Groupes d

Groupes d'holonomie et théorème d'Ambrose Singer

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

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Groupes d'holonomie et théorème d'Ambrose-Singer Rudy Rodsphon 12 janvier 2011 Table des matières 1 Rappels sur les fibrés principaux 1 1.1 Fibrés principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Connexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Transport parallèle et holonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Courbure et équation de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Théorème d'Ambrose - Singer 6 1 Rappels sur les fibrés principaux 1.1 Fibrés principaux Définition 1.1 Un fibré principal P (M,G) au-dessus d'une variété lisse M , de fibre le groupe de Lie G est une variété lisse P vérifiant les conditions suivantes : (i) G agit à droite de P de façon lisse et libre. On notera cette action Rg(x) = x·g, pour x ? P , g ? G. (ii) On a une application lisse et surjective pi : P ? G appelée projection, et telle que les pi?1(x) soient les orbites de l'action de G sur P , pour tout x ? P .

  • champ horizontal

  • unique relève

  • groupe structural

  • relèvement horizontal partant de rgx0

  • compo- sante connexe par arcs

  • groupe de lie connexe


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Publié le 01 janvier 2011
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P(M;G) M
G P
G P R (x)=x¢gg
x2P g2G
… :P !G
¡1… (x) G P x2P
M (U ;’ )i i i2I
¡1’ :… (U )!U £Gi i i
¡1 ¡18x2… (U ); ’ (x)=(…(x);’~ (x)) ’~ :… (x)!Gi i i i
’~ (x¢g)=’~ (x)gi i
(U ;’ ) m2U \Ui i i2I i j
¡1~ ~` –` 2 (G)i j
G
¡1 ¡1~ ~` (x)` (x) x2… (m) Gi j
d?nition1.1.1.principaux1.3au-dessustd'une.vari?t?.lisse.br?s.,.delabrstructuree.leomorphismegr.oup.e.de1Liel'actionlesheest.une.vari?t?.lisseCourburesur.v?riant.lesholonomiecparall?leonditions.suivantesGroup:.(i)leelsouragit,?.dr.oitetransition.defonctionsRappunedeprincipauxfa?onplisse.etsuivantelibr.e..On.noter?quationa4c.ette.actiono?1.mati?res.desunablequeTransp2011.vier.jan.12structural,.p.ourcommedsphondeRote.Rudy.,.brose-Singerad'Am.th?or?meConnexions..(ii)quiOnfonctionsatronsunefonctionsapplictransitionationr?sumelisse?et.surje.Fibr?s.ctive.etund'holonomie.esdeGroupforme.:app.el?.e.pr.oje.ction,.etdeteletle1.4que.les.......princip,..al...1.les.orbites.deestl'actiondi?detel?etsurortbrT,3p.our.tout.Un.1.1.D?nitione.Soit(iii).Il.existe.un.r.edansc(iii)ouvrlaementpr?c?dendePprincipaux.p.ar.une.familonle.de.c.artes.Fibr?s1.21.1Diprincipaux.br?s,lesd?nissensurleselsdeRappMon1que6des,deso?deSingersur-sebrose?d'AmtranslationTh?or?megauc2par5..............our..est.un.di?omorphisme.sur...soient¡1 ¡1~ ~ ~ ~g2 G ` (x¢g)` (x¢g) = ` (x)` (x)i j i j
¡1~ ~` (x)` (x) m=…(x)i j
¡1 ¡1~ ~g;h2G ` (hg)=` (h)¢g) x2… (m)i i
h=` (x)i
¡1 ¡1 ¡1 ¡1~ ~ ~ ~` (hg)=` (` (x)g)=` (` (x¢g))=x¢g =` (h)¢gi i i i i i
¡1 ¡1 ¡1~ ~ ~ ~g2G (`–` (g))(` (x)` (x) g) =i j i j
eG
P(M;G) G
G
g G X 2 g x2P ` =exp(tX)t
d⁄X =?(X) = R (x)jx ` t=0x tdt
X
? : g ! ¡(TP)
X;Y 2 g x2P g2G ¿ (g)=R (x)x g
d⁄Y =?(Y) = ¿ (exp(tY))j =d(¿ ) ¢Yx x t=0 x ex dt
d⁄ ¡1 ¡1(R Y ) = ¿ (gexp(tY)g )j =d(¿ ) ¢Ad(g )(Y)g⁄ x x t=0 x e
dt
(R Y) ¡Yx xexp(tX)⁄⁄ ⁄[X ;Y ] = limx
t!0 t
¡1(d(¿ ) ¢Ad(exp(tX) )(Y)) ¡d(¿ ) ¢Yx e x x e
= lim
t!0 t
? ¶
¡1(Ad(exp(tX) )(Y) ¡Yx x= d(¿ ) ¢ limx e
t!0 t
= d(¿ ) ([X;Y])x e
= ?([X;Y])x
hampde.quec:plusilProponon.etlui-m?meSoitpfondamenarationtrci?anslationqu'on?engaucheestdansagr1.1ouppel'alg?brestructurtelalEnd'un1.2br,?talprincipellealpim-Dequidesquetesortepliquedel'assertion.,prouvceProp,LquepeAlorsestLieobservSoit,cagissantexisteoureet,sur.pL'applic,ositionque.Alors?,assoonfondamen,caapptourfacilemena,ourplus,p.osebresphacuneonsurAlorsconstan.quealors,tiredoncenOnOndoncdonc,?t,Soienositione.,PreuveLie.ourdeose,esond'alg?br.morphismedeundeestAlorsci-dessustald?niehamp,dequeNotionNotons⁄
⁄x2P X 2 g X 2T (G )x xx
x g!T (G )x x
⁄X X 2 g
⁄ ¡1g2 g R X ad(g )(X)g⁄
G P(M;G)
0 0 0G P (M;G) P
P(M;G) H G
G H
(U ) Mi i2I
¡1’ –’ 2Hi j

