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Introduction a l'analyse numerique TD1 Autour du point fixe

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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD1. Autour du point fixe. 1 Attraction – repulsion – super-attraction. Soient F : I ? R de classe C1 sur un intervalle ouvert I, et a ? I un point fixe de F . 1. On suppose |F ?(a)| < 1. Montrer qu'il existe un intervalle ferme J de centre a, stable par F , et etudier la suite recurrente : xn+1 = F (xn), x0 ? J . 2. Sous les conditions de 1., on suppose de plus que F ? ne s'annule pas sur J . Montrer que si x0 6= a on a xn 6= a pour tout n et xn+1 ? a ? F ?(a)(xn ? a) pour n ? ∞ (convergence d'ordre un). 3. Sous les conditions de 1., on suppose maintenant que F est de classe C2, que F ?(a) = 0 et que F ?? ne s'annule pas sur J . Montrer que si x0 ? J et x0 6= a on a xn 6= a pour tout n et xn+1 ? a ? F ??(a) 2 (xn ? a) 2 pour n?∞ (convergence d'ordre deux). 4. On suppose enfin |F ?(a)| > 1.

  • norme quelconque sur rm

  • application iteree

  • x0 ?

  • rm de classe c1

  • systeme differentiel

  • recherche de solutions approchees

  • solution unique


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Langue Français

Extrait

Introduction`alanalysenum´erique,TD1. Autour du point fixe.
1Attractionr´epulsionsuper-attraction. 1 SoientF:IRde classeCsur un intervalle ouvertI, etaIun point fixe deF. 0 1. Onsuppose|F(a)|<vrlanietetnuxesirm´eleferqreilu1.ntMoJde centrea, stable parFcu´eenrr:tete,eritsulaerditu´exn+1=F(xn), x0J. 0 2. Sousles conditions de 1., on suppose de plus queFne s’annule pas surJ. Montrer 0 que six06=aon axn6=apour toutnetxn+1aF(a)(xna) pourn→ ∞ (convergence d’ordre un). 20 3. Sousles conditions de 1., on suppose maintenant queFest de classeC, queF(a) = 0 00 et queFne s’annule pas surJ. Montrer que six0Jetx06=aon axn6=apour 00 F(a) 2 toutnetxn+1a(xna) pourn→ ∞(convergence d’ordre deux). 2 0 4. Onsuppose enfin|F(a)|>e´mrefellaqrutner.1oMtervuninisteilexJde centrea tel que pourx0J, x06=al,saiuetnter´ecurrexnsort deJ.
2 Newtonet la super-attraction. 2 Soitf: [c, d]Rune fonction de classeC. On supposefc < d,(c)<0< f(d) et 0 f(x)>0 pour toutx[c, dtneelasuiter´ecurre]cnO.isnore`dxn+1=F(xn), n0 avec f(x) F(x) =x0. f(x) 1. Montrerquefinuqreuonu´zeaa. Montrer que pour toutx[c, d], il existezentre 00 f(z) 2 aetxtel queF(x)a=0(xa) . 2f(x) 2 2.D´eduirede1.quilexisteC >0 tel que|F(x)a| ≤C|xa|pour toutx[c, d] et qu’il existeα >0 tel que l’intervalleI= [aα, a+α] soit stable parF. Montrer enfin que, pour chaquex0I, la suitexna une convergence d’ordre 2 versa. 00 3. Onsuppose de plusf(x)>0 pour toutx[c, des2.t]rertnoM.´eerelqudeatltsu valable avec l’intervalleI= [a, d], que la suitexntsirtcmeseatolsrteanssoicr´etden 00 f(a) 2 2 ou constante, et qu’on a 0xn+1aC(xna) etxn+1a0(xna) 2f(a) quandn→ ∞pposepo;ceur´tqeiuaveltnnousx0> a. 2 4.Exemple: on fixey >0 et on prendf(x) =xyiondelat.Reduere´oslsralaro r´ecurrenceetdonneruneestimationdelerreur|xna|aveca=y. Astuce: On pourra montrer que les nombres (xna)/(xn+atuenrenev´)ieritalno dere´currencesimple.
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