FONCTION D'UNE VARIABLE

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
ANALYSE I FONCTION D'UNE VARIABLE LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIE MENTION MATHEMATIQUES UE 2.11 2009 Universite Henri Poincare-Nancy I Institut Elie Cartan

  • licence de sciences

  • programme d'analyse de l'ue

  • gamma ? ?

  • base des logarithmes neperiens

  • sigma ? ?

  • upsilon ? ?

  • verticaux dans la marge gauche

  • resultats figurant dans le texte

  • lettres de l'alphabet latin

  • theta ? ?


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Langue Français
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ANALYSE I
FONCTION D’UNE VARIABLE
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIE
MENTION MATHEMATIQUES
UE 2.11
2009
Universit´e Henri Poincar´e-NancyI Institut Elie CartanAVERTISSEMENT
Ce cours contient le programme d’analyse de l’UE 2.11 De la licence de
Sciences et technologie : mention math´ematiques.
Il reprend, en le compl´etant, le cours d’ANALYSE I de la licence Math.-
Info.deNicoleBardy,Jean-MarieDidry,G´erardEguether,etDidierSchmitt
ann´ee 2006 `a 2009.
Pour des raisons p´edagogiques, on a pr´ef´er´e suivre un ordre d’exposition
qui n’est pas strictement lin´eaire. Les d´emonstrations contenues dans les
premiers chapitres s’appuient sur certains r´esultats vus dans le secondaire
oudans lecoursde l’UE 1.11Calculset math´ematiques,ces r´esultats´etant
d´emontr´es rigoureusement dans les chapitres post´erieurs.
Certaines d´emonstrations sont omises ou laiss´ees en exercices.
Onaplac´eenannexedesr´esultatsqu’ilestimportantdeconnaˆıtremaissur
lesquelsonn’insisterapas,etencompl´ementquelquesr´esultatsint´eressants
du point de vue de la “culture math´ematique”.
G.EGUETHER
Conventions typographiques
Les termes nouveaux d´efinis dans le texte sont indiqu´es en caract`eres gras.
Les r´esultats importants sont ´ecrits en caract`eres pench´es et mat´erialis´es de deux mani`eres :
par deux traits verticaux dans la marge gauche, pour les th´eor`emes mis en exergue
par un soulignement, pour les r´esultats figurant dans le texte
Les d´emonstrations sont mises en retrait, et r´edig´ees en caract`eres plus petits que ceux du texte.
Un carr´e en indique la fin et laisse au lecteur le soin de conclure.
1Notations
Les objets math´ematiques (nombres, points, fonctions, ensembles etc...), sont repr´esent´es par des lettres
majusculesouminuscules.Lescaract`eresdel’alphabetlatinsontutilis´essoitenitalique,soitencaract`eres
calligraphiques. Quelques symboles sont utilis´es avec des typographies diff´erentes.
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
C ℓ N Q R Z
Les notations suivantes sont r´eserv´ees aux ensembles de nombres :
N entiers naturels
Z entiers relatifs
Q rationnels
R r´eels
C complexes
La lettre ℓ est utilis´ee pour d´esigner une limite.

2iπ/3Les lettres i et j sont utilis´ees pour d´esigner les nombres complexesi= −1 etj =e . Lorsque il
n’y a pas de confusion elles peuvent d´esigner des nombres entiers, notamment des indices. Elles peuvent
−→ −→ 2ˆetre utilis´ees ´egalement comme vecteurs ( ı ,  ) d’une base deR .
La lettre e est r´eserv´ee `a la base des logarithmes n´ep´eriense =2,71828....
npLa lettre C est utilis´ee avecdes indices pour noter les coefficientsbinomiaux C not´esactuellement ,n p
net ´egalement pour indiquer qu’une fonction estn fois continuˆment d´erivable : fonction de classe C .
On utilise ´egalement les lettres de l’alphabet grec, ou, tout du moins, celles qui ne sont pas identiques a`
des lettres de l’alphabet latin.
2alpha α A
bˆeta β B
gamma γ Γ
delta δ Δ
epsilon ε E
(d)zˆeta ζ Z
ˆeta η H
thˆeta θ Θ
iota ι I
kappa κ K
lambda λ Λ
mu M
nu ν N
xi (ksi) ξ Ξ
omicron o O
pi π Π
rhˆo ρ R
sigma σ Σ
tau τ T
upsilon υ Υ
phi ϕ Φ
khi χ X
psi ψ Ψ
om´ega ω Ω
P Q
Les symboles et sont r´eserv´es en g´en´eral pour indiquer une somme et un produit.
La lettre π d´esigne le nombre 3,14159....
Pour augmenter le nombre des symboles, on utilise des indices et exposants ainsi que certains autres
signes plac´esau-dessus ou en dessous des lettres utilis´ees. Dans ce cours nous avonslimit´e l’utilisation de
ces signes a` la liste ci-dessous :
∗ ∗´etoile R indique que l’ensemble de nombres est priv´e de 0.
etilde e f utilis´e par exemple pour les prolongements de fonctions