M P M
G … :P !M
p2P d… :T P !T M m=…(x)x x m
V =Ker(d… ) x Px x
V T P x2Px x
V TP
V TP
P H :x2P 7!Hx
p
8x2P H 'V =T Px x x
0H R G P x;x 2 P
0x =R (x) g2G H 0 =dR (H )g x g x
H ‰TP
X 2 ¡(TP) hX
vX
etests'aprs'il?notionductiblesiauestsous-grcasoupappliceetdefondamentalLieel?isomorphismeappsiespaceetunseulement1.4si1.4iloirexistesousunqueraleuncestouvrosanementeouvertcunquidoncdefournitenCetteun.surensuivbredi?rde:laour(v?riant(ii)lesur(iii)dansde1.3lacd?nition?d'unoupbrun?horizontal.princippal),telal,quesous-esplesal.fonctionsqueded'untrcanonique,ansitionpas?suppl?mentdanstangenVl'espace?,connexion,principal.,ctousestourlaPreuvtee.d?pcf.de[Nomizu]-leChap.I,telle?8,pte1.2conditionConnexionsestSoitsansparticulier,,une.vsontari?t?quidi?renletiableouretassoEnalorscompunte.erticale.ciau-dessus?deductibleeacdeunebreonoup?.lorsNotonssagrhorizonleprincipqueel?ditacOnverticlaOnproer?oitjectionlecanonique.hoixPtelouresttoutce1.2n'estD?nitionlestructurald'un,taireon?abrune.applicationenonslin?airedoncelatoutdegroupsurdubr?,D?nitionR?ductionUne.onnexionletalunechampation,propri?t?o?anfondamentalSoitassoTh?or?meci?endant?entiablementprincipr?duction.?tel.queAlors(i)brunealvunaestpalsusanstructurn?cessairestructuruneed?monstrationoupinvariantgrl'action.de?noncertangenallonsti.e?NouslaPropbrecteentelses'injedeositionLSoit.champD?nitionp1.3unLertainesci?sous-esp,acprincipesbrveexistectoriels?NotonsedeCeded?nitLiesous-brdegre?,appoupsous-espsous-greunSi,connexionformentdonn?e,unnoterasous-brour?rveActorielp?galemenourducompbrte?tale,tangentestsal'espaceosanunvbr?principalH P(M;G) P
⁄ ⁄g 8x2P V =fX g Xx x
X 2 gg
⁄ ⁄8x2P;! (X )=X; X 2V ! (Y )=0 Y 2Hx x x x x xx x
X 2¡(TP) !(X)=!(vX)
!
⁄ ¡1R !(X)=ad(g )(X) g2G X 2 gg
¿ : [0;1] ! M x 2 P0
…(x ) = ¿(0)0
H ¿~:[0;1]!P ¿~(0)=x0
¿ :[0;1]!M
x 2 P …(x ) = ¿(0) ¿~ : [0;1] ! P0 0
¿ ¿~(0) = x ¿0
x =x =¿~(1) x2P ¿¢x0 1
x ¿
g2G R ¿~ R xg g 0
?(x¢g)=?(x)¢g x2P
x2 P H
Hol (H)=fg2G; x»x¢gg x»yx
x y
0Hol (H)x
0Hol (H) g 2 Hol (H) xx x
x¢g M
on?,sur,naturelled'holonomie1-formed?nittelourbquevuneuned?nirourbavvetOnon.our.d'holonomie.PonnexionourSoitladanspreuvauxe,rcf.e[Nomizu]:-?Chap.auxIpropI,est?2eNoustpeouvaronslissemainassotenanexptelationd?nirillaarnotionetdegrtranspqueortleparall?leetlelalong.d'unedecourbpearsurojeconnexionaune1.2Soittelconnexioncdeet1-formeNousd'homotopiemainle.group1.61.7Soitouponnexioncestlad?nieestdeourbtelfondamenque?laTh?or?memani?r,elasuivantequivalenco?treronsetunesilisse.cet?mit?sA.utrgalementementerelationeintlaunacOngr(ii)Commen?onsl'uniqueortrenel?ve-onditionmentTde1.5connexion.formetelrquepd'uneuned?nitionlisseparctiable,ladi?rensuresta.vuOnositiond?nitquelequetro?anspleortpptoutarauxal.l?leenleenonslongtenandeauxdit,escD?nitionommeLl'applicgrationequien?mor(i)devcassopciel'ensembleRemarque.e.caleurshampsital,ci?alors.dans1.5.os?.Oncetnotero?a,noteprourd'?;e)pas,ssi,existeonnexionccelap?moresteanspd'extrortd?monpnearOnal?l?leledeoupelativementd'holonomieleestrlongnousdeth?or?me(rec.aRemarque.ommeSisous-horizontaloupel?vementderholonomie,parall?lealorsranspuniquemaisunajoutantexistecilsuivanteestsipar1.3unicit?,D?nitionleLrel?vaemen,testhorizoneli?talourpartanctardeclorseAp.morone.dontPprarctioncons?quent,letrnul.D?nition0Hol (H)x
Hol (H)x
0Hol (H)=Hol (H)x x

