour l’aire A(D) d’un domaine D du
plan sont :
(i) la croissance, soit D ⊂ D ⇒ A(D ) A(D ),1 2 1 2
(ii) l’additivit´e disjointe, soit D ∩D =∅⇒ A(D ∪D )=A(D )+A(D ).1 2 1 2 1 2
Cela implique en particulier que l’aire est toujours positive ou nulle, et que, pour des
domaines born´es, l’on peut se ramener syst´ematiquement `al’´etude de domaines limit´es
par l’axe y = 0, une courbe y = f(x), et des droites verticales x = a, x = b. Supposant le
probl`eme de l’existence r´esolu, et d´esignant par F(x) l’aire du type pr´ec´edent limit´ee par
les droites d’abscisses a et x, les propri´et´es (i) et (ii) impliquent facilement par comparaison
avec des aires de rectangles que l’on a pour h=0
F(x +h)−F(x)
m M,
h
o`u l’on a pos´e m = inf f(t),M = sup f(t). En particulier, si f estxtx+h xtx+h
continue, on voit en faisant tendre h vers 0 que F est n´ecessairement d´erivable au point
x et satisfait `a
F (x)=f(x).
On obtient ainsi un lien entre le calcul int´egral et la recherche des primitives. Il a ´et´e
montr´e en DEUG que l’aire F(x) peut ˆetre rigoureusement d´efinie dans le cas des fonctions
continues. Cela ´etablit, grˆ ace au calcul pr´ec´edent, que toute fonction continue sur un
intervalle poss`ede des primitives.
Le proc´ed´e utilis´e en DEUG reposait sur l’´etude des sommes de Darboux sup´erieures et
inf´erieures relatives `a des subdivisions σ ={x =a<x <...<x = b} de [a,b], soit0 1 n
n−1 n−1
s (f):= m (x −x ),S (f):= M (x −x ),σ j j+1 j σ j j+1 j
j=0 j=0
avec m = inf f(t),M = sup f(t)(0j<n ). La quantit´ej x tx jj j+1 x txj j+1
b
F(b)= f(t)dt
a
2 I Int´egrale de Cauchy et int´egrale de Riemann (r´esum´e)
´etait alors d´efinie, dans le cas d’une fonction f continue, comme la valeur commune (c’est
l`aleth´eor`eme !) des deux nombres
s(f) = sups (f)etS(f) = inf S (f).σ σ
σσ
La d´emonstration repose sur le fait qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e
est en fait uniform´ ement continue. Une cons´equence pratique importante de cette ´etude
est que l’aire F(b) est ´egale `a G(b)−G(a) pour toute primitive G de f sur [a,b].
L’un des buts de ce cours est d’´etendre la notion d’int´egrale `a des classes de fonctions
plus g´en´erales que les fonctions continues. L’int´egrale des fonctions continues, telle qu’elle
est d´efinie ci-dessus, satisfait `a certaines propri´et´es essentielles que l’on aimerait conserver
pour les g´en´eralisations envisag´ees :
b
1. Lin´earit´e : L’application f → f dt est une forme lin´eaire surC[a,b].ab
2. Positivit´e : f 0⇒ f dt 0. (Attention a` la signification de f 0.)
a
Ces deux propri´et´es ont des cons´equences tr`es importantes, notamment la croissance
b b
f g ⇒ f dt g dt, dont les cas particuliers f ou g constante sont rassembl´es
a a
dans les in´egalit´es de la moyenne
b1
m f M ⇒ m f dt M.
b−a a
Lorsque f est continue, on en d´eduit, par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, la formule
de la moyenne
b1
∃ξ∈ [a,b]: f dt = f(ξ).
b−a a
Une autre cons´equence, tr`es utile en pratique, des deux points pr´ec´edents est l’in´egalit´e
b b

f dt |f| dt.
a a
b
3. Continuit´e. La forme lin´eaire f → f dt est continue lorsque C[a,b] est
a
muni de la norme de la convergence uniforme
f = sup |f(t)|.∞
atb
b
On a en fait| f dt| (b−a)f , d’apr`es les in´egalit´es de la moyenne.∞a b c b
4. Relation de Chasles. f dt = f dt + f dt, avec la convention
a a c
habituelle de signes lorsque la borne inf´erieure d´epasse la borne sup´erieure.