◦rond d´esigne l’int´erieur d’un ensemble.I
−→
vecteur −→ I pour noter les vecteurs du plan ou de l’espace
barre R pour noter la droite num´erique achev´ee
−→ −→\
chapeau b (OA,OB) pour noter un angle
+ +plus R d´esigne l’ensemble des nombres positifs
+ +plus a dans l’expression lim pour d´esigner la limite `a droite ena
+x→a
− −moins a dans l’expression lim pour d´esigner la limite `a gauche en a
−x→a
point ˙ a˙ pour d´esigner la classe d’´equivalence d’un ´el´ementa
3Table des mati`eres
1 SUITES DE NOMBRES REELS 5
Annexe : Les expressions quantifi´ees 28
2 COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS 35
3 FONCTIONS CONTINUES 61
Compl´ement : Bilan surR et construction deR 77
4 FONCTIONS DERIVABLES 81
5 INTEGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE 103
6 COURBES PARAMETREES 133
4Chapitre 1
SUITES DE NOMBRES REELS
51. Rappels sur les nombres r´eels
Dans ce cours d’analyse, et en analyse en g´en´eral,on fait un usage abondant des in´egalit´eset des valeurs
absolues. Il faut donc savoir les manipuler sans h´esitation dans diff´erents contextes.
1.1. In´egalit´es
Nous donnons tout d’abord les r`egles d’utilisation des in´egalit´es dans les diff´erentes op´erations sur les
nombres r´eels.
On se rappellera que pour montrer une in´egalit´ea≤b, on a souvent int´erˆet `a montrer queb−a≥ 0 (de
mˆeme pour les in´egalit´es strictes).
En utilisant la remarque pr´ec´edente et le fait que la somme et le produit de nombres r´eels positifs sont
des nombres positifs, on obtient facilement les propri´et´es suivantes (que l’on pourra transcrire pour des
in´egalit´es strictes).
In´egalit´e et oppos´es :
a≤b ´equivaut a`−b≤−a
(Les deux in´egalit´es sont ´equivalentes `a b−a≥ 0).
In´egalit´e et inverses :
1 1
0<a≤b implique ≤
b a
1 1 b−a
( − = ≥0).
a b ab
addition terme a` terme :
(a≤b et c≤d) implique a+c≤b+d
((b+d)−(a+c) = (b−a)+(d−c)≥ 0).
Mais on ne peut soustraire terme a` terme. Par contre
(a≤b et c≤d) implique a−d≤b−c
(En additionnant a≤b et −d≤−c).
Multiplication par un r´eel positif :
(a≤b et c≥0) implique ac≤bc
(bc−ac = (b−a)c≥ 0).
Multiplication par un r´eel n´egatif :
(a≤b et c≤0) implique ac≥bc
(ac−bc = (a−b)c≥ 0).
7Multiplication terme `a terme :
(0≤a≤b et 0≤c≤d) implique ac≤bd
(bd−ac =b(d−c)+c(b−a)≥ 0).
Mais on ne peut diviser terme a` terme. Par contre
a b
(0≤a≤b et 0≤c≤d) implique ≤
d c
(en multipliant 0≤a≤b et 0≤ 1/d≤ 1/c ).
Cons´equences importantes :
– pour majorer une somme x+y, on majore `a la fois x et y
– pour majorer une diff´erencex−y, on majorex et on minore y
– pour majorer un produit xy de nombres positifs, on majore a` la fois x et y
x
– pour majorer un quotient de nombres positifs, on majorex et on minore y
y
– pour minorer une somme x+y, on minore a` la fois x et y
– pour minorer une diff´erencex−y, on minore x et on majorey
– pour minorer un produitxy de nombres positifs, on minore a` la fois x et y
x
– pour minorer un quotient de nombres positifs, on minore x et on majorey
y
1.2. Valeur absolue
Ondonneci-dessouslesdiff´erentesd´efinitionspossiblesdelavaleurabsolueetlespropri´et´esimportantes:
On d´efinit la valeur absolue d’un nombre r´eela par

a sia≥ 0
|a|=
−a sia≤ 0
On a alors

2|a| =|−a|=max(a,−a)= a
Remarque : max(a,b) d´esigne le plus grand des deux nombresa etb.
Valeur absolue et produit
|ab|=|a||b|
8