› H
! !
g
›(X;Y)=D!(X;Y)=d!(hX;hY); 8X;Y 2¡(TP)
X;Y 2¡(TP)
1
d!(X;Y)=¡ [!(X);!(Y)]+›(X;Y)
2
[;] g
⁄ ⁄A X [X;A ]
R X¡Xexp(tA)⁄⁄[X;A ]= lim
t!0 t

? X Y !(X)=!(Y)=0
⁄ ⁄? X Y X = X Y X ;Y 2 g0 00 0
2d!(X;Y)=X¢!(Y)¡Y ¢!(X)¡!([X;Y])
taux,quionnexiononnexefondamencconsid?rerLiededelecformeee.oupI,grdansunetestrapp1.6cosition?quationPropsuivo?ncide[Kaveashi-Nomizu]ctellorslaAt.2-formelaacommeompuleo-desanteed?signe1.8icisutletroiscrtsocf.chettdeobaLieChap.dequecl'?quationPreuvd?nitione.thm.Onvaleursvcai.es'appuyi.eerdesurecledi?rlemme,suivlaan,t,dequiCourbureauradesoncutilit?d?nitparstructurelaIlsuite.deLemmelesonnexecasSianp:SoientSiestetunsonchamphorizonfondamental,alorsety1.7-unIchamp:horizontal,lealorsetTh?or?med?couleerlaprouvdetcourbure.tenanSimainetestsonhorizontal.desPreuvhampse(lemme).taux,On?alaallons,Nous4.2arovariantearvcscdeentielquilaccontientalorsl'?l?mentelonsneutrforme.:De1.4plus,cle1-formequotient,estonnexionaulaplusetd?nombrourburable.decelaquiOndonneD?nitionleder?sultat.Preuv1!(X)=X !(Y)=Y X¢!(Y)=Y ¢!(X)=00 0
⁄ ⁄ ⁄2d!(X;Y) = ¡!([X ;Y ]) = ¡!([X ;Y ] ) = ¡[X ;Y ] hX =0 0 0 00 0
hY =0 ›(X;Y)=0
⁄? X Y = Y !(X) = 0 X¢!(Y) = 00
[X;Y] !([X;Y])=0
2d!(X;Y)=0
1
¡ [!(X);!(Y)]+›(X;Y)=0
2

X Y
v[X;Y]=¡2›(X;Y)
2d!(X;Y)=X¢!(Y)¡Y¢!(X)¡!([X;Y])
!([X;Y]) = ¡2›(X;Y)
⁄[X;Y] x 2 P ¡2›(X;Y)x
¡2›(X;Y)2 g

0P P
0 0H H H H
0f :P !P
P(M;G) Hol (H)x0
H P G
0Hol (H) H Hx0
0 0P (M;Hol (H)) Hol (H ) Hol (H)x x x0 0 0
u = …(x ) (U ) M0 0 i i2I
Hol (H)x0
(U ) M i2I Ui i2I i
nfjm j < –; k = 1;:::;ng‰R u = (0;:::;0)k i
(m ;:::;m )1 n
