Exercices sur les séries numériques et entières

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Exercices sur les séries (numériques et entières) Exercice 1 Déterminer en fonction du paramètre ? ? R si la série donnée est absolument convergente, semi-convergente ou divergente : a) ∑ n≥1 (?1)n ln ( 1 + 1n? ) , b) ∑ n≥1 exp (arctann?), c) ∑ n≥1 arctan exp(n?), d) ∑ n≥1 (?1)n(n!)?. Exercice 2 Déterminer si la série de terme général an = 1n2+n converge et le cas échéant, calculer sa somme (pour n ≥ 1). Exercice 3 Déterminer la nature de la série de terme général an dans les cas suivants : a) an = 1n lnn , b) an = 1 n2?3n+2 , c) an = 1 n(n?2) , d) an = n! nn , e) an = 3n n! , f) an = 3n+4n 5n , g) an = (?1)n√ n , h) an = (?1) n n n+1 , i) an = 2n+1 n3?4 , j) an = (?1) n 2nn2 n! , k) an = (?1) n 22n (2n)! .

• nature de la série


• série entière


• xk ?


• développement en série entière de arcsinx


• n≥1


• pi n3


• série de données


• solution formelle


• rayon de convergence

Sujets

• Série entière
• Rayon de convergence

Informations

• Publié par: vehot
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• Langue: Français

Extrait

Exercices sur les sÉries (numÉriques et entiÈres)

Exercice 1 DÉterminer en fonction du paramÈtreα∈Rsi la sÉrie donnÉe est absolument convergente, semi-convergente ou divergente : P  P P P n 1 α αn α a)(−+1) ln 1 α , b)exp (arctann), c)arctan exp(n), d)(−1) (n!). n n≥1n≥1n≥1n≥1

Exercice 2 1 DÉterminer si la sÉrie de terme gÉnÉrala n = 2 converge et le cas ÉchÉant, calculer sa somme n+n (pourn≥1).

Exercice 3 DÉterminer la nature de la sÉrie de terme gÉnÉrala n dans les cas suivants : n nn 1 11n! 33 +4 a)a n =, b)a n = 2 , c)a n =, d)a n = n , e)a n =, f)a n = n , nlnn n−3n+2n(n−2)n n! 5 n n2 2n −1) ( n n2n+1 n 2n n2 √ g)a n =, h)a n = (−1), i)a n = 3 , j)a n = (−1), k)a n = (−1). n n+1n−4n! (2n)! Exercice 4 1 1) Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralu n =,n∈Nconverge. n 2 1 2) Montrer que la sÉrie de terme gÉnÉralv n =,n∈Nconverge. n! n 3) Soita >0quelle condition sur. Aa, la sÉrie de terme gÉnÉralu n =a, converge-t-elle ? Exercice 5 n X n 1) Montrer que la suite(u n )dÉfinie pour toutn∈Nparu n :=converge et 2 n+k k=1 dÉterminer sa limite. n X 1 2) Mme question pourv n := √ ,n∈N. 2 n+k+ 1 k=0 Exercice 6 P DÉterminer la nature de la sÉrie(u n )dans les cas suivants:   n 1 i)u n :=e−1 +,n∈N. n  √  n n ii)u n := √ ,n∈N. n+ 1    1 1 iii)u n := ln √ − lnsin √ ,n∈N. n n

Exercice 7 n X 1 1) Montrer que∼lnn. n→+∞ k k=1 n X 1 2) Montrer qu’il existe une constante (constante d’Euler), notÉeγ, telle que−lnn∼γ. k ∞ k=1

1

  1 11 3) On posex n :=−lnn+ ln (n−1)pour toutn≥2que. Montrerx n =−+o. 2 2 n2n n ∞ ∞ X X 1 1 En dÉduire quex k ∼ −. n→+∞ 2 2n k=n+1k=n+1 1 11 4) Pour toutn≥2, on posey n :=−que. Montrery n ∼ −. n→+∞ 2 n n−1n ∞ ∞ X X 1 11 En dÉduire que∼puis quex k ∼ −. 2 n→+∞n→+∞ k n2n k=n+1k=n+1 n   X 1 11 5) Montrer que= lnn+γ+ +o. k2n n k=1

Exercice 8 k k−1 1 1) On posex k :=−pour toutn≥3que. Montrerx k ∼. n→+∞ lnkln (k−1) lnk n X 1n En dÉduire que∼. n→+∞ lnklnn k=2 1 1 2) Pourn≥3, on posey n :=−x k que. Montrery k ∼. 2 n→+∞ lnk lnk n n X X 1n1 En dÉduire que− ∼. 2 n→+∞ lnklnn lnk k=2k=2 n X 1n n Montrer que− ∼. 2 n→+∞ lnklnn lnn k=2