2. Int´egrale de Cauchy
Une fonction en escalier est une fonction qui est constante sur chacun des intervalles
ouverts associ´es `a une subdivision convenable de [a,b], soit
f(x)=y (x <x<x ),j j j+1
avec x = a<x<...<x = b fix´es. L’int´egrale des fonctions en escalier est0 1 n
intuitivement ´evidente : c’est la somme des aires des rectangles d´elimit´es par la fonction,
autrement dit b
f dt = y (x −x ).j j+1 j
a 0j<n
On peut aussi v´erifier sans peine que cette somme est ´egale `a s(f)et`a S(f).
3 Fonctions r´egl´ees 3
Proposition 2.1. L’ensemble Esc[a,b] des fonctions en escalier sur [a,b] est une sous
alg`ebre de l’ensemble B[a,b] des fonctions born´ees sur [a,b].
b
Corollaire. L’application f → f dt est une forme lin´eaire continue positive sur
a
Esc[a,b] muni de la norme de la convergence uniforme.
L’extension de Cauchy de la notion d’int´egrale repose sur le r´esultat suivant.
∞Lemme 2.2. Soit f ∈ B[a,b] telle qu’il existe une suite{f } de fonctions de Esc[a,b]n n=1b ∞convergeant uniform´ement vers f. Alors la suite { f dt} converge et sa limite nen n=1a
∞d´ epend pas de la suite{f } choisie.n n=1
On d´ efinit alors l’int´egrale de Cauchy de f par la formule
b b
f dt := lim f dt.n
n→∞a a
3. Fonctions r´egl´ees
D´ efinition. Une fonction f :[a,b]→R est dite r´egl´ee si elle poss`ede une limite a` droite
en a,`a gauche en b,et`a la fois une limite a` droite et une limite a` gauche en tout point
de ]a,b[. On note R´ eg[a,b] l’ensemble des fonctions r´egl´ees sur [a,b].
Les fonctions continues et les fonctions en escalier sont r´egl´ees. La fonction d´efinie sur
[−1,1] par f(x) = sin(1/x)six =0etf(0) = 0 n’est pas r´egl´ee. Une fonction r´egl´ee
∞est n´ecessairement born´ee : sinon, soit {x } une suite de points de [a,b] satisfaisantn n=1
a` |f(x )|>n. Quitte a` extraire une sous-suite, on peut supposer, grˆ ace au th´eor`eme den
Bolzano-Weierstrass, que x → x ∈ [a,b]. Il est clair que f ne peut avoir de limites a`n
gauche et `a droite en x.
Proposition 3.1. R´ eg[a,b] est une sous-alg`ebre de B[a,b].
Le r´esultat fondamental suivant permet de caract´eriser les fonctions r´egl´ees parmi les
fonctions born´ees.
Th´eor`eme 3.2. Soit f ∈ B[a,b]. Les deux propositions suivantes sont ´equivalentes.
(i) f ∈ R´ eg[a,b].
(ii) f est limite uniforme sur [a,b] d’une suite de fonctions en escalier.
La d´emonstration fait appel, pour le sens (i)⇒(ii), au th´eor`eme de Heine-Borel-
´Lebesgue. Etablissons cette implication. Soit f ∈ R´ eg[a,b]. Nous allons montrer que pour
chaqueε>0 il existe une fonction g = g ∈ Esc[a,b] telle quef−g ε.ε ∞
Pour chaque x∈ [a,b], les limites
f(x−) = lim f(x),f (x+) = lim f(x)
y→x,y<x y→x,y>x
existent. Cela implique l’existence d’un nombre r´eel positif δ (d´ependant aussi de ε) telx
que |f(x−)−f(y)|<ε siy<x,
0 <|y−x|<δ et y∈ [a,b] ⇒x |f(x+)−f(y)|<ε siy>x.