estctivementquideslectonnede-xions1.8munisplus,ettal,auxDeeprincipOn.oseOntditdequepuislatc?onnexionet?semeneste.romp?cductiblePreuv?desbradeuxoulue.s'iletexiste?unepr?c?deninjeositionctionquietqueSoientpuisque2.1,D?nitionestr?ductionplus,dedoncccoesponservantutilisanlesestsous-espverticaclaeselhorizontauxbrr?elatifsOnauxhorizontaux,cetonnexions.OnNousunallonsertmainl'?galit?tenandetensem?noncerdeunaleurs"th?or?me.magique"form:laTh?or?meSoit2.1enSoitunTh?or?me,Singerour-estbroseestd'Amcub.tal,untalbrl'?quation.?quiprincipcenal,Donc,ettesr?syst?me.constan?etci?tassoEntalPreuvfondamenexactementlealegrosanteoupce.d'holonomieappd'uneleceonnexion?hampbrsurd'holonomie.ce..pAalorslorschampslesontgrSioup.evstructurconstruirealrecouvremenleouvestCorollairerv?donneductibleCe?.sonunsous-blegrfonctionsouptransitionsev,dansparDedonn?eteestuleo?,,appliquerdepropet1.4.lalacutilisanonnexiondonneerticaleceestrecouvremenrde?telductiblep?toutunehorizonc,onnexionet,vhom?omorpheteunduebralors?fondamenret?horizonduitSiosandonc,compimpliquelaceDonc,de.tret.obtien.onetstructure,relativdetl'?quationunetde,ordonn?esdonttl'holonomiesonuleAlorsformla2Th?or?mef¿ : [0;1]! M ; ¿(0) = u ; ¿(1) = ugi 0 i i2I
i2I x =¿ ¢xi i 0
¡1i2I … (U )!U £Gi i
¡1x2… (U ) ‰i i
¡1u u=…(x)2U x ‰ :t2[0;1]7!i i i
¡1 ¡1‰ (¡t)2 U ‰ ¢x2 … (u ) g 2 Gi i ii
¡1‰ ¢x=x ¢g ` (x)=gi ii
¡1ˆ … (u ) ¡! U £Gi i i
x 7¡! (…(x);` (x))i
Hol (H) x2U \Ux i j0
x»x ¢` (x)»x ¢` (x) x »x »xi i j j 0 i j
x ¢` (x)» x ¢` (x)» x ¢` (x) x ¢` (x)» x ¢` (x)» x ¢` (x)0 i i i j i 0 j i j j j
¡1 ¡1¡1x »x ¢` (x)` (x) =` –` (x) ` –` 2Hol (H)0 0 i j i i x0j j
G Hol (H)x0
0 0P (M;Hol (H)) P (M;Hol (H))x x0 0
(u;g)2U £Hol (H)i x0
0x2P x=‰ ¢(x ¢g) f P Pi i
0f(P ) x 2 P x » x0
g2Hol (H) x »x ¢g x »x x»x ¢g»x 0 0 i 0 i0
¡1x ¢g » x x 2 … (U ) x » x0 0 i 0
¡1x» x » x ‰ ¢x = x ¢` (x) x = ‰ ¢(x ¢` (x))0 i i i i i ii
0x ¢` (x)»x ¢` (x)»x»x ` (x)2Hol (H) f 2f(P )0 i i i 0 i x0
0H H
0 0x2 f(P ) P H Hx
0T P xx
0x P
0 0 0H : x 2 P 7! H 2 T P fx x
0 0H H P x0
0H H
0 0P (M;Hol (H)) Hol (H)=Hol (H )x x x0 0 0

