Introduction a l'analyse numerique TD4 Interpolation et approximation polynomiales

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD4. Interpolation et approximation polynomiales. 1 Lien entre l'integration numerique et la resolution ap- prochee d'equations differentielles. On part du probleme de Cauchy suivant : trouver u ? C1([t0, t0 + T ],Rm) tel que y?(t) = f(t, y(t)) et y(t0) fixe ; et on essaye de chercher des solutions approchees. On a deja vu les methodes d'Euler permettant d'en trouver, nous allons ici voir un moyen de construire d'autres methodes. Considerons un pas de temps h, c'est-a-dire que l'on va poser : tn = t0 + nh, et integrons l'equation entre tn et tn+1 : y(tn+1)?y(tn) = ∫ tn+1 tn f(t, y(t))dt. On utilise maintenant une methode d'integration numerique pour evaluer l'integrale et on en deduit un schema de resolution d'equations differentielles. 1. Que dire si la methode d'integration choisie est la methode des rectangles a gauche ? 2. la methode des rectangles a droites ? 3. la methode des trapezes ? Remarque : Ces methodes pour l'integration nous amenent a des methodes d'ordre 1 pour les resolutions d'equations differentielles. D'autres methodes d'integration peuvent mener a un ordre superieur.

unique formule d'ordre maximal

methode des rectangles

methodes d'ordre

polynomes

schema de resolution d'equations differentielles

k?n k?n

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Introduction`al’analysenum´erique,TD4. Interpolationetapproximationpolynˆomiales.

1Lienentrel’int´egrationnum´eriqueetlare´solutionap-proche´ed’´equationsdiﬀ´erentielles. 1m Onpartduprobl`emedeCauchysuivant:trouveru∈ C([t0, t0+T],R) tel que 0 y(t) =f(t, y(t)) ety(t0rehcrehcssedtuloe;x´onetsaesdeyenOai)oﬁnsapproch´ees. de´j`avulesm´ethodesd’Eulerpermettantd’entrouver,nousallonsicivoirunmoyende construired’autresme´thodes. Conside´ronsunpasdetempsht-`a-dir,c’es:resopavno’leuqetn=t0+nh´entti,esrgno R tn+1 l’e´quationentretnettn+1:y(tn+1)−y(tn) =f(t, y(t))dt. On utilise maintenant une tn me´thoded’int´egrationnum´eriquepour´evaluerl’int´egraleetonende´duitunsche´made re´solutiond’´equationsdiﬀe´rentielles. 1.Quediresilam´ethoded’inte´grationchoisieestlam´ethodedesrectangles`agauche? 2.lam´ethodedesrectanglesa`droites? 3.lam´ethodedestrape`zes? Remarque:eChtdose’drordeam`enent`adesm´e´tniargenoitsuon´esmodthpoesl’ur 1pourlesre´solutionsd’e´quationsdiﬀe´rentielles.D’autresm´ethodesd’int´egration peuventmener`aunordresupe´rieur. 4.(a)Quediredelam´ethodedupointmilieu? (b)Commentadapterlam´ethodedupointmilieupourobtenirunsch´emade r´esolutionexplicite? RemarqueCe:bo’dtemrepsuonicetinursnhce´amxeplicitedetypeRunK-egattu, d’ordre2.Onpeutge´n´eralisercetypedeme´thode.

2Polynˆomesorthogonaux. Soit ]a, bdnonerunnbo[ou´eoaulrlevrttevienR. On se donne un poidswsur ]a, b[, i.e. une fonction positive et continue sur ]a, bpusnO.[oˆemlonyoutpourtquepposeP∈R[X], on a Z b |P(x)|w(x)dx <∞.(1) a On note alorsEl’espace vectoriel des fonctions continues sur ]a, b[ telles que : s Z b 2 kfk2=|f(x)|w(x)dx <∞. a 1

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