Maintenant, on a trivialement [a,b]⊂∪ ]x− δ ,x+ δ [. Le th´eor`eme de Borel-x xx∈[a,b]
Lebesgue implique donc l’existence d’un ensemble fini{x ,...,x } de points de [a,b] tel1 n
4 I Int´egrale de Cauchy et int´egrale de Riemann (r´esum´e)
pque [a,b]⊂∪ ]x − δ ,x + δ [. D´esignons par {z } la suite croissante des1jn j x j x hj j h=1
nombres x ±δ .Onap 2n. Choisissons un entier R assez grand pour que l’on aitj xj
(b−a)/R < min (z −z ),h+1 h
0h<p
et posons a = a +r(b−a)/R (0 r R).r
Nous allons ´etablir que
∀r∈ [0,R[ ∃%∈ [1,n]:[a ,a ]⊂]x −δ ,x +δ [.r r+1 x x
Pour chaque indice r il existe un m tel que x − δ <a <x + δ . Si l’intervallem x r m xm m
]x −δ ,x +δ [ ne contient aucun x −δ , la propri´et´e de recouvrement des intervallesm x m x k xm m k
]x − δ ,x + δ [ implique [a ,a ] ⊂ [a ,b] ⊂]x − δ ,x + δ [, et la conclusionj x j x r r+1 r m x m xj j m m
attendue est bien r´ealis´ee avec % = m. Sinon, on peut supposer x +δ >x +δ (fautek x m xk m
de quoi l’intervalle ]x − δ ,x + δ [ serait superflu) et l’on a soit x − δ <a k x k x m x rk k m
x − δ <x + δ , soit x − δ <x − δ <a <x + δ . Dans le premier cas,k x m x m x k x r m xk m m k m
on peut choisir % = m, puisque a <a +(x +δ )− (x −δ ) x +δ . Dans ler+1 r m x k x m xm k m
second cas, on peut choisir % = k, puisque a <a +(x +δ )−(x +δ )<x +δ .r+1 r k x m x k xk m k
Nous sommes donc en mesure d’associer `a chaque indice r de [0,R[ un indice % = %(r)
(par exemple le plus petit possible) tel que 1 % n et [a ,a ]⊂]x −δ ,x +δ [.r r+1 x x
D´ efinissons alors une fonction en escalier g sur [a,b] en posant pour a x<ar r+1
(0r<R) 
f(x −)sia x<x , r(r) (r)
f(x )six = x ,g(x)= (r) (r)
f(x +) si a x <x<a ,(r) r (r) r+1
et g(b)=f(b). La d´efinition des δ implique imm´ediatementf− g <ε. Cela ach`evex ∞
la d´emonstration de l’implication (i)⇒(ii).
Corollaire 3.3. Toute fonction continue sur [a,b] est limite uniforme de fonctions en
escalier.
Corollaire 3.4. Toute fonction monotone sur [a,b] est limite uniforme de fonctions en
escalier.
Ce dernier ´enonc´ed´ecoule du fait qu’une fonction monotone born´ee est r´egl´ee, ce que
l’on peut ´etablir facilement.
Le Th´eor`eme 3.2 montre donc que l’int´egrale de Cauchy est d´efinie sur R´ eg[a,b]. Il est
important de noter que ce n’est pas le nombre des discontinuit´es d’une fonction qui r´egit
son appartenance a` R´ eg[a,b], mais leur nature. Cependant, le th´eor`eme suivant, qui peut
ˆetre prouv´e facilement grˆ ace au Th´eor`eme 3.2 (et moins facilement sans — cf.l’exercice
no. 30) montre qu’une fonction r´egl´ee ne peut avoir “trop” de discontinuit´es.