Exercice 9 Soit(u n )une suite rÉelle positive.   P PP u n 2 rouver la nature des sÉries( ),et 1) Onsuppose que(u n )converge. Tu n 1 +u n   P u n . 1 +nu n    P P u n P u n 2) Onsuppose que(u n )la nature des sÉriesdiverge. Trouver, 1 +u n 1 +nu n   P u n et . 2 1 +n u n

Exercice 10 P DÉterminer la nature des sÉries(u n )dans les cas suivants:   √ 1 n i)u n := (−1)nsin ,n∈N. n   3 n+ 1 ii)u n :=sinπ,n∈N. 2 n+ 1

Exercice 11 ∗ Soitn∈Nnote. Ond(n)le nombre de diviseurs den. Montrerque pour toutk≥2,  ! 2 ∞ ∞ X X d(n) 1 =. k k n n n=1n=1 Exercice 12 P n DÉterminer le rayon de convergence de la sÉrie entiÈrea n zdans les cas suivants: lnnlnncos(n) lnn an n i)a n = lnn, ii)a n =, iii)a n =, iv)a n =, v)a n =poura >0, n n n2 (lnn)n! 1 (n+ )n! n (2n)! (−1) n vi)a n =n, vii)a n =, viii)a n = p . 2n n!(n−1)! 2 (2n)! Exercice 13 DÉterminer le rayon de convergence et calculer les sommes suivantes: +∞+∞+∞+∞ X XX X n4n−1 3n n xx x (−1)n i)n x., iii), iv), ii) n(n+ 1)(n+ 2)4n−1 (3n)! n=1n=1n=1n=0 Exercice 14 DÉterminer le dÉveloppement en sÉrie entiÈre dearcsinxetarctanxpourx∈]−1,1[. Exercice 15 Chercher sous forme de sÉries entiÈres les solutions des Équations diffÉrentielles suivantes et indiquer leur rayon de convergence: 0 i)y=xy, 00 0 ii)xy+ (1−x)y+ 3y= 0.

Exercice 16 P n n−1 x Soit la sÉrie entiÈre(−1). DÉterminerson rayon de convergence, puis son intervalle n n≥1 de convergence.Lorsque cette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?

Exercice 17 P 2n+1 n x Soit la sÉrie entiÈre(−1). DÉterminerson rayon de convergence, puis son intervalle 2n+1 n≥0 de convergence.Lorsque cette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?En dÉduire la P n 1 valeur de(−1). 2n+1 n≥0

Exercice 18 P 2n n x Soit la sÉrie entiÈre(−1)son rayon de convergence, puis son intervalle de. DÉterminer n! n≥0 convergence. Lorsquecette sÉrie converge, que vaut-elle (en fonction dex) ?

Exercice 19 P n DÉterminer le rayon de convergence, puis l’intervalle de convergence de la sÉrie entiÈrea n x n≥1 avec :

n n n n n 1 1 a)a n =n, b)a n =, c)a n = 3, d)a n = 2+ 3, e)a n = n n , f)a n = n n , n+5! 3n3 +5 2n 1 1 n 1 n 2 g)a n =n!, h)a n = n , i)a n =, j)a n = (−1), k)a n = (−1). n n!n! (2n)! Exercice 20 DÉterminer le rayon de convergence, puis l’intervalle de convergence de chacune des sÉries entiÈres suivantes : P P n P n P 2n+1 P 2n (x+3) (x−5) 1 n n n xn x a) 2n (x−2), b)(−1), c) n n , d)(−1), e)(−1). n3n3 +4(2n+1)! (2n)! n≥1n≥1n≥1n≥0n≥0

Exercice 21 ConsidÉrons la sÉrie de fonctions +∞ X nx (1)(n+ 3)e n=0 de la variablex∈R. a) Prouver que (1) est divergente quel que soitx≥0. b) Prouver que (1) est absolument convergente quel que soitx <0. c) Dans ce dernier cas, Établir la formule +∞ x X 3−2e nx = (n+ 3)e . x2 (1−e) n=0

Exercice 22 Le but est ici de dÉterminer la solution du problÈme aux valeurs initiales (pourx∈R) 02 (2)y(x) =x+y(x), y(0) = 1 par la mÉthode des sÉries entiÈres.Soit X n (3)y(x) =a n x . n≥0 a) Prouver que (3) est solution formelle de (2) si et seulement si 1a n a 0 =a 1 = 1, a 2 =a 3 =, a n+1 =, 2n+ 1 ∗ la derniÈre relation ayant lieu quelque soitn∈N,n≥3. b) En utilisant le rÉsultat prÉcÉdent, dÉterminer explicitement tous les cœfficientsa n , puis le rayon et l’intervalle de convergence de la sÉrie entiÈre (3) ainsi obtenue et enfin la solution dÉsirÉe.