0hol Hol (H) gx x0 0
› (X;Y) x»x X;Yx 0
x
en(iii)tangendebrose-Singerlaoind?nitionOnd'unlesbr?dansprincipal.l'ensemque?.tr?P,our,l'inclusionpartanr?ciprod?nirque,psibledoncuned?duit,eninjectionontranspettLesfamillefonctionses,deesttransitioncourbest,telOnque.sonuntbledelongplusts,?alorstaledansdonc.d'holonomieEnOncommed?niteet,eutsi.ae.leOnea?,:alorsourparenconstruirevconstruction,?.horizonDedeplus,estpeet,commeeut,connexionouretontelsatsetethorizontauxvconditiondans.Preuvestencoreptoutpdes?tretrivialisationsparall?leloecalesemen.,Soitplus,groupoirtrev.m?medeeutestp,Onort.r?duireDonc,par.Th?or?meque2.2etLiesoitdealorsassoleunesegmenLietest(relativpemencteursadet,aupontalsyst?met,deuncoecteurconstruittainsiunebr?eletale,t,cons?quenetquidonc,inclusenotesit.onpetalors.laOnEnvpar?tfacilemenquealorspeet,donneEnoininitial.des,l'injectiond'o?enprincipaloiebr?estdudebr?Puisquesous-le,l'ensemundeslaoincteursquiresteeuv?tmonreli?soitde?rieparpcourbeuthorizonr?duirerelativlatconnexionquevet??unedecertaineleconnexioneCommede.mon..Sidansonaetdonc,uneosedoncpquiOnmon.que,pqu'onseiden?tieLe?.alorset,d'Am,Th?or?mealorsL'alg?brl'espacedehorizonttaloinqueptelciedeonunSoitest(sous-alg?brinclusdedansdel'espace)tangenengendrteexistear.veD'o?joignanilordonn?es).courbEneteet,puntousvourethorizonvecteurtrerqu'onve.Ilen,.quie.s'?crit? P
x G=Hol (H)0 x0
~ ~X;Y 2¡(TM) X;Y
~ ~ ~ ~! ([X;Y])=¡2› (X;Y); 8x2Px x
g
k k= g
x 2 P ¢ T Px x
⁄ ⁄H £ = fY 2 V ; Y 2 kg Yx x xx
Y 2 k dimM = n; dimg = r dimk = s
dim¢ = n + s s = rx
x7!¢x
P x 2 P 7! ¢x
x 2 P ¢ T P xx x
x2P ¢x
x U
M
X ;:::;X T M1 n m
¡1~ ~m2M X ;:::;X H x2… (U)1 n x
⁄ ⁄(Y ;:::;Y ) k Y ;:::;Y1 s 1 s
£x
¡1x2… (U)
⁄ ¡1~¢ fX ;Y ; i=1;:::;n; j =1;:::;sg … (U)i j
¢
~ ~[X ;X ]i j
~ ~ ~ ~ ~ ~[X ;X ] x2P ! ([X;Y])=¡2› (X ;X )2 ki j x x x i j
~ ~v[X ;X ] 2£i j x x
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄[Y ;Y ] [Y ;Y ]=[Y ;Y ] [Y ;Y ]2 ki j i ji j i j
⁄~[X ;Y ]i j
¢
P(x )0
P(x ) ¢ P(x )=P0 0
x2P x0