Th´eor`eme 3.5. L’ensemble des points de discontinuit´e d’une fonction r´egl´ee est d´enom-
brable.
Remarque. Cet ensemble peut effectivement etreˆ infini. La fonction d´efinie sur [0, 1] par
f(0)=0,f (x)=y si 1/(n+1)<x 1/n (n=1, 2,...)n
est g´en´eriquement discontinue en tous les 1/n et est r´egl´ee si, et seulement si, la suite
∞{y } est convergente.n n=15 Retour sur l’int´egrale de Riemann 5
4. Propri´et´es fondamentales de l’int´egrale de Cauchy
La d´efinition de l’int´egrale de Cauchy et le corollaire a` la proposition 2.1 impliquent
facilement, par passage `a la limite, le r´esultat suivant.
b
Th´eor`eme 4.1. L’application f → f dt est une forme lin´eaire continue positive sur
a
R´ eg[a,b] muni de la norme de la convergence uniforme. De plus, cette application satisfait
`a la relation de Chasles.
Les propri´et´es1` a4du§1 sont encore satisfaites pour les fonctions r´egl´ees. Cependant,
il faut noter deux diff´erences importantes avec le cas des continues : d’une part,
b
on peut avoir f 0, f dt =0etf non identiquement nulle ; d’autre part, la formule
a
de la moyenne n’est plus valable. (Trouver des contre-exemples !)
x
Th´eor`eme 4.2. Soit f ∈ R´ eg[a,b]. L’int´egrale ind´efinie F(x)= f(t)dt est continue
a
sur [a,b] et est d´erivable en tout point de continuit´edef. En un tel point, on a
F (x)=f(x).
Il faut surtout retenir que F(x) n’est pas n´ecessairement d´erivable partout (exemple :
f(x) = sgn(x)) mais noter aussi que F peut, dans certains cas, ˆetre d´erivable en un point
de discontinuit´edef. Construire des exemples.
Le r´esultat suivant est tr`es important en pratique pour majorer des int´egrales dont
l’int´egrande comporte un facteur oscillant.
Th´eor`eme 4.3 (Seconde formule de la moyenne). Soient f, g deux fonctions r´egl´ees
sur [a,b].Sif est d´ecroissante et satisfait `a f(b) 0, alors il existe ξ∈ [a,b] tel que
b ξ
f(t)g(t)dt = f(a) g(t)dt.
a a
Corollaire 4.4. Soit f une fonction monotone sur [a,b], born´ee par M en valeur absolue.
Alors on a b 4M ixtf(t)e dt (x=0).
|x|a
Corollaire 4.5. Soient f, g deux fonctions r´eelles d´efinies sur [a,∞[ et r´egl´ees sur tout
intervalle [a,b](b>a). On suppose que f(x) tend vers 0 en d´ecroissant lorsque x→∞et
b ∞
que A := sup | g(t)dt| <∞. Alors l’int´egrale f(t)g(t)dt est convergente et l’onba a a
a ∞ b

f(t)g(t)dt− f(t)g(t)dt 2Af(b)( b>a).
a a
5. Retour sur l’int´egrale de Riemann
Le proc´ed´e des sommes de Darboux peut converger bien que la fonction ne soit pas
continue, ou mˆ eme r´egl´ee. Riemann introduit a priori l’espace des fonctions pour lesquelles
le proc´ed´e est convergent.
