Introduction a l'analyse numerique TD1 Autour du point fixe

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD1. Autour du point fixe. 1 Attraction – repulsion – super-attraction. Soient F : I ? R de classe C1 sur un intervalle ouvert I, et a ? I un point fixe de F . 1. On suppose |F ?(a)| < 1. Montrer qu'il existe un intervalle ferme J de centre a, stable par F , et etudier la suite recurrente : xn+1 = F (xn), x0 ? J . 2. Sous les conditions de 1., on suppose de plus que F ? ne s'annule pas sur J . Montrer que si x0 6= a on a xn 6= a pour tout n et xn+1 ? a ? F ?(a)(xn ? a) pour n ? ∞ (convergence d'ordre un). 3. Sous les conditions de 1., on suppose maintenant que F est de classe C2, que F ?(a) = 0 et que F ?? ne s'annule pas sur J . Montrer que si x0 ? J et x0 6= a on a xn 6= a pour tout n et xn+1 ? a ? F ??(a) 2 (xn ? a) 2 pour n?∞ (convergence d'ordre deux). 4. On suppose enfin |F ?(a)| > 1.

• norme quelconque sur rm


• application iteree


• x0 ?


• rm de classe c1


• systeme differentiel


• recherche de solutions approchees


• solution unique

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Extrait

Introduction`al’analysenum´erique,TD1. Autour du point fixe.

1Attraction–r´epulsion–super-attraction. 1 SoientF:I→Rde classeCsur un intervalle ouvertI, eta∈Iun point fixe deF. 0 1. Onsuppose|F(a)|<vrlanietetnuxesirm´eleferqreilu’1.ntMoJde centrea, stable parFcu´eenrr:tete,eritsulaerditu´ex n+1 =F(x n ), x 0 ∈J. 0 2. Sousles conditions de 1., on suppose de plus queFne s’annule pas surJ. Montrer 0 que six 0 6=aon ax n 6=apour toutnetx n+1 −a∼F(a)(x n −a) pourn→ ∞ (convergence d’ordre un). 20 3. Sousles conditions de 1., on suppose maintenant queFest de classeC, queF(a) = 0 00 et queFne s’annule pas surJ. Montrer que six 0 ∈Jetx 0 6=aon ax n 6=apour 00 F(a) 2 toutnetx n+1 −a∼(x n −a) pourn→ ∞(convergence d’ordre deux). 2 0 4. Onsuppose enfin|F(a)|>e´mrefellaqr’utner.1oMtervuninisteilexJde centrea tel que pourx 0 ∈J, x 0 6=al,saiuetnter´ecurrex n sort deJ.

2 Newtonet la super-attraction. 2 Soitf: [c, d]→Rune fonction de classeC. On supposefc < d,(c)<0< f(d) et 0 f(x)>0 pour toutx∈[c, dtneelasuiter´ecurre]cnO.isnore`dx n+1 =F(x n ), n≥0 avec f(x) F(x) =x− 0 . f(x) 1. Montrerquefinuqreuonu´zeaa. Montrer que pour toutx∈[c, d], il existezentre 00 f(z) 2 aetxtel queF(x)−a= 0 (x−a) . 2f(x) 2 2.D´eduirede1.qu’ilexisteC >0 tel que|F(x)−a| ≤C|x−a|pour toutx∈[c, d] et qu’il existeα >0 tel que l’intervalleI= [a−α, a+α] soit stable parF. Montrer enfin que, pour chaquex 0 ∈I, la suitex n a une convergence d’ordre 2 versa. 00 3. Onsuppose de plusf(x)>0 pour toutx∈[c, des2.t]rertnoM.´eerelqudeatltsu valable avec l’intervalleI= [a, d], que la suitex n tsirtcmeseatolsrteanssoicr´etden 00 f(a) 2 2 ou constante, et qu’on a 0≤x n+1 −a≤C(x n −a) etx n+1 −a∼ 0 (x n −a) 2f(a) quandn→ ∞pposepo;ceur´tqeiuaveltnnousx 0 > a. 2 4.Exemple: on fixey >0 et on prendf(x) =x−yiondelat.Reduere´oslsralaro √ r´ecurrenceetdonneruneestimationdel’erreur|x n −a|aveca=y. Astuce: On pourra montrer que les nombres (x n −a)/(x n +atuenrenev´)ifieritalno dere´currencesimple.

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