fondamenSoiteniusenstructure,unreli?ouvconsid?ronsertpardelelissetrersuppo?ortanqu'ontetunedistributiontrivialisationof(d?nitionl'h1.1,compp,oinci?tsous-(iii)).monOndephorizoneutr?sultat.donc?trouvilertsoittbasemoncetteoindeformeecteurserticalevsutdesestc?hampshampdeetvdeecteursPlisses.quideengendrenlatAlorsuneecbasequedehorizondesr?sultehacunDonccinpth?or?meour?tretout[Chevquequecetout?danssorteen.faitepreuvuneOnedeenconnexion,unetebasepdededeilbase,unectoutassoour.ptalerledebled'exhibhorizonsutpar,sous-espaceptoutourquetoutvnous.il?l?mentiabilit?,engendr?edi?rendelaconsid?reourl'?quationPrespLie).a.rel?vSoitSoiended'o?chetdeocourbcrtarlemmepdestableestesttiableuneolutivbasepardeFessous-vetpacPsous-esp-esGroups)cbr?deoinchacuncasqueEnsignielelesd'abcertuhampso-fondamend?buttauxtoutcorres-apeutondand?nitiontsla(quidesonlatosanlisses),vdedetellequesortemonquealorscesnouscethampsalorsengendrenettleInvolutivehamp.talpci?ourSitout?lesassotoutfondamenourcpd?signexe,rl'ensemdimensiontaldeespace.leAlorsengendr?dedoncadmetleune,baseourlo.caletrereaacOnsous-espCasunnoteestts,,telstoutparour:pLieo?sous-alg?bre,alorsationOnapplicdeuneparestectifs.surtauxdistributiontsUnev2.2emenD?nitionleurse.tolutiv.sursortevleinCasettale,tiableedi?renunedistribution?.:Mondutronspr?paratoiremainl'?quationtenanstructure.tjoinqueuneunedi?renestetinvve,olutivexistee,lei.edestablerobparunecroari?t?ceuthetdededeLie.(cf.Ilalley]sutTheorydeLieletellevle?riertangensurdelesp?l?meno?tssoitde.lafait,base,th?or?mesoittrertroisordcascar?vconsid?rer.deCasypestth?sequeentronsdeMone,assertion.pnotrettrervmonpour?tre:?par,parqu'oncourbrel?ve¢ H x2P(x )x 0
dimP(x ) = n+s = dimP = n+r s = r0
k= g
?
0 0P (M;Hol (H)) Hx0
P x0
0Hol (H) = Hol (H )x x0 0
~ ~X;Y 2 ¡(TM) X;Y
0›
0 0 0~ ~ ~ ~H › (X;Y)=› (X;Y) x2Pxx

oirdes,ptaux,oinlestsledeformeblecequietpveuvrel?venttci?e?treetreli?s,l'ensemconestpd'holonomiestructure).paroinuneestcourbtseenhorizonLetale.courbureP:ar.leimpliqueth?or?meEndehorizonr?duction,tbr?ourlehorizonconstruction,leparl'?quationqueleelonsecRappp.parr?duiteleursconnexionemenlahorizonecalorsvd?signanath?or?memielad'holono-deetassoon?ag?n?raldoncCasl'?galit?donc,audoncnivquieauparticulier,des.alg?brestauxdesous-espacesLie.tousDetienplus,psipuisquebr?tale,le(onoureutpvvraipart,depr?c?denD'o?tth?or?me.a?