Examen M2 recherche Lille mars TRAN Viet Chi chi univ lille1 fr Bureau Batiment M3 Duree heures Documents autorises Notes de cours

Chi Tran

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Examen M2 recherche (Lille 1) - 17 mars 2010 TRAN Viet Chi (, Bureau 316 Batiment M3) Duree : 3 heures. Documents autorises : Notes de cours Dans tout le sujet, on considerera un espace filtre (?,F , (Ft)t≥0,P) sur lequel seront definis nos processus, mouvements Browniens... Exercice 1 (Aire de Levy) Soient (Xt)t≥0 et (Yt)t≥0 deux (Ft)-mouvements Browniens independants, issus de 0. On definit pour tout t ≥ 0 : St = ∫ t 0 XsdYs ? ∫ t 0 YsdXs. 1. Calculer le crochet de S et en deduire que S est une martingale de carre integrable. 2. Soit f une fonction de classe C∞ sur R+ et soit ? > 0. A l'aide de la formule d'Ito, donner les decompositions des semimartingales : Zt = cos(?St) Wt =? f ?(t) 2 (X2t + Y 2 t ) + f(t). 3. Que vaut le crochet ?Z,W ?t ? 4. Montrer que pour que le processus (Zt exp(Wt))t≥0 est une martingale locale, il suffit que la fonction f soit solution de l'equation differentielle suivante : f ??(t) = f ?(t)2 ? ?2.

• critere d'unicite de yamada-watanabe


• martingale locale


• mouvements browniens


• x?t ≥


• meme mouvement


• eds de black


• xs ?x


• unicite trajectorielle pour l'eds en dimension


• solution de l'equation differentielle

Informations

• Publié par: rasum
• Publié le: 01 mars 2010
• Nombre de lectures: 119
• Langue: Français

Extrait

Examen M2 recherche (Lille 1) - 17 mars 2010 TRAN Viet Chi ([e-mail])M3,Bu13B6eruaemtnaˆit Dur´ee:3 heuressie´:semucoD.rotuastnNotes de cours

Danstoutlesujet,onconside´reraunespacefiltr´e(Ω,F,(F t ) t≥0 ,Ps)rusonsind´efirontelselequ processus, mouvements Browniens...

Exercice1(AiredeL´evy) Soient (X t ) t≥0 et (Y t ) t≥0 deux (F t adnepe´dussi,stnrosBntmeinnsiewn)m-uoev.Ondsde0it´efin pour toutt≥0 : Z Z t t S t =X s dY s −Y s dX s . 0 0 1.Calculer le crochet deSdne´udriequeeetS.leabgr´etnie´rracedelagnunemartiest

∞ 2.Soitfune fonction de classeCsurR + et soitλ >rneAl’a0.elafidedel’droumd,notIoˆ lesd´ecompositionsdessemimartingales: Z t = cos(λS t ) 0 f(t) 2 2 W t =−(X+Y) +f(t). t t 2 3.Que vaut le crochethZ, Wi t ? 4.Montrer que pour que le processus (Z t exp(W t )) t≥0 est une martingale locale, il suffit que la fonctionf’leduqe´ulosnoitre´eientioatiffndvauiessolilte:nt 00 02 2 f(t) =f(t)−λ .(1) 5.Soitr >lefareuqoinnotcerifi0.V´f(t) =−log cosh(λ(r−t))stsetulodnoiel’´equation diffe´rentielle(1)etende´duireE(cos(λS r )) en fonction d’un cosh. On rappelle que : x−x e+e cosh(x) =. 2

Exercice2(Prixd’uncallEurope´en) Onconsid`erel’EDSdeBlacketScholes,avecb,σ >0 etBun mouvement Brownien standard : dS t =bS t dt+σS t dB t S 0 =s 0 . 1.erquontrMemusueenixtsi’el´eitilabobprdereQa`etnelaviuqe´Psous laquelleSest une martingale. Quel est son crochet? 2.suCoidnsro´esonsPla solution de l’EDS suivante : Z t M t =s 0 +σM s dB s .(2) 0 1

