Introduction a l'analyse numerique TD2 Differences finies Euler implicite

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD2. Differences finies – Euler implicite. 1 Methode des differences finies pour un probleme aux li- mites en dimension 1. On considere le probleme suivant : etant donnees deux fonctions c, f ? C0([0, 1]) et deux constantes ?, ?, trouver u ? C2([0, 1]) qui verifie le probleme aux limites : ?u??(x) + c(x)u(x) = f(x) pour x ?]0, 1[, u(0) = ?, u(1) = ?. (1) Remarque : On admettra que si on suppose c ≥ 0 sur [0, 1] alors ce probleme a une unique solution de classe C2, qu'on notera ? ; et que ? ? C4([0, 1]). Etant donne N ≥ 1 on pose h = 1N+1 et on definit un maillage uniforme de pas h de l'intervalle [0, 1] comme etant l'ensemble des points xi = ih pour i = 0 . . . N . La methode des differences finies est un moyen d'obtenir une approximation de la solution ? aux noeuds xi du maillage, c'est-a-dire qu'on cherche un vecteur uh = (u1, u2, . . .

• methode d'approximation


• methode des differences finies


• analyse numerique


• resolution numerique des systemes differentiels par euler implicite


• generales en analyse numerique des equations differentielles et aux derivees partielles


• euler explicite


• ?uh ?

Sujets

• Méthode des différences finies
• Analyse numérique

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Introduction`al’analysenum´erique,TD2. Diff´erencesfinies–Eulerimplicite.

1M´ethodedesdiffe´rencesfiniespourunprobl`emeauxli- mites en dimension 1. 0 Onconsid`ereleprobl`emesuivant:e´tantdonn´eesdeuxfonctionsc, f∈ C([0,1]) et 2 deux constantesα, β,trouveru∈ C([0,eifieelrv´ui)q1]timisepblrome`exlau: 00 −u(x) +c(x)u(x) =f(x) pourx∈]0,1[, u(0) =α, u(1) =β.(1) Remarque:On admettra que si on supposec≥0sur[0,1]aolrpbosreceme`lnuae 2 4 unique solution de classeC, qu’on noteraϕ; et queϕ∈ C([0,1]). ´ 1 Etantdonne´N≥1 on posehndtoe=sdepaormeunifalegamlitinue´nfihde N+1 l’intervalle [0,delembsesntoisp1eme´c]mo’lneattnx i =ihpouri= 0. . . N. Lam´ethodedesdiffe´rencesfiniesestunmoyend’obteniruneapproximationdelasolution t ϕaux noeudsx i erid-a`-tse’c,egveunherchenc’oqutcuerilladumau h = (u 1 , u 2 , . . . , u N )∈ N Rtel queu i soit proche deϕ(x i ) pouri= 1. . . Nitamixortnate´not´li,ulaaqpp’aeled d’autant meilleure que le pas est petit. 1. a. Montrerqu’il existeθ i ∈]−1,1[, i= 1. . . Ntels que 2 −ϕ(x i−1 ) + 2ϕ(x i )−ϕ(x i+1 )h 00(4) −ϕ(x i +) =ϕ(x i +θ i h). 2 h12 b.Afind’alle´gerl’´ecritureone´critϕ i =ϕ(x i ), c i =c(x i ), f i =f(x i ), i= 1. . . N. t α β t On poseϕ h = (ϕ 1 , . . . , ϕ N ) etf h = (f 1 + 2 , f 2 , . . . , f N−1 , f N + 2 ) ; trouver h h le vecteurε h (ϕ) ainsi que la matriceA h tels queε h (ϕ)→0 quandh→0 et le syst`emesere´´ecrivesouslaforme A h ϕ h =f h +ε h (ϕ). c. Commeil n’est pas possible de calculer explicitementϕ h sula,on´ngeolsnrlelige termeε h (ϕ) et chercher la solutionu h duonaetqi’´:el A h u h =f h . Montrer queA h tsefie´de´duetiuqive.Onenniepositu h etsib.niefid´en 2. a.´eDnoitinfi:’uqtidnOlle´reer´eeecaraticunemMestmonotonesi elle est in- −1 versible et si la matriceMtsenlsuoteuqme´le´seve,c’est-`a-direetsopisitm ij

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