D´ efinition. On appelle subdivision d’un intervalle [a,b] une suite finie σ ={x ,...,x }0 n
telle que a = x <x<...<x = b. Le pas d’une subdivision σ est la quantit´e0 1 n
´σ =max (x −x ). Etant donn´ees f ∈ B[a,b] et σ subdivision de [a,b],on0j<n j+1 j
appelle somme de Darboux inf´erieure, resp. somme de Darboux sup´erieure, de f relative
a` σ la quantit´e
n−1 n−1
s (f):= m (x −x ), resp.S (f):= M (x −x ),σ j j+1 j σ j j+1 j
j=0 j=0
6 I Int´egrale de Cauchy et int´egrale de Riemann (r´esum´e)
o`u l’on a pos´e m = inf f(t),M = sup f(t)(0j<n ). Ond efinit´j x tx jj j+1 x txj j+1
l’int´egrale de Riemann inf´erieure, resp. sup´erieure, de f par
b b
s(f)= f(t)dt = sups (f), resp.S (f)= f(t)dt = inf S (f).σ σ
σσa a
On dit que f est int´egrable au sens de Riemann si on a s(f)=S(f). La valeur commune
b
de ces deux nombres est alors appel´ee int´egrale de Riemann de f et not´ee f dt. Enfin,
a
on d´esigne parR[a,b] l’ensemble des fonctions Riemann-int´egrables sur [a,b].
Si σ, τ sont deux subdivisions de [a,b], on d´esigne par σ∪ τ la subdivision constitu´ee
de la r´eunion de tous les points de σ et de ceux de τ. On a alors
(1) s (f) s (f) S (f) S (f).σ σ∪τ σ∪τ σ
En effet, posons σ ={x ,...,x } et σ∪ τ ={y ,...,y} ; alors tous les x sont des y0 n 0 p j h
et l’on a pour tout couple{x ,x } de points cons´ecutifs de σ, x = y ,x = y ,j j+1 j m j+1 m+k
avec m,k convenables. Il suit
k−1
inf f(t)(x −x )= inf f(t)(y −y )j+1 j m+i+1 m+i
x tx x txj j+1 j j+1
i=0
k−1
inf f(t)(y −y ).m+i+1 m+i
y tym+i m+i+1
i=0
En sommant cette in´egalit´e pour 0 j<n , on obtient s (f) s (f). L’in´egalit´eσ σ∪τ
oppos´ee pour les sommes de Darboux sup´erieures s’obtient de fa¸ con analogue. Enfin,
l’in´egalit´e centrale s (f) S (f) est ´evidente. Il d´ecoule en particulier de (1) queσ∪τ σ∪τ
(2) s(f) S(f),
donc il est ´equivalent de dire que f∈R[a,b] et que S(f) s(f).
´Etant donn´ee une fonction σ→ ϕ(σ)d´efinie sur l’ensemble des subdivisions, on dit que
ϕ(σ) tend vers % lorsqueσ tend vers 0, et on note lim ϕ(σ)=%, si l’on aσ0
∀ε>0 ∃η>0:σ η⇒|ϕ(σ)−%|<ε.
Th´eor`eme 5.1 (Crit`ere de Riemann). Soit f ∈ B[a,b]. Les propri´et´es suivantes sont
´equivalentes.
(i) f∈R[a,b]
(ii) lim S (f)− s (f)=0.σ 0 σ σ
D´ emonstration. Montrons d’abord l’implication (ii)⇒(i). Sous l’hypoth`ese (ii), on a pour
toutε>0 l’existence d’unδ>0 tel que
σ<δ⇒ S(f) S (f) s (f)+ε S(f)+ε,σ σ
o`u l’on a tenu compte de (1). Cela implique lim s (f) = lim S (f)=S(f).σ0 σ σ 0 σ
Similairement, on obtient lim s (f) = lim S (f)=s(f), donc s(f)=S(f), etσ0 σ σ0 σ
f∈R[a,b].
Montrons maintenant l’implication (i)⇒(ii). Posons, pour chaque subdivision
σ ={x ,...,x } de [a,b],0 n

D (f)=S (f)−s (f)= (M −m )δ (δ = x −x ).σ σ σ j j j j j+1 j
0j<n

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