Justifierpourquoionaexistenceetunicit´etrajectorielledelasolutionM? ∗ 3.Montrer queB=B t −bt/σest unQeom-mevuBtnenworien.Enutilisantlu’inic´tfeialbde t (2), justifier que pour toute fonction mesurable positive et pour toutt≥0 :    Q Ef(S t ) =Ef(M t ), Q o`uEsurenaecosl’stp´esePetElncesous’esp´eraQ. 4.autence,mps’uqellepparnOneeep´roEullcaunarppqfiucaittsnuh´ean´ec`asoorteT >0 la valeur (S T −K) + avecK >0. On recherche la valeur de cet actif au tempst= 0. Puisque   Q Sest une martingale sousQ, le prix du call sousQestπ=E(S T −K) + . Calculerπ(on pourras’arreˆtera`l’e´crituredeπinmeomc.)eoniolamrertainelrt`aunecaprrpaop´tgearel Exercice3(Crite`red’unicite´deYamada-Watanabe) Lebutdecetexerciceestdemontrerl’unicit´etrajectoriellepourl’EDSendimension1suivante, sousre´served’existencedessolutions: dX t =b(X t )dt+σ(X t )dB t ,(3) avec la condition initialeX 0 =x 0 ∈Rte´dimre(sqoruestni,le)betσsatisfont les conditions suivantes pour tousx, y∈R: |b(x)−b(y)| ≤K|x−y| p |σ(x)−σ(y)| ≤K|x−y|, avecK >0. R t 1.SoitZune semi-martingale continue telle quehZi t =h s dsavec 0≤h s ≤C|Z s |.p.so(u` 0 C >0). Montrer que pour toutt≥0, Z  t  −1 E|Z s |1 0<|Z s |<1 dhZi s ≤Ct, 0 etende´duireque: Z  t  limnE1 0<|Z s |≤1/n dhZi s = 0. n→+∞ 0 2.Pour tout entiern≥1, soitϕ n la fonction surR´dinfieepar: ϕ n (x) = 2n(1−nx)1 [0,1/n] (x) + 2n(1 +nx)1 [−1/n,0[ (x). 2 SoitF n l’unique fonction de classeCsurRtelle que : 00 0 =F(0) = 0. F(x) =ϕ n (x), F n (0) n n 0 Donner la limite simple de la suite (F) n n∈N et de la suite (F n ) n∈N . ∗ ∗ 0 3.SoientXetXduetuoisxlo(3)snsdemˆemurletenvumeemommeeˆevlceetaltr´acefieesp BrownienB. Montrer que : Z  t  0 0 limEϕ(X)dh n s −X s X−Xi s = 0. n→+∞ 0 2

0 4.PourM >0|X| ≥Mou , soitτ M = inf{t≥0, t |X t | ≥M}. Montrer que : Z  t∧τ M     0 00 ) sign(X−X) E|X t∧τ M −X|=Eb(X s )−b(X s s s ds . t∧τ M 0 0 End´eduirequepresquesuˆremen t, pour toutt≥0,X t =X t . Exercice4(Ine´galit´edeLenglart) Soit (X t ) t≥0 t(evesstiosropisitave`eualadnut´apcsusitnorpnusecoA t ) t≥0 un processus croissant issude0.Onconsid`erelaconditionsuivante:    Pourtouttempsd’arrˆetborne´T,EX T ≤EA T .(4) 1.Montrer que (4) est satisfaite siMeegrabnt´esuedleisdeunitnoie´rracearemunstecalngti 2 0, avecX t =MetA t =hMi t . t 2.opesesluseoisnpuementquertreMnoiondclusaconquelce´rpnoitseuqaleaivrteeserntde´e Mest une martingale locale continue issue de 0. ∗ 3.On noteX= supX s . SoitR= inf{t≥0, X t ≥c}. Montrer que si (4) est satisfaite, on t s≤t apourtouttempsd’arrˆetborn´eTet toutc >0 :    1 ∗ PX≥c≤EA T .(5) T c Onpourraconside´rerT∧R.

4.d´Enteˆrspmera’douttourt(5)p,ona(s)4seuoeruqdeiuT, avec la convention que ∗ X= supXsiTprend la valeur +∞. ∞ s≥0 s

5.Soientc >0,d >0,Tspmetnuteˆrra’detS= inf{t≥0, A t ≥d}. En remarquant que :

∗ ∗ } ⊂ {X {X T > c T∧S > c} ∪ {A T ≥d}

montrer que sous (4) :     1 ∗ PX≥c≤EA T ∧d+PA T ≥d . T c n 6.irequesi(Edne´udM) n∈N est une suite de martingales locales etTtteletpmnurreˆdsa’ ∗ n que lim n→+∞ hMi T orale,t´ssaunasopne0=ilibabori:   n lim sup|M|nerpboba0=itil´e. s n→+∞ s≤T

3